r'ji.. y#^^;->-''^^v.^ w ^^^^*'^' '"^ «ftvSwO^-v r "m ' X >' \ \ A l / \ .f / / \-'^ V, 'i ^ \ ■X \ ' \ \ Digitized by the Internet Archive in 2010 with funding from Universityof Ottawa littp://www.archive.org/details/s2nouvellesannal16pari NOUVELLES ANNALES MATHÉMATIQUES. DEUXIEME SERIE. 1877. PARIS. — IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARS. Quai des Auguslins, 55. NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES. JOURNAL DES CANDIDATS AUX ÉCOLES POLYTECHNIQUE ET NORMALE, Par mm. GERONO, P R O F F. s s E D R n E M A T H K M A T I Q l' F, S , ET Ch. brisse, RKPF.TiTErR A l'École polytechnique, AGRÉCÉ ne l' UNIVERSITÉ. DËII:MIËJIIë SERIE. TOME SEIZIEME. riBLICATION FO:VDEE EX 1842 PAU !I1M. GEIIO\0 ET TER(|IEM, ET COMINIÉE PAR MM. CEROXO, PROllIET ET BOIRGET PARIS, gauthier-villars, imprimeur-libraire DU hURKAU DES LONGITUDES, DE l'kCOLE POLYTECHNIQUE, SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, Quai (les Augtistins, n" 55. 1877. / 2^ NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES. THÉORIE DES INDICES^ Par m. FAURE, Chef d'escadrons d'Artillerie. [suite (*).] 82. D'après la relation (c) du n° 60, les points ri. d' étant les sommets des deux trièdres correspondants ABC, A'B'C, ^\k' ïjd' sin/A sinX' A' ■k'Ïu.' de sorte que la relation à trois termes du n° 56 devient I(W' •v;^ sin A E . sin a' E' 'ee'- Menons par le point d trois plans rectangulaires E, F, G, et par le point d' trois plans E', F', G' parallèles aux premiers. Si l'on applicpie aux trois systèmes EE', FF', GG' la relation précédente, et si l'on observe que, par le théorème précédent, Po— S^ Iee' + Iff' + Igg'= i — '- ' on a celui-ci : El mit donnes doux tnr.drcs correspondants Âav, (*) Nouvelles Annales, i^ série, t. XV\ p. :>5i . ■>f)J, S.'^g, l\h\, /|8i, 52() A'p/y' par rapport à la surface S et aj ant pour soniniels les points ri, r/', o?i a la relation fOs).A' cospta' cosv/ S: — Vo — h— ^^ + -- ^ = -^-j , hl' 1;j.;jl' Ivv' ' dW dans laquelle S] indique la soinnie des carrés des demi- axes de la surface, P^ la puissance de son centre par rapport à la sphère qui a pour diamètre dd' . 83. On donne une surface du second degré S et deux points d et d' \ par le point d on mène trois axes rec- tangulaires l, /a, V, et par le point d' trois axes À', y/, v' parallèles au premier, la somme h:,.' H- I;./ + ïv/ est constante quelle que soit la direction des axes. La constante a pour valeur Idd' I P désignant la puissance du centre de la surface par rapport à la sphère adjointe au système des plans po- laires des points d et d' relative à ce centre, — la somme des carrés des valeurs inverses des demi-axes de la sur- face S. Imaginons la splière S' de rayon /■ qui a pour centre le poijit (i; les trièdres Xjijtv, X'p,' v' sont correspondants par rapport à cette sphère. On a donc, d'après (69), — étant la somme des valeurs inverses des carrés des demi- axes de S, h:,.' , W , ^' _ ï'/'/' / ^ _ j _ ^ Iff' ( 7 ) en désignant par F et F' les plans polaires des points d' et ^par rapport à la surface S. Or Iv// ^*/ Iv/ — "~ ^ ' Idrf' ~ il et) résulte !/, F') WIi/= , fTTl ï?m"' [o,Y)[o,\ ) et par conséquent Vt ^ W (rf,F) r(^,F)-(/,F)- Or df[d, F' ) = r\ [d, F) - (/, F) = r//cos(F, F') ; don( W ces (F, F' S-^ (o,F)(o,F') Si l'on construit la sphère adjointe aux plans F, F' rela- live au centre o de la surface S, la puissance du point o ( « ) ,, 1 (o, F)(o, F') par rapport a cette sphère a pour valeur —^ — , —^ : ^ ces ( F, F ) le théorème est donc démontré. Lorsque les points d et d' coïncident, on voit que la somme des indices de trois axes rectangulaires passafit par un point fixe d est égale à la somme des carrés des inverses des demi-axes de la surface S, multipliée par Vindice du point d et diminuée de Vinuerse du carré de la distance du centre de S au plan polaire du point d, I.+ L + I.: '' S' (o,F)' 84. D'après la relation [b) du n° 60, on a D et D' désignant les plans des deux triangles corres- pondants ahc^ a'h' c' ^ a et a' les côtés opposés aux som- mets aela' . K l'aide de cette relation, celle à trois termes du u° 55 nous donne _ r(.,«)(.',«')(.,p)(.',B') (£00^^-1 L I«a' h¥ h-i' -I Supposons les plans D, D' parallèles. Traçons dans le premier deux droites e, :jp perpendiculaires entre elles, et dans le second deux droites e', tp' parallèles aux pre- mières. Si 1 on prend le point e à l'infini sur e, le point e' à l'infini sur s', et que Eq soit le demi-diamètre de S pa- rallèle à E, la relation précédente donne I ■^ cos (pa ros ipa' — = Idd' > 1 ' et, si 0»^ est le demi-diamètre de S parallèle à ^, on a de cosey. COSea (9 même L'addition de ces deux égalités donne ce théorème : Si dans deux plans paiallèles D, D' on prend deux triangles correspondants a[ùy, c/.'[jy' par rapport à la surjace S, la sonuno COSKCr/ cos88' COS77' 1 Lil _j LL. laa' I?^' Iyy' est égale à la sonune des carrés des inverses des demi- axes de la section diamétrale parallèle aux plans D, D' divisée par Vindice du sjstème de ces plans. Propriétés des systèmes de points, droites et plans conjugués à une surjace du second ordre. 85. Deux points sont conjugués lorsque le plan po- laire de l'un passe par l'autre. Deux droites sont conju- guées loisque la polaire de Tune rencontre l'autre. Deux plans sont conjugués lorsque le pôle de l'un est situé dans l'autre. Un point et une droite sont conjugués lors- que le plan polaire du point contient la droite. Une droite et un plan sont conjugués lorsque le pôle du plan est sur la droite. Lorsque deux systèmes correspondants coïncident, ils forment un système conjugué. Les théorèmes que nous allons énoncer se déduisent immédiatement de ceux qui ont été démontrés précé- demment : nous nous bornerons pour chacun d'eux à rappeler le numéro d'où ils sont extraits. 1^ Le produit des indices de deux points conjugués est égal a P indice de la droite (péils déterminent , mul- ( •« ) tiplié par le carré de leur distance l,lk = Vh\,. (59,3°) 2" Le produit des indices d'un point et d'une droite conjugués est égal à V indice du plan déterminé par le point et la droite, multiplié par le carré de la distance du point à la droite IcT, = (c,7]=ÏD. (65, ^'j 3*^ Le produit des indices d^un plan et de so?i pôle est égal et de signe contraire au carré de la distance du pôle au plan, divisé par tt", Ic/Id = -^^- (.65, «) TT 4° Le produit des indices de deux droites conjuguées [qui se coupent) est égal à l'indice du plan quelles déterminent, multiplié par V indice de leur point d'in- tersection et par le carré du sinus de leur angle I^I, = IJDsin^P7. (63,2°) 5" Le produit des indices d\ine droite et d^un plan conjugués, pris en signe contraire, est égal à l'indice de leur point d'intersection, multiplié par le carré du sinus de leur angle et divisé par tt", U, = _Iii!^tl^. (65, c) 6'^ Le produit des indices de deux droites polaires réciproques par rapport à la surface S est égal et de signe contraire au carré de leur plus courte distance, multiplié par le carré du sinus de leur angle et dis'isé par 7:^, I.J,^:::=:_LX:^'. (65, .i) ( •• ) 7° Le produit des indices de deux plans conjugués, pris en <>igne contraire, est égal à V indice de leur droite d' intersection ninltiplic par le carré du sinus de Vangle de ces plans et diuisé par t:^, I,I„ = -5i^,51-. (61,3«) 8° Le produit des indices des sommets d'un triangle conjugué est égal à l'indice du plan du triangle, mul- tiplié par le carré du double de sa surface 2 I„T4lc= jrt^c Id- (59,2°) p" I^e produit des indices des Jaccs d'un trièdrc con- jugué est égal à l'indice de son sommet, multiplié par le carré du. sinus de l'angle solide formé par des nor^ maies ii ces trois faces et divisé par tt*, \o" Le produit des indices des côtés d'un triangle^ conjugué est égal au carré de l'indice du plan du triangle, multiplié par le carré de sa surface et divisé par le carré du rayon du cercle qui lui est circonscrit^ 11° Le produit des indices des arêtes d'un trièdre conjugué est égal au carré de l'indice de son sommet, pris en signe contraire, multiplié par le carré du sinus de l'angle solide déterminé par ces arêtes et divisé par 77% T T T I.'/ sin-).(/v , ,,-, . I-Jalv= ■ • (03,1°) li" Le produit, pris en signe contraire, des indices ( 12 ) des sommets d'un tétraèdre conjugué est égal au carré du sextuple de son volume, divisé par t:^, I«IiIcI<^ = -^-T^- (59,1°) i3° Le produit, pris en signe contraire, des indices des arêtes d\in tétraèdre conjugué est égal à la sixième puissance du sextuple de son volume, divisé par le carré du produit des arêtes et par t:®, 1.1,1,1,1,1. = - 1|^. (65, e) i4° Le produit, pris en signe contraire^ des indices des faces d\in tétraèdre conjugué est égal à la sixième puissance du triple de son volume divisé par quatre Jais le produit des carrés des aires des faces et par t:", I.IbIcI. = -ç^;,|||î5;- (61,.") 1 5*' La somme des inverses des indices de deux points conjugués est égale à l'inverse de l'indice du point mi- lieu de la corde déterminée^ dans la surface, par la droite qui joint les deux points Ç60, 3°). 16" La somme des inverses des indices des sommets d^un triangle conjugué est égal à V inverse de l indice du centre de la section déterminée, dans la surface, parle plan du triangle ((30, 2"). ly" La somme des inverses des indices des sommets d\in tétraèdre conjugué est égale à — i (60, 1°). 18° La somme des inverses des indices des côtés d'un triangle conjugué est égale à la somme des can'és des inverses des demi-axes de la section diamétrale paral- lèle au plan du triangle, divisé par l'indice de ce plan (84). ( >3 ) lo" La somme (50) sinvEsinvE' i ■^ ~sin=vC^ ^"^ ) ou /;/ew, d étant le sommet du trièdre, /siniEsinXE' sinuEsinaE' sinvEsinvE'X -^■i..=i.( — j-^ — + \^ ■ + — ,_ — ). 33° Un triangle abc ou oc^y étant conjugué à la sur- face S, si l'on trace dans son plan deux droites e, e', on a [a,^][a,^') [b,s)(h,^) {c,e){c.^']. .... ou bien, D désignant le plan du triangle abc, ""L i« I* le J* 34" Un trièdre ABC oz^ l^^v étant conjugué à la sur- face S, si, par S071 sommet, on mène deux droites e, e', on a - sin(s, A)sin(e', A) sin (ô, B) sin(i', B) \ "'- sTr^^(VA)~~ '-^- ^(^B) ^ (^^^^ sin(£, C) sin(e', C) ( ^7 ) ou bierjj d étant le sommet du trièdre^ ,A) sin(£,B]sin(£',B) sin (£,C) sin(.',C; Psin U, A)sin fs', . In Ir 35° Un segment ah étant conjugué à la surface S, 5* Voîi prend sur ce segment deux points e, e', ub I(.^=- eZ» .e ^la -f- ert .e'rt I4. (55) 36° Un dièdre AB étant conjugué à la surjnce S, si par son arête on mené deux plans E, E', on a sin- ABIee'= sinEB sinE'BIi ^- slnEA sin E'AIjj. (56) 37° Un angle Xp étant conjugué à la surface S, si Von jfièfie par son sommet et dans son plan les droites s, e', on a sin'/uI,./=: sin(£, p] sin (e', y. Il), + sin (î, ). ) sin (e', ).)I,j,. (57) 38" Si l'on suppose que le sommet r/ du tf'tiaèdre ahcd conjugué à la suiface S coïncide avec le centre o delà surface, les points a, h, c seront à l'infini el oa, ob, oc seront les directions de trois diamètres conjugues de la surface. JNous désignerons par X, ^, v les longueurs des demi-diamètres ainsi déterminés. Le plan D sera à l'in- fini, et les plans A, B, C passent respectivement par les diamètres |7.y, vX, 1^. Les relations exprimées dans les théorèmes précé- dents (3o") deviennent les suivantes : Itidicc du sj stème des deux points e, e' : ).'sin'(X, A) fy.-' sin'(fA, B) v'sin(v,C) Indice du s^ stenw des deux plans E, E' : 7t'lEE'= (», E) [o, E') — r sin).E sinXE' ' ... ... — tx' SiH y. E smy. E — v' smvE smvE . Ann.dc Mttclicimit., i" série, t. XVI. (Janvier iS^^.^ 2 =1 -1 { >8 ) Indice du système de deux droites déternniiêes par deux de leurs points : ef.e'/'h, (.,A) (/,A) Il (.',A) (/',A) ,_ (e,B) (/,B) Il [e',B) /',B) X^f^^sin^^).,A)sin=;a,B (^,c) (/,c) I (^',C)(AC)| ^__^ 1 I I I I |v^sin=^v,C) Indice du système de deux droites déterminées par deux plans : TT'sinEFsinE'F'W sin>.E sinXF I] sin).E' sin/F' slnpE sinpiF [ , sinyE' siripF' sinvE sinvF | sin vE' sinvF' (o,E) [o,¥) j ;„,E') (»,F') ^•>- SIR LES SO«HES DES PlISSAXCES SEMBLABLES DES NOMBRES ENTIERS-, Par m. Edouard LUCAS. 1. Soit, en général, une function entière Ay(x) égale à la différence d'une fonction^ (x), pour une différence de l'arguinent égale à Tunité en remplaçant successivement a: par i, 2, 3, ..., [x — i), et en posant S„ = r" -f- 2" + 3" -}- . . . +,>—!)", on obtient par addition /(.r) — /(i) z=a,S„-+- rtr,S„_, + rtjS„_, +. . . + rt„Sfl, ( '9 ) ou, sjinholiquement^ (l) /(.r)-/(i)=A/(S), en ayant soin de ne pas oublier l'exposant zéro de S. Faisons, dans la formule (i),/ (a:) égal à [x — i)" ou à x", nous obtenons [i) (^-i)»= S«-(S-i)", (3) ^"-i = (S + i)«— S", et, par addition et soustraction, les deux formules (4) X"-{-[x — lY—l =r(S-4-l)"— (S — l)", (5) X"— (^ — i]" — r =(S +i)«+ (S — i)"— ?.S„, qui permettent de calculer les sommes S de deux en deux, par voie récurrente. Mais on peut, pour parvenir au même but, se servir de la formule suivante. En effet, fai- sons encore, dans la formule (i'),y(:r) égal à (x I 1 nous obtenons Féquatiou (6) (20: — i)" — 1 = (28 + 1)»— (yS— ij", qui a été donnée par M. Gilbert, au moyen de l'analyse infinitésimale [lYotn^e/les Annales de Mathématiques) . Enfin, si, dans la formule (i), on suppose f[x) = [x^z][x-^z-\-i) ... [x-\-z -\-n—\), on obtient (7) /W-/(l)=:«(SH-3 + l)(S + 3-H2)...fS + r + /.-I . et plus particulièrement, pour z = o et pour z = — i , X (x -t-i) ... [x -\- n — i) ;8) I z^«(S+i)(S-i-2)...(S + « — i)+i.2.3...«. [x — \)x . . . (x-t-/i — 2)=:«S(S4-l) . . . (S-l-« — 2; 2. (9) ( 2o ) 2. On tire du système des n équations obtenues en remplaçant successivement n par i, 2, 3, . . . , 7i, dans la formule (3), le déterminant 3 . . . «.S„_i = X" cr' . . c,; I .r"-" '^/i— 1 p»-3 W-1 . C!.... I .r"-- G cr: . . . ci., I X- 0 0 C! 1 X 0 0 0 I On obtient un déterminant plus simple avi moTen de l'une des formules (4), (5) ou (6). Cette dernière donne, par exemple, pour des valeurs impaires de l'exposant 10] 1.3. ?.«-M]2=«+'S, (2J— l)' o Enfin on peut obtenir S„ en fonction d'un détermi- nant contenant au moins [n -\- i) fonctions arbitraires de x\ pour cela, il suffit de considérer (/i h- i) écjuations semblables à l'équation (1). 3. La formule (1) peut être généralisée par l'introduc- tion de nouvelles variables. En elTet, on peut écrire cette formule de la manière suivante : en supposant l'accroissement de x égal à [x — i), et ce- { 21 ) lui de S à l'unité 5 on en déduit (11) ^l,/{i,i]=M,„/[S,S'), et, de même, (12) Ai:,,,,.../(I,I,I,...: = A/^,,.,.../;s,s^s^...^ p désignant le nombre des variables: li-s accroiss( menls du premier membre sont respectivement égaux à [x — i), ( V — i), (z — i), . . . , et ceux du second membre à Tu- nilé. On ne doit pas réduire les S avec les S' et les S"-, mais on remplacera, après le développement du second membre, S", S'", S"" par S„, et l'on obtiendra des rela- tions entre les produits deux à deux, trois à trois, etc., des sommes S. 4. On peut poser, symboliquement, légalité (l3} «S„_,= ;:r + B " — B", dans laquelle on remplace les exposants de B par des in- dices, et Ro par Tuniié. Ces coefficients B sont appelés nombres de BernouHi,T^arce que Jacques Bernoulli lésa remarqués, le premier, comme formant le coefficient du dernier terme, dans les sommes des puissances paires. La comparaison des formules (9) et (i3) donne ) 1 .2.3 . . . «.B„_, = ^ Il serait facile de trouver ainsi un grand nombre de formules semblables, mais on peut aussi calculer les coefficients^ B de la manière suivanie. En changeant x . . c,.i I . . C,'. , I 0 . • C'_2 I l 22 ) en X H- I, dans la relation (i3), on obtient, par diffé- rence, ridenlilé (i5) /2^«-'= (.T-f- B H- i)"— (^-f- B)", qui a lieu pour toutes les valeurs entières et positives de X et, par suite, quelle que soit la valeur de x. En par- ticulier, pour x:=o^x=-±i,x=: » et, par addi- tion et par soustraction, on a les relations récurrentes (Bh-i)"— B" — o, B"— (B — i)"z=/?( — i)"-', ^j6) { (BH-i)"^-(B-,)"=^«(-i)"-, J (B+s)"— (B -)-i)'' = «, f {iB -hi]"— (2B — l)" = 2«(— i)'-', La première de ces relations a été indiquée par Moivre. On peut encore obtenir les nombres B au moyen de déterminants déduits des équations (i5) et (16); le cal- cul donne, pour les premici's coetBcients, B, =: ■ — — ) B2 = — j Bi = — „— 5 3o I — ) B. I — 1 T 2 b T . I u 4. 3o Les coefficients d'indice impair sont nuls, à l'exception de Bi, ainsi que cela résulte de la troisième et de la cin- quième des formules (16); d'autre part, l'équation (i4) fait voir que le produit i .2.3. . . n B„_, est entier. Enfin on déduit encore de la formule (i3) l'égalité (.7) =§ = „S„^,+B,„ qui permet de calculer rapidement S„ par voie d'intégra- \ ( 23 ) tion, en calculant chaque fois la constante par l'une des conditions S„ = I pour X z= 7. et S„= o pour x z=i. 5. Si Ton observe que le premier membre de la for- mule (i5) est la dérivée dex", et le second, la dilïérence de (x -+- B^", on a, plus généralement, (l8) /(^ + B + li-/(^ + B)=r/'(x). Posons, par exemple, /{x)=x{x-i-î) ... [x-hn—i], nous obtenons If/ B + jr + iB-har-f-o. B -{- x -\- n — i ^ + 1 j;-t-2 X -h n — I '9; . I I I X X -h i X -{- n — I Dans riiypotlièse x = i^ nous avons J « B + 9, B -4- 3 B -h ri ) I 2 3 n (20) < ^ ' J 1 I I I f =--f h^H +-^ \ I .2 3 n et, pour a: = o, en augmentant n d'une unité; (21 ) (B - i) i'B + 2) . . . (B + «) = -^■^~--" La formule (i8) donne, pour x = o, (22) /(B + ,}-/(B)=/'(o); faisons maintenant/" (x) = e''', il vient ( -^4 ) et, par suite, (23) C''^'-=-- — e" — I Celle formule, souvent employée en Analyse, subsiste pour tontes les valeui-s de z dont le module est inférieur à 27r. Faisons encore, dans la formule (22), nous obtenons /(.r) = sin ix (=4) cosE3 = - cot -. 2 2 6. Si l'on introduit une seconde variable y dans la formule (18), on a df [x_ r\ â,/(.r 4-B,j) = d.r. en supposant Ax = I ; si l'on applique ce résultat à la tonclion ■ — \ — ^ de r, on aura d.x ^ (25) A.,,,/(^ + B,j + B') = '''^^''-''^ dxdy et, en généial, dPf[x,y,z,...) >6) A';,_,,,,../(.r + B,r + B',3 + B",...; = dx dy dz. . . en supposant Ax = ù^y = Az = . . . =1. On ne ré- duira pas les B avec les B' et les B"; mais, lorsque le dé- veloppement symbolique du premier membre sera effec- tué, on remplacera B", B'", B''",. . . parB„, On aura ainsi les relations contenant les produits deux à deux, trois à trois, etc., des nombres de Bernoulli. 7. On a, d'après les résultats obtenus dans un article ( ^5 ) précédent [Nouvelles Annales, novenibie 1875), la formule 27 S„S„-S,„+„ = S'" ^ ^ h S" —^ -, ^ " n -\-\ m-\-\ pour /« = /?, V -\- I i8: s;, = S" ;s + b;"+'— s"B"+ , en remplaçant Bi par zéro. On déduit, inversement, («^-i)S;, C,;^,B, C,'„,B4 ... 0 o /?S;;_, I Ci^Bj ... O O [n — i ) S,;_, o I ...00 ;29) 2S: 4SI 0 0 ... C;B, 0 3S; 0 0 ... I C-B 2S: 0 0 ... 0 I Il résulte immédiatement de la formule (i3) que les rapports S S — et ont respectivement pour valeurs 2 « -4- î ^ B, et B „, 2 lorsque x tend vers zéro. Si l'on introduit ces hypothèses dans les relations précédentes, dans les relations (27) et (29), par exemple, on trouve ;3o) B^+.r^D-" ^^ ( B + B')"-+-' — B'"-^' n + I _i_ B" ^ "+' — B' n-l-i m + i et [3i] (2« + i)B,„ = { ^M {n + i)Bl c, i+iBj Cn + i^i «B^_, I CiB, («-i)B,t 7. o I 4Bi o o 3B?, o o o o o o o o o o o C^B, o I C^B. 0 ï NOTE SIR m THÉORÈME FONDAMENTAL DANS LA THÉORIE DES COURBES ; Par m. h. LAURENT. On sait que, lorsque deux courbes variables de forme et de position ont ensemble /i -f- i points communs et que ces points, dans une position particulière de la figure, viennent à se confondre, elles ont un contact d'une na- ture particulière, et que l'on appelle contact d'ordre n 5 au point de contact les ordonnées des deux courbes sont égales, ainsi que leurs n premières dérivées. Cette pro- position n'est pas démontrée d'babitude avec toute la ri- gueur désirable. Je me propose d'en donner ici une dé- monstration que je crois irréprochable. Soient f [x) et çp(^) les ordonnées des deux courbes correspondant à l'abscisse x\ si les courbes ont n-\- 1 points communs, on pourra représenter leurs abscisses par et leurs ordonnées par ( ^7) Si l'on considère alors la fonction/ (j:) — ^{^)i elle s'annulera pour les valeurs supposées croissantes : donc, en vertu du théorème de RoUe, sa dérivée sera nulle pour 71 valeurs de x, à savoir x\ compris entre Xi et X^, x\ compris entre ^2 etXs, . . . ,a:^ compris entre x„ et jr„+i. Toujours en vertu du théorème de Rolle, sa dérivée se- conde s'annulera pour n — i valeurs de x comprises : la première, entre x\ et x\, ..., et, par suite, com- prises toutes entre x\ et x"^, c'est-à-dire entre Xx et x„^i. En continuant ainsi, on voit que J" (x) — 'i" [x] s'annulera pour une valeur de x comprise entre la plus grande et la plus petite des quantités Xi. x^, . . . ,Xn- Soit,^ cette valeur; on aura /"{V;-f{^]=0 OU Si l'on suppose maintenant que Xi, x?_, . . ., :r,,^i tendent simultanément vers la valeur x, on aura et ladémonstrationfaite pour les«'^'""dérivées s'applique, bien entendu, aux dérivées d'ordre moins élevé. La démonstration précédente fait bien ressortir les cas où le théorème énoncé tomberait en défaut, et, comme on a appli([ué le théorème de Rolle, on a été obligé de supposery"(x) et cp (a:) continus, ainsi que leurs 7i — i premières dérivées; quant h la n"'""', on l'a simplement supposée bien déterminée et finie. Mais le théorème s'applique encore au cas oii quehjues dérivées seraient infinies si, par une transformation de coordonnées, on peut éviter qu'il en soit ainsi. { 2Q } On peut donner relativement aux courbes dans l'espace une démonstration tout à fait analogue à celle-ci. Nous croyons pouvoir nous dispenser de la reproduire ici. COMPOSITIONS ÉCRITES DONNÉES A L'ÉCOLE CENTRALE. CONCOURS d'admission. 2* SESSION. — 10 ET I I OCTOBRE 1876. 1° Géométrie analytique. On donne, dans un plan, un angle ROR', un point A sur la bissectrice Ojcde cet angle, et deux points B, B' placés symétriquement par rapporta Ox. On mène, par le point A, une droite quelconque, qui rencontre OR en C, et OR' en C'5 on mène les droites BC, B'C; ces droites se coupent en un point M. On demande le lieu déciit par le point M, quand la droite CAC tourne autour du point A. On discutera le lieu en laissant fixes les droites OR, OR' et le point A, et en déplaçant le point B, et par suite le point B'. On indiquera dans c|uelles régions du plan doit être placé le point B pour que le lieu soit une ellipse, une hyperbole, ou l'une de leurs variétés. 1° Calcul trigonométrique. Calculer les angles et la surface d'un triangle, con- naissant les trois côtés : « = iio64'",62, ' b = 25485'", 52, c = 24920'", 34. I ( 29 ) 3° Épure. On donne un triangle rectangle ABC situé clans le plan vertical de projection ; l'hypoténuse BC est verti- cale; le sommet B a pour cote o'",o8; le sommet C a pour cote o*", 20, et l'angle B est égal à 3o degrés. Du point A comme centre, avec un rayon égal à o'",o4, on décrit un cercle dans le plan du triangle. On demande : 1° De trouver l'intersection du cône engendré par le triangle tournant autour de AB et du tore engendré par le cercle tournant autour de BC : 2*^ De représenter le cône supposé plein et existant seul, en supprimant la partie de ce corps comprise dans le tore. On tracera à l'encre rouge les constructions em- ployées pour obtenir un point quelconque de l'intersec- tion du cône et du tore, et la tangente en ce point. Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre, à o'", i5 du petit côté inférieur. Titre : Cône et tore. 4" Physique et Chimie. I. Un manomètre à air libre, qui se compose d'un tube de fer recourbé CBVIA et d'un tube de verre AD plus large que le tube de fer, renferme du mercure dans ses deux branches jusqu'au nivejiu BA. On met la branche BC en communication avec une masse d'eau contenue dans un récipient métallique R et l'on exerce h la surface df cette eau une piession de 6 atmosphères. Le tube AD qui est ouvert par le haut est alors complètement plein de mercure. On demande de calculer la longueur de ce tube AD, ( 3o )^ sachant que le rapport entre sa section et celle du tube de fer est égal à 6. La distance verticale du niveau BA au niveau de l'eau, supposé invariable, est de o",9i5. L'air contenu dans la partie BC s'est dégagé au moment où l'on a établi la communication du manomètre avec le réservoir. Densité du mercure 5 = 1 3 ,5. IL Préparation du clilore et de l'acide clilorliydrique. Analyse et synthèse de ce dernier corps. BIBLIOGRAPHIE. QUESTIONS DE TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE; méthodcS 81 solutions, avec plus de ooo exercices proposés, à l'usage des classes de Mathématiques élémentaires et spéciales et des candidats aux écoles, par ^. Deshoves, agrégé et docteur es sciences, professeur au lycée Fontanes. o.^ édition 5 in-8. Celle nouvelle édition diffère de la première par le texte complétenienl remanié et aussi par le choix, l'ordre et l'abon- dance des matières. Voici d'ailleufs quels sont les principaux changements et les améliorations les plus importantes : je par- ierai d'abord de la première Partie. Le Chapitre VIII, dans lequel on construit les racines des équations trigonométriques les plus simples et oii l'on donne ainsi immédiatement les solutions géométriques d'un très-grand nombre de problèmes résolus par la Trigonomélrie dans le Chapitre VI, contient maintenant, en plus, l'équation du pre- mier degré par rapport à la tangente et à la cotangente d'un même angle inconnu. Dans le Chapitre IX, qui renfermait déjà les dévelojqoements de siurtrtr et de cos«a en fonction de sin a et cosa, des formules (3i ) nouvelles relatives à un produit de cosinus, etc., on a fait en- trer les formules qui donnent sin na et cos /la en fonction de sinrt ou cosfl seulement. Leur démonstration repose sur un théorèuje nouveau d'Aljjèbre très-aisément déduit du triangle arithmétique de Pascal. Les différentes formules qui viennent d'être rappelées se dé- montrent ordinairement à l'aide du théorème de Moivre; mais, sans contester la parfaite rigueur des démonstrations fondées sur l'emploi des imaginaires, je crois que celles du Chapitre IX, débarrassées de toute considération de ce genre, sont plus sa- tisfaisantes pour l'esprit et qu'elles ont l'avantage de familiari- ser les élevées avec les idées d'ordre et de combinaison. Le Chapitre X est formé par la réunion de deux Notes que renfermait la première édition, mais dont la rédaction a été beaucouj) simplifiée. Dans la seconde Partie de l'Ouvrage, les améliorations portent principalement sur les détails. Je me suis attaché surtout à chercher toujours les démonstrations les plus simples, et j'ai été quelquefois assez heureux ])our substituer, à des solutions un peu longues dans la première édition, des solutions nouvelles dont la rédaction n'a demandé souvent que quelques lignes; je citerai, par exemple, les questions suivantes : IV (page 191), XI (page 199), I (page 2i3), VIII (page aSo), XV (page a'jS). Le dernier Chapitre a été augmenté de quelques questions sur la Mécanique, la Physique et l'Astronomie. Par là, j'ai voulu rappeler que la Trigonométrie était souvent un auxiliaire éminemment précieux dans les diverses sciences de calcul. Mais l'amélioration la plus importante de tout l'Ouvrage con- siste dans l'augmentation du nombre des exercices, qui s'est accru de plus d'un quart. En multipliant ainsi le nombre des exercices, j'ai voulu nou-seuicmcnt offrir aux élèves une ma- tière plus abondante, mais aussi mettre à la disposition des géomètres de nombreuses formules qui j)Ourronl quei(piefois leur venir en aide. J'espère que l'on me saura quekjue gré du travail considérable auquel j'ai dû me livrer, d'abord pour ré- soudre un grand nombre de cjueslions, puis pour classer dans ( 3. ) un ordre mélhodique les formules nouvelles h mesure que je les rencontrais clans mes recherches. Enlin, qu'il me soit permis, en terminant, d'insister sur le double but quf j'ai surtout essayé d'atteindre dans tout le cours de l'Ouvrage. D'aljord, comme dans mes autres livres, j'ai donné, avec de nombreux exemples, des méthodesgénérales pour la discussion des problèmes, et j'ai voulu ainsi fournir aux élèves les moyens d'aller jusqu'au fond des questions pour en trouver toujours le dernier mot. Ensuite j'ai fait tous mes efforts pour donner aux solutions des questions ce cachet d'élégante simplicité qui est le propre de la Trigonou)étrie, et je crois avoir montré qu'il y avait, dans la recherche des formules et leur combinaison, tout un art, à la fois délicat et plein d'attrait. Mais c'est ce que l'on verra mieux encore dans un nouvel Ou- vrage actuellement sous presse (*), (jui contiendra les solutions des exercices proposés dans les Questions de Trigononictric^ au nombre de plus de 5oo. Là surtout, le choix des questions et leur grande variété ont donné l'occasion d'employer toutes les ressources de la Trigonométrie et de mettre en relief ses mé- thodes les plus élégantes et ses procédés les plus ingénieux. A Desboves. CORUESPOXDAACL Extrait d'une lettre rie M. Moret-Blciuc. — Dans la solution de la question 1 142, insérée dans le nuniéro de novembre, je renvoie, pour les axes et les notations, à la question i 122-, mais, ma solution n'ayant pas été insérée, il peut en résulter quelque obscurité pour le lecteur. Je prends pour origine le milieu de la plus courte dis- (*) Cet Ouvrage vient de paraître. ( 33 ) lance des deux droites données, celte plus courte distance pour axe des z, les bissectrices des angles formés par les parallèles à ces droites menées par l'origine pour axes des X et desj>^ Les équations des droites données sont j = m.r, I j — — ///.r, et celle du second plan directeur A.r + B r H- C = o. Permettez-moi de vous signaler quelques fautes d'im- pression que j'ai remarquées en lisant le dernier numéro des Annales. Page 5io. Dans la dernière des équations (5), il faut au second (a -+- è) ( é cos' c; -f- rt siii ■ s ^ membre ; : '■ ^—. ■ — 0 cos- a — a sin o Page 5i8, ligne 6 en remontant, au lieu de — 6<- -f- 2 cf -i- e)-, i faut — (6r- -4- 2 cf -+- (//. Page 527, ligne 2, au lieu de cette droite, il faut évidemment lu droite (D'). SOLlTIO^'S DE QUESTIONS PROPOSÉES DAXS LES i\OlVELLES A^XALES. Question 1159 (Tolr 2* série, t. XIV, p. ye; ; Par m. Cx. BEAUVAIS. Lorsqu'un angle constant 2.'^ se déplaça en ? estant tangent à une courbe plane convexe et fermée, d\in périmètre S, la bissectrice extérieure de cet ajigle enve- loppe une courbe fermée dont le périmètre est -^ — • " -^ ^ smi}. En faisant varier l'angle 2'f et réduisant par ho- Ann. de Mathéin., z*-' série, t. XVI. (Janvier 1877.) 3 ( 34 ) mothélie chacune des courhes obtenues dans un rapport égal à sin©, on forme une série de courbes fermées iso- périmètres. Quelle est celle de ces courbes (j/ui comprend la plus grande aire? (G. Fouret.) 1° Une tangente à la courbe donnée a pour équalicn ^ = (.r — /j] tangS, Q étant Tangle de cette tangente avec OX et p une fonc- tion connue de B. La tangente M'N', faisant avec la première un angle égal à 20, a pour équation j = ( jT — /j, 1 tang ( 9 -t- 2a), la. étant le supplément de acj* et p^ la fonction p dans laquelle Q a été remplacé par (0-1- 2 a) 5 la bissectrice MH a pour équation y — [x — p] tan^Q j — (-^ — p^ ) tang ( 9 -f- 2 a; y/i -h tangue v'i -î- tang-(9 -f- 2a) ou j[cos9 -h ces (0 H- 2a)] — a:[sin9 H- sin{9 + 2a'] H-- p sinO -f- Pi sin [0 -h 2a) = o. Cela posé, la longueur 2 de la* courbe enveloppée par cette bissectrice est donnée par la foj mule 2=r"0II./(a + 9) (*), 1/0 /? sin 9 -4- ^, sin ( 9 H- 2 a ) 0H=: y^[cos9 + cos(9 -f- 2a)j-'-f- [sin 9 -f- sin (9 + 2a)]' p sin 9 +/?! sin (9 -h 9. a) (*) Calcul intégral àe M. Bertrand, t. II, p. 372. ( 35 ) donc > = / ["/JsinQ +jP, sin[9 + 2a^lrf(9 + a], \ = / /; sin( I /?, su 2COS puisque iOr/9 sin (9 -h 2a] , sin ( 9 H- 2 a ) — —- bini} cos-|^, )• = — -sin-J*, -^ := 2 cob'} -rr H — 7,. sino C0S>1;. «y «y «y- ( 36 ) Cela posé, A étant l'aire delà courbe, r r'"" • dq f dn d^q . \ Intégrons par parties la seconde intégrale, il vient {^ysin'^î^cos-H' — / f-^y(3sin -icos-} — sin^-^jrf;}/. La première partie est nulle j il vient donc { — I sin-4'(4 cos'^i — 3 cos'-i' + sin"i];) qui est nul pour a = o. Donc la courbe de surface maximum est la courbe proposée elle-même pour laquelle 20 = 7:; celle courbe est égale à sa réduite. Note. — Solution analogue par M. Cliabancl. Questions 1163 et 1164 ( voir 5!* série, t. XIV, p. 1,1 et 114); Par m. PELLISSIER. 1J63. On uoinine transformations biqiuulratiques toutes celles dans lesquelles à un point de chacune des deux Jigures conjuguées correspond un point, et à une droite, une conique. Montrer que les deux angles des asymptotes de cette conique sont toujours mesurés par la moitié des deux arcs suivant lesquels la droite di^^ise le cercle fixe des trois points Jondamentaux de la trans- ^ (38) formation. On obtient une ellipse, une hypirhole ou une parabole suivant que la droite est extérieure à ce cercle, qu'elle le coupe ou quelle lui est tangente. (Haton de la GoUPILLiÈr.E.) Soient P (x,j)^, z) elV [x\ j', z') deux points corres- pondants. La transformation sera biquadratique si l'on pose .r':y :z'=U: V: w, où U, V, W sont des fondions du deuxième degré en X, y. z^ qui représentent des coniques ayant trois points communs. En effet, à une droite correspond alors une conique, et à un point correspond un point et un seul. D'ailleurs, si, au lieu des coniques U, V, W, nous choi- sissions trois coniques de la forme /U + mV + 7iW, en prenant pour nouvelles lignes de référence les droites correspondantes Ix -t- nij -{- nz^ cela reviendrait sim- plement à un changement de coordonnées. Nous conser- verons donc la même généralité en prenant pour U, V, W les trois couples de droites obtenues en joignant chacun des points fixes aux deux autres. Ainsi, en prenant pour triangle Se référence le triangle des trois points fixes (points fondamentaux), la transfor- mation sera exprimée par les relations récipi'oques ^ '-y :3 =j"'z' '.z'x' : x'y, .t' \y'\z'-=y z: zx'.x^y; et si l'on joint aux sommets du triangle fondamental les points conjugués P et P', dont les coordonnées satisfont à ces relations, les droites ainsi obtenues feront deux à deux des angles égaux avec les côtés de ce triangle [voir Salmon, Higlwr plane Curves, i^ édition, articles 288 ( 39 ) et 344)' C'est celte propriété qui va nous donner la so- lution des questions n°^ 1 163 et 1 164. Soient ABC (*) le cercle fixe des trois points fondamen- taux de la transformation, et MN une droite qui coupe ce cercle en INI et N. La figure conjuguée de cette droite est une conique qu'il est facile de construire par points. Considérons spécialement le point INI et cherchons le point de la conique qui lui correspond. Pour cela, joi- gnons MB et faisons en B l'angle CBD égal à MBx\, puis joignons MC et faisons EBC = MCA ; le point cherché doit être à l'intersection des droites BD et CE. Or ces deux lignes sont parallèles, puisque MBA = MCA ; donc le point correspondant de M est le point de la conique situé à l'infini dans la direction BD. On verrait de même que le point correspondant de N est le point de la co- nique à linfini dans la direction BD', telle que la droite BD' fasse avec BC le même angle que BN fait avec BA. L'angle DBD' n'est donc autre que l'angle des asymptotes de la conique, et il est visiblement égal à MBN, puisque l'on a CBD = MBA et CBD' = ]NBA. Cet angle a pour mesure la moitié de l'arc MAN, et l'angle supplémentaire la moitié de l'arc MBCJN. Lorsque la droite est extérieure au cercle, la conique conjuguée a tous ses points à distance finie, c'est une el- lipse. Si la droite coiipe ie cercle en deux points, nous venons de voir que la conicjue est une hyperbole, puis- qu'elle s'en va à l'infini dans deux directions différentes; enfin, si la droite est tangente, elle a évidemment pour conjuguée une parabole. (*) Le lecteur est prié de faire les figures. ( 4o ) -.1164. MoTUrer que, dans fout procédé hiquadra- tiqiie , la cojidïtiori nécessaire et suffisante pour ob- tenir un cercle est de transformer un cercle mené par deux des points fondamentaux . Le conjugué y passe alors lui-même. Les deux séries de centres de ces cercles foiment un système en inuolution sur la perpendicu- laire éleuée au milieu de la droite qui joint ces deux points. Son centre est celui du cercle des trois points fondamentaux , et ses foyers les points oii ce cercle ren- contre la droite. Lorsque Von prend pour points fondamentaux les ombilics du plan, il su fjit d' après cela de partir d'un cercle quelconque pour en obtenir un autre, et, en effet, ce mode spécial de ti ansformation biquadratiqne n'est autre que le procédé des ra^ ons vecteurs réciproques. (Haton de la Goupillière.) Soit P un point pris sur un ceicle qui passe aux deux points fondamentaux A et B. Pour avoir son cor- respondant, il suffit de joindre PA et de faire l'angle 13AP'=CAP, puis de joindre PB et de faire l'angle ABP'=CBP5 les deux droites AP', BP' se coupent au point cherché P'. Or on a immcdi-atoriiont i AP'B = i8o— ;P'AB -f-P'BA), (0 , AP'B= 180— PAC -hPBC), AP'B^-: 180 — APB — ACB). L'angle AP'B étant constant, le lieu de V est un cercle qui passe aux points A et B. Réciproquement, pour que ce lieu de F soit un cercle, il faut que l'angle AP'B soit constant, et alors, à cause delà relation (1), l'angle APB est aussi constant, c'est-à- ( 4i ) dire que le point P est sur un cercle qui passe par A et B. La condition est donc nécessaire et suffisante. Il y a cependant une exception pour le cercle des trois points fondamentaux. Ce cercle correspond à la droite de l'infini 5 car, si l'on cherche le conjugué d'un point quelconque p de ce cercle, on trouve qu'il est déterminé par l'inlcrseclion de deux droites parallèles et par con- séquent situé à l'infini. Considérons maintenant le cercle des points P et le cercle conjugué qui est le cercle des points P': soient O, O' leurs centres et 03 le centre du cercle circonscrit au triangle fondamental ABC ; ces trois points sont situés sur la perpendiculaire au milieu de AB, laquelle rencontre le cercle o) aux points y et /"', Joignons coA, OA, O'A : les deux triangles wOA, ooO'A ont l'angle en oj com- mun; de plus, les angles wOA, wAO' sont égaux. En efiTet, l'angle wOA est égal à i8o — APB , puisque, dans le cercle O, il a pour mesure la moitié de l'arc APB, et l'angle o)AO' est celui sous lequel se coupent les cercles w, O' (segments capables des angles ACB et AP'B décrits sur AB), c'est-à-dire qu'il est égal à l8o— [APB— ACB; — ACB ou à i8o— ÀPB. îs tr donnent Les triangles wOA et ojO'A sont donc semblables et O w w A w A O' w ou bien 0 c.> . O 0) —3 0) A , ou encore, puisque 'j\f= '^"'J' =^- ''"' A , J 2 0 W . 0 &)::=: wf -—^ t^j ' . Par conséquent, les points O, O' font partie d'une in- volution dont w est le point central cif^f les foyers. { 42 ) La dernière partie de l'énoncé est évidente, si l'on se rappelle que tous les cercles du plan passent par les om- bilics (points circulaires à l'infini). Soit Question 1184 (voir 2' série, t. XIV, p. 'i3j); Par m. PRAVAZ, Professeur au Collège de Tulle. X= «.r + bj -{- cz -r- dt, Y = aiX-\- h^y-hc,z--i- d^(; si a, è, c, d, «ij ^1, Cl, fil sont des fonctions données d'un paramètre arbitraire, la droite mobile X engendrera une surface réglée ; V équatioîi de la surface du second ordre passant par trois droites infiniment voisines de la suif ace engendrée sera a b c d 0 0 «, h, c, d. 0 0 a' b' c' d' X 0 a ^ b\ ^\ d': Y 0 a" b" c" d" 2X' X II a y\ c d" 2 Y' Y rt', b', .... a'|, b\, ..., a" ^ b",..., d[, b'\, ... sont les dé- rivées premières et secondes des fonctions a, Z!>, . . . , «1, Z)j, ..., par rapport au pararnètre dont elles dépen- dent j X, Y sont définis par les égalités (i), et Von a. posé L X'= a'x + b'y + c'z + d't, (L. Painvin.) ( 43 ) Soient X = o, Y = o; X + AX— o, Y 4- AY = o; X-i- oAX + A2X=:0, Y-f-2AY + A=Y =o les équations de trois positions infiniment voisines A, A', K" de la droite mobile; soit D une droite rencon- trant A, A', A" en des points dont nous désignerons res- pectivement les coordonnées par x^y^ z^t-^ x -\- Ax, . . . , a: H- 2 Aa: H- A-j:, ... 5 soient enfin i^, >?, ?[, t les coor- données courantes de D. On a (5) \ A-x A-)' ù L'équation de la surface cherchée s'obtiendra par l'élimination, entre les équations (4) et (5), des coor- données X, y, z, t et de leurs accroissements du pre- mier et du second ordre. Les équations (4), dont on réduit chaque couple au moyeu des couples précédents et où l'on substitue en- suite les dérivées aux accroissements, deviennent X — o, Y = o; (6) \ X'-HX,'= o Y'H-Yy=o; X"-f- 2Xy-f-X,//r=o, Y"+2Y;/4-Y,//=o; ( 44 ) en posant, pour abréger, Xx' = ax' -\- by' + cz' + dt' + . . . , Xl,'= a'x' -t- b'y' + c'z' H- rf'^' -4- Les équations (5) deviennent de même fi — j: vî — 7' t — z T — t 7— =ï^' ë — j: n — y Z — z t — ? K', X y" z r K et K' étant deux inconnues auxiliaires. On tire des équations (y) Ç = x + Ka:' l — X-^K'x",...; on déduit de là, en ayant égard aux équations (6), Xr = KX^,..., X5=:K'X,.,..., X{ = — Xi' + KX^' , . . . ; d'où ^•■=i!:^= X,//= — X.,..., D'après cela, les équations (6) deviennent «r -\- by -\- cz -\- d t =-o, a^x 4- 6, j -t- c,3 -t- tf,? n^ o, «'x -f- i^'j H- c'z ->r d't + — Xr = O, a\ X -\- b\x-+- c\z + (^^l-i- — Yi = o, a"x ^ b"r + C'z - d"c + I x: + (A + ji,) X, = o, a\x + é". j f- c\z -f- ^'7 + |- y: + ( |-, + jI;^ Y: = o, ( 45 ) et rélimination, entre ces équations, de x, y, z, t et des inconnues auxiliaires K et K' conduit à l'équa- lion = 0, qui ne diffère de l'équaiiun (2) que par la substitution des coordonnées ^, -n^ X,-, ' aux coordonnées x^ j^ z, t. Note. — Autre solution par M. Genty. a h c d 0 0 «1 b, Cl d, 0 0 a' b' c d' X-, 0 «', b\ c'r < Yr 0 a" b" c" d" 2X; y^i II K <'"> < 2 y; Y. Si Question 1217 (voir 2* série, t. XV, p. 336), Par m. R.-W. GENESE, M. A. du collège de Saint-Jean, Cambridge, Angleterre. ax- -t- è j5= -)- cy' -i- 2/pv -I- ig'/^ -\- lha^=zo est Véquatioii iC une conique, et A, B, C les angles que Vun des axes de la courbe fait avec les côtés du triangle de référence., on a a 6in2 A -h b sinaB -h csin 2G + 2/sin(B + C) 4- 2i,'-sin(G-f- A) -h 2/isin (A + B) = o. (A. Cambier.) 11 faudra trouver l'équation des bissectrices des an- gles de deux droites données. Je donnerai ici pour y arri- ver une méthode qui présente plusieurs avantages. (46 ) Soient X'OX, Y'OY deux droites coupées par un cercle de centre O. Les cordes d'intersection sont paral- lèles aux bissectrices de l'angle XOY. De plus, si le rayon du cercle est nul, les cordes coïncideront avec les bissectrices. Soit a.r'^ 4- by- -\- "xh xy = o l'équation des droites*, le cercle sera représenté par .r^ + j>' H- 2.X)' ces w = o. Alors , A étant choisi de manière que le premier membre soit un carré, ax' H- bj^ + 2.hxf -\- 1 [x- -h J'^ H- 2jrj cosw j = o représentera les bissectrices. X est déterminé par la re- lation [a-hl] [b + 1) = [h-^lcosM]-. En multipliant l'équation par a-f- À et prenant la ra- cine carrée, on a [a -+-y.) X -^ [h -+-1 cos w ) j = o pour l'équation d'une des bissectrices; et, de la même manière 3 [ b -\~ 1) y -{- { h -{- y^ cos w ) X = o, pour l'équation de l'autre. En éliminant X, l'équation des bissectrices est a.v -h- h Y by -\- lix y + X cosw Maintenant, soit LMJX le triangle de référence. Les coordonnées des points de la courbe à l'infini sont liées par l'équation asinîi -f- ^ sinM -i- y sin N i= o. ( 47 ) En éliminant a entre cette équation et rta'H- hi^j'^ + C7' + 2/P7 + ig'/y. -I- 2/iap = o, nous aurons l'équation de deux droites parallèles aux asymptotes de la courbe RP' + Q7' + 2P'p7 = o, où R = « sin-M + b sin-L — ih sinL sinM, Q = «sin^N + c sin^L — ag-sinLsinN, P' = rt sin M sinN H-/sin^L — g sinL sin M — h sinL sin N. Les bissectrices des angles de ces droites sont paral- lèles aux axes-, leur équation est R[î + P'7 _ 3 -1- 7 rosL QV ^ P'p ^ 7 4- p cosL' Mais l'un des axes fait des angles A, B, C avec les côtés de LMN; en conséquence (5:7 = sinB : sinC. On a aussi TT — N = B — A, TT — L=: C— B, TT— M=27r— (C — A); ainsi sinL : sin M : sinN := siD(B — C) : sin(C — A) : sin(A — B). Alors R sinB-f-P'sinC _ sinB — sinCcos fB — C.\ Q sin C -i- P' sin B sin C — sni B cos { B — C ) rosC '^in ^B — C^ — cosB sin (B — C) ou RslniB -+- QsinaC-t- aP'sin B -\-C] — o. ( 48) En remplaçant R, Q, P' par leurs valeurs, la rela- tion devient divisible par sin^ (B — C), et le résultat de M. Cambier est vérifié. Note. — La même question a été résolue par MM. Moret-Blanc; L. Goulin, élève du lycée de Rouen ; Chabanel ; A. Minozzi, à Naples. QUESTIONS. 1218. Pour tout nombre impair p^ on peut poser P, Q, R, S étant des entiers, dont trois ont une somme algébrique égale à un carré. (S. Realis.) 1219. Pour tout nombre entier p^ de l'une des formes 4«-+-i, 4" + 2, 8/1 + 3, on peut poser ^ = P+Q+R4-S, /?'= p+ Q2h-*R'+ s , P, Q, R, S étant des entiers, tels que la somme algé- brique PH-Q + R-f-3S est égale à un carré. (S. Realis.) 1220. On a un certain nombre de cercles dans l'es- pace 5 des mobiles les parcourent avec des vitesses angu- laires égales j leur centre de gravité décrit une ellipse qui a pour centre le centre de gravité des centres des cercles donnés. (Gekty.) 49 SIR LES DEBUTS DE LA TR!G0I\0»1ETRIE ; Par m. Ch. BRISSE. Des angles. 1 . Deux droites qui se coupent déterminent quatre angles, deux à deux égaux et opposés par le sommet. On a trouvé utile de distinguer ces angles, et l'on y est par- verfu à l'aide des conventions suivantes : V angle d'une droite indéfinie AA {Jig' i) a\^ec une droite indéfinie BB est celui dont il faut faire tourner AA, autour de son point de rencontre O avec BB, dans le sens des aiguilles d'une montre, pour V apjdiquer 5i«BB. L'angle de la droite indéfinie BB [fig- 2) avec la droite indéfinie AA est celui dont il faut faire tourner BB, dans le sens des aiguilles d'une montre, pour l'appliquer sur AA. De sorte que l'angle de AA avec BB n'est pas égal à celui de BB avec AA. Dans cet ordre d'idées, on a remarqué que la droite AA {Jig. i), se trouvant appliquée sur BB, s'y trouvait en- core appliquée, si l'on continuait à la faire tourner, après un demi-tour, deux demi-tours, etc. De sorte qu'en Ànn. de Mathtm., ?.' "iério, t. XVI. fFcvricr 1R77.) 4 ( 5o ) appelant angle de AA avec BB la quantité dont il faut faire tourner AA, dans le sens des aiguilles d'une montre, pour l'appliquer sur BB, le mot migle prend une extension qu'il n'avait pas en Géométrie et se trouve défini, mais seulement à un nombre entier de demi-tours près. La même remarque est applicable à l'angle de BB [Jig. 2) avec A A. Observant maintenant que, si l'on décrit du point O [fig. 3 et 4) une série de cercles concentriques, le rap- Fig. 3. Fig. 4. port des arcs interceptés sur ces cercles par les côtés d'un angle à leurs rayons respectifs est indépendant des rayons, on a pris ce rapport pour mesure de l'angle 5 de sorte que le demi-tour, correspondant à une demi-circonférence, s'est trouvé exprimé par le nombre tt. L^ angle de deux droites indéjinies AA et BB est donc complètement déterminé à un multiple près de tz. Dans certains cas, on a trouvé plus commode de tour- ner en sens contraire des aiguilles d'une montre. Pour distinguer ce cas du précédent, on a fait la convention suivante : Quand luie droite AA fait avec une droite BB un angle a, c'est qu'on peut amener la première sur la se- conde en tournant de a dans le sens des aiguilles d'une ( 5i ) mbntre; mais, si l'on dit qu'une droite AA fait avec une droite HB un angle — «, c'est qu'on peut amener la pre- mière sur la seconde en tournant de a en sens contraire des aiguilles d'une montre. Ainsi { fig. I et 2), l'angle de AA avec BB étant a, on peut dire que celui de BB avec AA est — a. En faisant un demi-tour en sens contraire des aiguilles d'une montre, on tourne donc de — ::, et comme, lors- qu'une droite est appliquée sur une autre, un demi-tour dans un sens ou dans l'autre l'y ramène, on peut dire que l'angle de deux droites indéfinies est complètement déterminé, à un multiple près positif ou négatif de t:. 2. Si, au lieu de deux droites indéfinies, on donne deux droites parcourues dans un sens déterminé, c'est-à- dire deux directions, on appelle angle de la direction OA {fig- 5) avec la direction OB celui dont il faut faire tour- ner OA, dans le sens des aiguilles d'une montre, pour l'appliquer sur OB, et angle de la direction OB {fg. 6) avec la direction OA celui dont il faut faire tourner OB, dans le sens des aiguilles d'une montre, pour l'appliquer sur OA. On peut remarquer qu'en continuant la rotation OA se trouve de nouveau appliqué surOB, ou OB sur OA, après un tour, deux tours, etc . ; de sorte que l'angle de OA avec OB, ou de OB avec OA, sera déterminé à un nombre entier de tours près, c'est-à-dire à un multiple près do 4. 02 On peut également convenir qu'on désignera par des nombres négatifs les angles dont on tournera en sens 'contraire des aiguilles d'une montre 5 de sorte que T angle rie deux directions est complètement déterminé à un multiple près positif ou négatif de 27:. D u cosinus. 3. Soit a l'un quelconque des angles de deux direc- tions OM [fig- 7 et 8) et OA. Abaissons d'un point M, Fig. 7. Fig. 8. pris sur la première direction, une perpendiculaire sur la droite qui contient la seconde direction, et soit P le pied de cette perpendiculaire. Ou le point P tombera sur la direction OA [fig- 7), ou il tombera sur son prolon- OP gement [fg. 8). Dans le premier cas, le rapport H-^^' OM OP et, dans le second cas, le rapport — -—5 c'est-à-dire le OM OP . • 1 ' 1 1 I rapport — — , y compris un signe dépendant de Ja position du point P, sera, par définition, le cosinus de l'angle a. Et, comme cet angle n'est défini qu'à un multiple près de 2 7T, il résulte de la définition que cos(2/-7r -f- 0;) =r ces a. Si l'on prend le symétrique M' de M par rapport à OA , il est clair que, si, tournant dans le sens convenable sui- ( 53 ) vanl le signe de a, ou amène OM sur OA, en louruani on sens contraire, c'est-à-dire en décrivant — a, on amè- nera OM' sur OA . La position du point P étant la même pour M et pour M', il en résulte que COs( — a) = ces a. Il est clair aussi que, si l'on prolonge OM [fig. 9), en senscontraire, d'une longueur égale à lui-même, le pied P de la perpendiculaire correspondante tombera, par rap- port à O, du côté opposé au pied de la première 5 de sorte ([ue le rapport —— ne changera pas de valeur numérique, mais que, le point P passant de OA sur son prolonge - Fig. 9. Fig. 10. M ment, ou vice versa^ le cosinus changera de signe. Or on passe de OM à son prolongement en tournant d'un nombre quelconque positif ou négatif de demi-tours ; donc C0S[(2X- -^ 1)7: -Ha] z= — COS2, et, en changeant a en — a, COs[(2>^- -H l)7r — a] = — COSi — a, =r -- COSa. Si le point P (fisi. 10) tombait en O, le rapport — serait nul, et, comme on amènerait alors OM sur OA en tournant dam quart de tour ou dc^: et OM' sur OA en ( 54) tournant de 5 a un multiple près de 27:, il en résulte cosla/'TrH — 1 = 0, cosirt^K D'ailleurs on passe de OM à OM', ou inversement, en tournant d'un nombre quelconque positif ou négatif de demi-tours; donc CCS A TT CCS I X- TT H — Enfin, OM {Jîg- 9) étant une oblique et OP une per- pendiculaire par rapport à MP, la valeur absolue du OP , . rapport — est nécessairement comprise entre zéro et i, de sorte que le cosinus ne peut prendre que des valeurs comprises entre + i et — i. Les points M et P se con- fondant quand OM coïncide avec OA ou avec son pro- longement, c'est-à-dire quand l'angle est égal à 2A7r ou à (2A -+- 1)71, on a ces 2 / TT = I , CCS ( 2 X- -+- I ) TT = — I . Des projections. A. Considérons une direction fixe ZZ [fg- 11) et un Fig. II. segment limité de droite AM parcouru dans le sens AM, la direction ZZ et le segment AM étant ou non dan? ( 55 ) un mémo plan. Par rorigine A du segment, menons une parallèle AX à la direction fixe, et abaissons de son extrémité M une perpendiculaire MP sur AX.Soila l'un quelconque des angles que fait A M avec AX, quand on se place d'un certain côté du plan MAX, cet angle étant — a si Ton se place de l'autre côté, puisqu'on voit alors tourner les aiguilles d'une montre en sens con- traire. Que l'on soit d'un côté ou de l'autre, puisque cos( — a) = cosa, on a, si P tombe sur. AX, AP + •— - =cosa, AM et, s'il tombe sur son prolongement, AP — = cosa; AM d'où l'on conclut, dans le premier cas, H- AP = AM cosa, et, dans le second, — AP = AMcosa. Ce produit de la valeur absolue de AM par le cosinus de l'angle que fait la direction AM avec la direction AX est, par définition, la projection fie AM sur cette direc- tion. Soit O une origine située suffisamment loin vers la gauche pour que les pieds P de toutes les perpendicu- laires qu'il y aura lieu de considérer tombent tous à sa droite, et proposons-nous, un mobile cheminant sur la direction AM, d'évaluer à chaque instant la distance OP de sa projection au point O, connaissant la distance pri- mitive OA de son point de départ. On aura, dans le premier cas, si P tombe sur AX, OP L OA -I- A P on OP ._ OA -h AM cosa, ( 56 puisque -+- AP := AMcosa, et, dans le second, s'il tombe sur son prolongement, OP=rOA — AP ou OP = OA + AMcosa, puisque — AP= AMcosa; c'est-à-dire que, dans tous les cas, la distance au point O de la projection du point M est égale à sa distance pri- ndtive augmentée de la projection de AM. Il est clair qu'au lieu de mener par le point A une parallèle à ZZ et d'abaisser du point iNI une perpendicu- laire sur cette parallèle, on peut, des points O, A et M, mener des plans perpendiculaires à ZZ [fig- 12); car, Fiff. 12. d'abord, l'angle de deux directions est indépendant de leur position, et ensuite oa et OA, ap et AP, op et OP sont égales comme parallèles comprises entre plans pa- rallèles, de sorte qu'on a toujours op ^ oa -\- AM ces a ou op ^ oa -+- proj. de AM. Cela posé, considérons un polygone fermé quelconque, plan ou gauche, ayant A, Ai, Aj, . .., A,„_i pour som- mets, et parcourons-le dans le sens AAj ... A,„_ix\, de manière à revenir au point de départ. Projetons à chaque instant le point décrivant sur ZZ; quand il coïncidei-a ( 57 ) successivement avec les ditVérenls sommets du polygone, Ja distance au point o de sa projection sera successive- ment oa, oa -+- proj. de A A,, on -t- proj. de AAi + proj. de AA„ . . . , on -h proj. de A A, -1- ... -I- proj. de Am_, A. Mais, puisqu'on est revenu au point de départ A, la pro- jection est revenue à son point de départ a, et elle est à la distance oa du point o; donc oa -i- proj . de AA, -+- proj. de A, A^-f- . . . -f- proj . de A^-i A =: oa, d'où proj. de AA, -I- proj, de A, Aj-4- . . . -f- proj. de Am_, A = o, c'est-à-dire que la somme des projections d'un poly- gone fermé quelconque , plan ou gauche, parcouru dans un certain sens, sur une direction fixe, est égale à zéro. C'est dans celte proposition que consiste le théorème des projections. Du sinus. o. Comme première application du théorème des pro- jections, soit, dans un plan, a l'un quelconque des angles de deux directions OM et OA. Abaissons d'un point M, pris sur la première direction, une perpendiculaire sur la droite qui contient la seconde direction, et soit P le pied de cette perpendiculaire. Projetons le contour fermé OPMO sur une direction OL faisant avec OA un angle égal à - • Le point P tombant sur OA ou sur son prolongement, OP fait ave'c OL un angle égal à — - ou à H — ; mais ?. 2 (58 ) cos (=t: - I = o; donc sa projection OPcos f ± - | est nulle. PM étant perpendiculaire sur OA fait avec elle un angle égal à -\ — ou à Pour trouver l'angle dePM avec OL, ramenons d'abord PM sur OA en tournant de H ou de ) puis OA sur OL en tournant de ; 2 2^ 2 l'angle cherché sera -{ ou ■> c'est-à-dire " 2 2 2 2 o ou — TT. La projection de PM sera donc PM coso ou PM cos (— 7r) , c'est-à-dire H- PM ou — PM. MO étant dirigée en sens inverse de OM fait avec elle un angle égal à t:. Pour trouver l'angle de MO avec OL, ramenons d'abord MO sur OM en tournant de tt, puis OM sur OA en tournant de a, puis OA sur OL en tour- nant de ■ ; l'angle cherché sera t. -\- a > c est-à- dire — f- 5c. La projection de MO sera donc MO cos ( - + a I OU — MO cos ( La somme des projections étant nulle, il en résulte ^- PM — MO cos ( - — a ) =r o , ou — PM — MO cos ( - Les angles a et a, dont la somme algébrique est égale à -» sont dits complémentaires , et le cosinus du complément d'un angle est dit le sinus de cet angle; de { 59) sorte que l'on a, par définition, sina = ces 1 - et que les relations précédentes deviennent PIM . PM suivant que PM fait avec OA un angle égal à -^ ou à TT , PM . .1,11 Le rapport ^— > y compris un signe dépendant de l'angle que fait la direction PM avec la direction OA, sera donc le sinus de l'angle a. En changeant, dans les différentes formules établies pour le cosinus, a en - — a, on obtient les suivantes : sin(2Â7r -I- a) = sina, sin( — a) = — sina, sin[(2/- 4- iJTT -f- 7.] = — sina, sin[(2^- H- iJtt — a] = sma, sin''r = o, sinla/TrH — )=^'> sinlaX-Tr — Des formules d'addition. 6. Comme deuxième application du théorème des pro- jections, soient , dans un plan , a l'un quelconque des angles de deux directions OM et OA, b celui d'une nouvelle di- rection ON avec OM. Abaissons d'un point N, pris sur la direction ON, une perpendiculaire sur la droite qui contient la direction OM, et soit P le pied de celte per- pendiculaire. Projetons le contour fermé OPNO sur la direction OA. Si le point P tombe sur OM, la valeur absolue de OP est ON cos^, d'après la définition du cosinus; OP fait ( 6o ) alors avec G A le même angle que OM, c'est-à-dire Fangle «, de sorte que sa projection est ONcosècosa. Si le point P tombe sur le prolongement de OM, la va- leur absolue de OP est — ON cosh. Pour trouver l'angle de OP avec OA, ramenons d'abord OP sur OM en tour- nant de 7T, puis OM sur OA en tournant de a: l'angle cherché sera tt -h a. La projection de OP sera doue — ONcosè cos(7: H- a) ou ONcos^cosa, comme pré- cédemment. Si PN fait avec OM un angle égal à -j sa valeur ab- solue est ONsinZ>, d'après ce qu'on a vu pour le sinus. Pour trouver l'angle de PN avec OA, ramenons d'abord PN sur OM en tournant de -5 puis OM sur OA en tour- nant de a-^ l'angle cherché sera - -j- a. La projection de PN sera donc ON sinZ>cos( — ^a\ ou •— ONsinèsina. Si PN fait avec ON un angle égal à — -> sa valeur absolue est — ON sine. Pour trouver l'angle de PN avec OA, ramenons d'abord PN sur QM en tournani de ^1 2 puis OM sur OA en tournant de a', l'angle cherché sera -h a. La projection de PN sera donc — ONsinicosi -\- a] ou — ONsinôsinfl, {-^--) comme précédemment. NO étant dirigée en sens inverse de ON fait avec elle vin angle égal à tt. Pour trouver l'angle de NO avec OA, ramenons d'abord NO sur ON en tournant de tt, puis ON sur OM en tournant de Z», puis OM sur OA en tournant ( til ) (le a-^ l'angle cherché sera tt -f- A 4- «. La projection de NO sera donc ON cos (tt H- ^ 4- a) ou — ON cos ( Z> -h « ) . La somme des projections étant nulle, il en résulte ON CCS 6 ces « — ON sin^ sinw — ON cos[b -4- ) = CCS a cos6 — sin« sin b. Changeons b en — h, ces [a — ^ 1 = coS(7 cos b + sina sin 6. Changeons maintenant a en \^-~[a^ sin (a -\- b] ■= sina cos^ -\- cos« sin^. Changeons enfin b en — è, sin(« — ^) = sinrt cos 6 — cosrt sin b. [â suivre.) Sl]R UNE MÉTHODE DE WRIATIO!^ DES PARAMÈTRES DANS LES INTÉGRALES INDÉFINIES, Pab m. andreiewsky, Professeur à l'Université de Varsovie. \ . Les principes connus de la méthode de la variation des constantes arbitraires peuvent être appliqués aux paramètres des intégrales indéfinies, et nous allons montrer comment, à l'aide de cette application, on pourra déduire des intégrales connues les valeurs des intégrales d'autres fonctions, en général, plus compli- quées, puisque, au lieu des paramètres, elles contien- dront des fonctions de la variable. V 62 ) 2. En premier lieu, je remarquerai qu'en admettant, comme choses connues, ladifférentiation de la puissance entière et positive de la variable et le théorème sur les dérivées des fondions composées, il sera facile d'en dé- duire, au moyen de la variation des paramètres, toutes les règles fondamentales du Calcul différentiel. Considérons, pour cela, une fonction F[x,a) de la variable x et du paramètre a, ayant pour dérivée, par rapport à x. Si a dépendait de x, la dérivée complète deF(x, a), par rapport à x^ s'exprimerait ainsi : dFix,a) .. ^ dY da dx ^ ' da dx et, en déterminant a de manière que l'équation âF_ _ da soit satisfaite, on aura de nouveau d¥[x, a] dx 3. Cela posé, soit =f[x,a). à} Y[xy a]=zax" y x'", 4 n désignant un nombre entier et positif. On aura d'abord dY{x,a\ Sna'' nax" K.3« — 1 ùx 4 et, en substituant dans les deux membres de celte for (63 ) mule la valeur de a, satisfaisant à l'équation -— =a:" x^"= o, oa 2 c'est-à-dire a = 2x-'". on obtiendra dœ-" dx 4. Pour déduire maintenant la dérivée d'une puis- sance fractionnaire, faisons m — I a'-'" Ffx, al =: a H X", 'm m m et n désignant des nombres entiers, et remplaçons, dans les deux membres de l'équation dF{x,a) n - u u. , ax m a par sa valeur n a =r .t'" , tirée de dV m — I m I — m 1 da ~ m il s'ensuivra dx^ dx ^::: — Xm m a~"'x"= o. 5. Après avoir établi la règle de différenlialion des puissances quelconques, il suffira, pour déduire la dé- rivée du produit, de poser 4 Il ei V désignant deux fonctions de x ne renfermant pas ( 64 ) a. En éliminant alors <2 entre les équations dFf.r, rt) a -\ , a-" , dF ^ a ; =:- Il a -4- — ('- c', - — =z u' (^- ^ O, 0.T -2. ^ âa 2 on aura diuv) uv -t- vu dx En partant de l'expression Y [xy a\T= aii"^ T- (', 4 on déduira, de même, la dérivée du quotient -• 6. Considérons maintenant les intégrales indéfinies renfermant un certain nombre de paramètres. Admet- tons que Tintégrale de l'expression /"(x, <7, Z>, c, . . .)c?x, où a, ^, c, ... désignent des paramètres, soit connue, et qu'on ait (i) Jf\.T.,a,b.c,...)dx:=zY[x,ayb,c, ...) + consl. Je dis que cette équation subsistera encore, si les con- stantes a. b^ c,. . . y sont remplacées par des fonctions de la variable x, liées entre elles par une certaine rela- tion. En effet, remarquons pour cela que, a, b,c, . . . étant des fonctions de x, on pourra traiter toutes les gran- deurs a^b^c^. . . comme fonctions de l'une d'entre elles, par exemple de a. Cela posé, si l'on différentie (i) par rapport à x^ d'abord dans l'hypotbèse de a, b^c,... constants, on aura f[x^ «, b, c^ ÙY[.r.^u^ b,c, . . .) dx Or il est clair que cette dernière équation et, par cou- ( 65 ) séquent, l'équation (i) conserveront la même forme, si l'on y remplace a, b, c^ . . . par des fonctions de x annu- lant la dérivée totale de F(a:, «, />, c, . . .) par rappo»" à a, c'est-à-dire satisfaisant à Féquation , ^ rlF _ r)F ^ OF ffh <)F de ^ _ (/a du ôb da <)c da En posant maintenant * = ?(«)» c = ^{a], ..., où les caractéristiques !j5, }, . . . peuvent être quelcon- ques, on aura l'équation ^)F âF „ . ÔF ^,, . pour déterminer a en fonction dex. Ainsi, de la valeur connue de l'intégrale (i), on dé- duira les valeurs d'autres intégrales, où les paramètres «, h, c,. . . seront remplacés par des fonctions de x. Pour que les intégrales ainsi obtenues ne contien- nent que des fonctions explicites, il faudra que l'équa- tion (2) soit résoluble par rapport à a^ ce qui aura lieu, entre autres, pour certaines formes algébriques, expo- nentielles et trigonométriques de la fonction /{x, a, b,c,. . .). 7. En intégrant la puissance m'*"'^ d'une fonction li- néaire (xax -h ^, où a et b désignent des paramètres, x un nombre quelconque indépendant de a et b, on a ,3, ^, , , , [aax -J- ^'|"' + ' ( o ) I [(x.ax -i- b }"'ax ^= — ; h const. [m -t- i ja.a Aiin.de Maclit^mat., Q* série, t. XVI. (l't'vrirr 1877.) 5 {66 ) Dans ce cas, l'équalion (2) s'écrira ainsi Par conséquent, d'après ce qui a été dit, la formule(3) aura lieu, non-seulement pour des valeurs constantes de a, Z», mais aussi pour toutes fonctions de x liées entre elles parla relation (4). Posons, par exemple, Z» = a" -|- |3, où j3 est un nombre indépendant de «5 les égalités (3) et (4) deviendront n — \ r « s 1'"+' I = ax + ■ — — . — 1- const., mn -t- n — ij_ [/? — ij^J " mxx 3 <7"- mn -\- ti — I iiin -\- n — 1 , ma S et, en remplaçant par a et par ^ ' mn -!~ /i — 1 mn -r n — 1 [3, il vient I \ ax — —r- I dx J L i'^-ij^J /? — I r w/?s i'"^' I = fix — -^ '-— — \- const., mn H-/? — iL [n — ijaj « où n vérifie l'équation a" -\- oLxa -\- p r= o . Si l'on fait, dans ces dernières formules, a = //, p = — (« — i)(J, on aura n — I [ax -{- mB]'"-^^ (5) f[ax-\~m§Ydx^ ^ ' -^ ^ ' mn -h n — i pour a satisfaisant à l'écjuation fl"H- nxa — (n — 0^ =^ o. ( 67 ) La résolution de celle dernière équation ne présente aucune difficulté dans les cas de n = 2, 3, et l'on trouve ainsi les valeurs des intégrales f [x \i' X- -i- 0 — X'-h m S)"'dx I {.r \Jx' H- d — x^ -h m S )'"-^' y ( ax -f- /n §Y'dx ^= \/x^-hS — .T 2 («.r H- mS]"'-^' 3m ou Dans la formule (5), l'exposant m peut recevoir des valeurs quelconques, à l'exception de — i et -: les deux dernières formules deviennent illusoires respecli- 3* f vement pour m = — i , el ni = — i , — 8. Dans un Mémoire remarcjuable Sur la ffétermina- tioii (les intégrales dont la valeur est algébrique i^Jour- )tal de V Ecole Polytechnique^ XXIP Cahier), ]M. Liou- ville a démontré que l'intégration des fonctions, qu'il iiomYne fonctions irrationnelles de première espèce, (juand elle est possible algébriquement, dépend de ce théorème général : Si l'intégrale 1 —^ — -•> IVI et T étant des fonctions J vT entières de a;, a une valeur algébrique, cette valeur sera nécessairement de la forme C ^\dx 0 ail 0 désigne une Jonction entière dex Mdx const., 5. ( 68 ) Supposons rnainlenant que la fonction F renferme un certain nombre de paramètres «, Z>, c, . . . , et que 0 ne dépende pas de ces derniers; alors l'équation (2), relative aux paramètres a, Z>, c, . . . de T, prendra cette foriiie simple En introduisant ensuite dans (6), au lieu de «, b,c, . . . , des fonctions de a:, au moyen delà dernière équation, comme il a été expliqué (6), on déduira de l'inté- grale (6) les valeurs des intégrales d'autres fonctions irrationnelles, qui seront, en général, d'une espèce su- périeure. Par exemple, pour l'intégrale /* a dx .V (8) / ^ = 1 -+- ^«"^^•' J {a-+- bx") " [a 4- bx")" l'équation [y) est dh (9i ' + -^''^ = °' par conséquent, les paramètres de cette intégrale (8) peuvent être remplacés par des fonctions de x, liées entre elles par la relation (9). En faisant b = sin a, on déduit de (9) : a = arc séc x", et, par suite, la valeur de l'intégrale arc séc .T"dx consl. ( % ) 9. I^a inélliocle de la variation des paramèlres, exposée au n" G, étant appliquée aux intégrales des fonctions exponentielles c°'-'''''^'--*^t|^ (.r, a, ^,. . .)dx^ oùoet<| dé- signent des fonctions algébriques de X et des paramètres a, b,. . .^ quand ces intégrales s'expriment sous forme linie, fournit une relation a/^éZr/V^^ie entre la variablex, I < 7 1 . , . , clb les paramètres a, b, . . . ^ et leurs dérivées -—■>..., par rapport à l'un d'eux. Cela résulte de ce théorème, dû à M. Liouvllle (Mé- moire sur T intégration d'une classe de fonctions trrins- cendantes ; Journal de Cr'elle^ t. XIII, p. gS) : Si V intégrale fe^'jdx, oii y désigne une fonction algé- brique de X., est possible sous forme finie^ on aura f e^ydx = ^F(jc, j) + const., Y[x^j) étant une fonction rationnelle de x et y. D'après cela, en supposant que l'intégrale soit connue sous forme finie, nous aurons — er(^. a. *-•••■>/( X, a, h, ...]-\- const., oi\f [x, <7, b,. . .) sera une fonction algébrique de x, «, b, . . ., et Téquation (a), relative à celle intégrale, étant débarrassée du facteur e?''*"''''"-), prendra celte forme ôf df db ^/6>« d<:fdh — 1 — ^ h.. .4-/ — -H- — h Ôa ()b da \Oti ôb du qui sera algébrique par rapport à a, Z>, ... , -—, .... 10. Par ex'eniple, pour les paramètres a ^ b de l'inlé- (lo) r tf'"'-+*^x =z :- const., OÙ a est un nombre indépendant de «, b^ on trouve ainsi la relation db n — 1- 'xxa — I = o. du Eu faisant u. « a A, pi, n étant des nombres quelconques, on en déduit la formule n— I \ /. ax ■ ax , y- t f « !A djn =^ ■ h const., À rt pour a satisfaisant à l'équation a"-^\xa — fx = o ; et si l'on pose ). = /?, [X = f« l)5, il vieut ax C 'If / n — i\ ^e^ j e S (te := I 0 'r- const. , pour a satisfaisant à l'équation- rt"4-/7.r<7 — (« — I 0 := o. Dans les cas de // = 2,3, on obtient ainsi ■^ r /— : — ; \ L jWx^+S-x) ^ ^, s d.r = - ' h const., /fLf -2 6^ e i d:r = -S > 3 « ou a =\S -i-\Jx^-^-§^ ^\3 — \Jx^ -t- ( 70 11. Remarquons maintenant (|ue, l'intégrale d'une fonction quelconque, renfermant des paramètres, étant connue sous forme finie, il sera souvent facile d'en dé- duire, à l'aide de la variation des paramètres, les inté- grales de certaines fonctions exponentielles. En effet, soit ff[x,a,b,. . .)d.r = ¥[.r, a, b,. . .)-j-const. Eu multipliant les deux membres de celte équation par la constante e", nous aurons (il) J c^f'yx, a, b, . . .]dx = e"F{.r-, a, l>,. . . ]-^ consr., et l'équation (2), relative à cette dernière intégrale, étant divisée par le facteur e", prendra la forme , , ^ àP àFdb 12 F -f- — + -—-- +...=zo. Oa âb da En remplaçant les paramètres b,... par des fonc- tions de «, choisies arbitrairement, et éliminn nt ensuite a entre les équations (11) et (12), on obtiendra la valeur de l'intégrale d'une fonction exponentielle. Ainsi, de l'intégrale dx .T. =1 h const.. bx'^' ou déduit h e'^dc efx 13) / ^ = ^-!-const., [a -i- 6.r") « a[a -\- bx"]" et la relation (12) entre a cl b devient db\ (a — i](a -\- bx") ( I -, _ ^ '^ ' fi\ du) \ — o. Si l'on su^ipose b indépendant de rt, cette équation se ( 7^ réduit h et l'élimination de a entre (i3) et {i4) conduit à ce ré- sultat i VK , e -'■ ^" d.T. 1 — /r .rt- ■' '•" const., (« + I— nb.T^ -h\/R){n -+- i 4- nbx" -^ts/R)" OÙ R = //2(^2_r2«-l- 2/2 (/z — i) /^;c''+ (/2 -f- i)-. 12. Le théorème de M. Liouville, cité au n° 9, com- jirend, comme corollaire, la proposition suivante : Si r intégrale fj^[x)s\nxclx,j'[x) désigjiaiit une fonction algébrique^ est possible sous forme finie, on aura ff[-^) s\x\x dx ■=. cfix) cosx + •>!> (x) sin.r H- const., © et '^ étant des fonctions algébmques ; elles seront ra- tionnelles, sif[x) est une fonction rationnelle. 11 est facile de s'en convaincre, au moyen des rela- tions connues entre les fonctions exponentielles et tri- gonométriques. De plus, la fonction ^{x) devra véri- fier l'équation différentielle dx- dx dont lus solutions rationnelles, si elles existent, ponr- l'ont être trouvées d'api es la mélliode de M. Liouville ( 73 ) [Second Mémoire sur la détermination des intégra/as dont la valeur est algébrique^ Journal de l'Ecole Po- lytechnique, XXIP Cahier, p. 117). La fonction œfj:) étant connue, on trouvera '^[x) par l'équation do- ' ^ Tout ce qui a été dit, reiativement à 1 intégrale ff[x)s\\ixdx^ s'applique, avec des modifications cor- respondantes, à l'intégrale J'y (a:) cos a: f/x. 13. Concevons maintenant que l'expression f[x,a,b^,.. ]sin xdx, f[x^ a, b,. . . ) étant une fonction algébrique de x et des paramètres a, b^. . .^ s'intègre sous forme finie; alors, d'après le théorème du numéro précédent, on devra avoir yy(.r, a, b,. . . ,)s\nx(tx = w(j7, «, ^, . . .) cosx -+- ii[x, a, b,. . .) sinj: -h const., où (j> et •!) sont des fonctions algébriques, et l'équation (2) prendra, par conséquent, la forme ô ■ • , \ I ; iinxdx ',5) \J [x^aj^ arcos.r « sin r i" 7 r '" tJOnst, X ~>r a yx -\- ay ( 74 ) on a ,t(^x -r-a)-T- [x — a ) tang or = o; c'est-à-dire que la formule (i5) subsiste, quand on y remplace le paramètre a par la fonction .r(.r + tant;^] tang X — .r et l'on obtient ainsi y (x — tang-r] ( 2 -r- cot-or j cos. v clx , , fscosx (utH- tan«: j:)sin j7 I = Lr — langj; ^ -}- const. LtangjT j: tang-.r J l^. Pour terminer, nous donnerons encore les exem- ples suivants de l'intégration au moyen de la variation des paramètres : 1° L'équation (2) relative à l'intégrale /adx tani^o: [a -T- [ax -1- b)\.a.ns,x\ a -t- [ax -i- 6Uang.r est / db\ \ du) ^ d'où, en posant h = e", on tire* a = log(.r H- cotx), ^ z= jr -f- cot j:, et, par suite, logfj: H- co\.x)d.T -r- consl. / ^ tang.r -1- i)2[log(j: + cotj:) -i- ij^ tang X const. [x tang j; -i- i)[log(^^ -+- cot^) -i- i J 2" En formant l'équation (2), pour l'intégrale ^g r {3x-ha]d.i J VR , , x'^'h ax -h\/R . log( — j H- const., " -h ax ~ v/R mJT ou trouve ( 75 ) X -^ n do , 6 = 0, 2 (Ùl et, si l'ou y fait S a et (3 désignant des nombres indépendants de a et b,. cette relation fournit les valeurs suivantes de a, b, a a' après quoi la formule (16) devient / .<'^-')^^ _ 1 ,„., / ^^-^V'4-^^-Pfg!_ I + const. v/4^'+pj:e" 2 *'\2^--T-av/4j:=-T-fl CONCOURS GENERAL DE 1876. MATHÉMATIQUES SPÉCIALES. Etant donné un parallélépipède, on considère trois arêtes qui n'ont pas d'extrémités communes et les deux sommets non situés sur ces trois arêtes : i" Trouver l'équation du lieu d'une courbe plane du second degré, passant par ces deux points et s'appuyant sur les trois arêtes 5 2" chercher les droites réelles situées sur la surface; S'' étudier la forme des sections faites dans la surface par des plans parallèles à Tune des faces du parallélépipède. ( 76 MATHÉMATIQrES ÉLÉMENTAIRES. On donne une circonférence, une droite fixe LL' qui rencontre la circonférence, et deux points fixes A et A' sur la circonférence; on joint un point quelconque JM de la courbe aux deux points A et A', les droites MA, MA' lencontrent la ligne fixe LL' en deux points variables P et P' : démontrer qu'il existe sur la droite LL' deux points fixes I et 1', tels que le produit IP X l'P' demeure constant lorsque le point M se meut sur la circonférence *, déterminer la position des deux points I et I'. PHILOSOPHIE. Dans un cube dont l'arête est «, on mène une diago- nale AA', puis on coupe le solide par un plan mené per- jjendiculairement à la diagonale et à une distance d du sommet A : 1° On demande la figure de la section qui correspond aux diverses valeurs de d\ 2° On demande l'aire de la section et les limites entre lesquelles elle varie lorsque le plan sécant se déplace. RHÉTORIQUE. Première question. — Système de Copernic. Seconde question. — Etant donnée une sphère, on construit, sur un grand cercle de cette splièie, comme base, un cône équivalent à la moitié du volume de la sphère, et l'on demande : 1° De trouver le rayon du petit cercle suivant lequel la surface de ce cône coupe la surface de la sphère; 2° D'évaluer le volume de la portion de cône comprise entre sa base et le plan de ce petit cercle. ( 77) SECONDE. Première question. — Construire un triangle ABC, connaissant les longueurs des deux côtés AB et AC, et celle de la bissectrice AD de l'angle A. Seconde question. — On mène les diagonales d'un trapèze ABCD, lesquelles se coupent en un point O. Etant données les aires p^ et q- des deux triangles AOB, COD, trouver l'expression de l'aire des deux autres triangles AOC, BOD, et celle de l'aire du trapèze. TROISIEME. Première question. — Construire un triangle ABC, connaissant la base AB, donnée de position, l'angle au sommet C, et un point P pris sur la bissectrice de l'angle formé au point C par le côté AC et le prolongement du côté BC. Seconde question. — Une somnie de ^200 francs a été placée à intérêts simples; et l'oji remarque : 1° que si la durée du placement eùi été augmentée de dix jours, l'in- térêt total eût augmenté de 12 francs; 1° que si le taux eût diminué de y pour 100, l'intéiêt eût diminué de 24 francs. On demande le taux et la durée du placement ( l'année est comptée pour 36o jours). ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL. Première question. — Etant donnés deux rectangles égaux superposés ABCD, A'B'C'D' : I" Déterminer géométriquement un point O tel, que si, laissant fixe le rectangle ABCD, on fait tourner autour de ce point le rectangle A'B'C'D' jusqu'à ce que le f 78 ) grand côté A'B', qui coïncidait primitivement avec AB, vienne se placer perpendiculairement à AB, le milieu de A'B' se trouve au point de concours des diagonales du rectangle ABCD^ 2° Calculer, en supposant les longueurs des côtés AB et AD égales à 2a et à aZ», les distances du point O aux deux côtés AB et AD. Seconde question. — On donne un prisme droit et une pyramide de même hauteur égale à 5 centimètres; la base du prisme est un triangle équilaîéral ABC inscrit dans un cercle de 3 centimètres de rayon \ la base de la pyramide est un triangle équilatéral DEF inscrit dans le même cercle, le point D étant diamétralement opposé au point A; le sommet de la pyramide est sur l'arête laté- rale du prisme qui passe par le point A. On prend pour plan horizontal le plan du cercle, pour ligne de terre une perpendiculaire au diamètre AD,. située à 5 centimètres du centre, et du même côté que le point D par rapport à ce centre. Représenter les deux solides par leurs projections; construire les projections de la surface d'intersection des surfaces des deux solides; puis, transportant la figure parallèlement à la ligne de terre de 3 centimètres vers la droite, représenter par ses projections le solide commun au prisme et à la pyramide. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELIIPTIQIES; Par m. h. LAURENT. Les personnes qui veulent étudier la théorie des fonc- tions elliptiques ont certainement d'excellents ouvrages a leur disposition : les Fimdamenta nova de Jacobi, les ( 79 ) OEuures cVAbel, l'ouvrage plus ancien de Legendre, sont des chefs-d'œuvre qu'il est bon d'avoir lus quand on veut approfondir la théorie des fonctions elliptiques. Le Traité des fonctiotis doublement périodiques, de MM. Briot et Bouquet, résume aujourd'hui presque tous les faits acquis à la Science sur cette branche intéressante de l'Analyse; mais il n'existe pas de Traité, pour ainsi dire élémentaire, dans lequel on puisse prendre une idée suffisamment exacte de la théorie des fonctions elliptiques, sans cepen- dant l'approfondir dans tous ses détails. Nous croyons donc faire une chose utile en offrant aux lecteurs des Nouvelles Annales une théorie des fonctions elliptiques résumant leurs propriétés les plus importantes, et leurs principales applications à la Géo- métrie et à la INIécanique. Nous n'avons pas l'intention, disons-le immédiate- ment, de suppléer à la lecture des grands maîtres; nos articles devront surtout avoir pour but de faciliter cette lecture et d'en inspirer le goût. NOTIONS PRÉLIMINAIRES. Avant d'aborder la question des fonctions elliptiques, nous ferons connaître quelques principes relatifs à la théorie générale des fonctions. Nous représenterons une imaginaire jc-l-j'^ y — i par un point dont les coordonnées seront j: et y^ ou par une droite dont la longueur sera le module /• = y/x^H-^ *, faisant avec l'axe des x un angle G égal à l'argument de X -\-y sj — I . Cet argument sera d'ailleurs pour nous l'un quelconque des angles ayant pour cosinus - et pour y sinus -. Quand nous dirons que le point ^ -h J' y^ — i décrit une courbe, il faudra entendre par là que le point dont les coordonnées sont x^ y décrit cette courbe. On peut considérer l'expression X H- Y \J — i , où X et Y sont des fonctions de x et y, comme une fonciion de x -i-j \J — i . Caucby se plaçait à ce point de vue, mais nous ne con- sidérerons que les fonctions de x -i- y, \J — i ayant une dérivée unique et bien déterminée. Cette condition d'avoir une dérivée unique impose à X et Y certaines propriétés que nous allons faire connaître. La dérivée de X -h Y sj — i est dX , dX , /dY , dY , dX. H- dY ^ — I d,r aj \ d.r d j cLc -f- dj y/ — I d.r -+- dy \j — i et, pour qu'elle soit indépendante du rapport -^i c'est-à- dire de la manière dont dx -\- dj \j — i tend, vers zéro, il faut que dX / dY dX , dY ax dx ay i\y d'où l'on conclut, en égalant les p'arties réelles et les coef- ficients de y — i , dX dY d^ "~d7' dY d7^ dX Nous supposerons ces relations toujours satisfaites 5 d'ail- leurs, la manière dont on prend les dérivées des fonctions que l'on rencontre en analyse prouve que ces fonctions n'ont qu'une seule dérivée. (*) Pour l'interprétation de ces formules, voir le Traité des fonctions doublement périodiques, de MM. Briol ot Bouquet. ( 8i ) Une fonction qui n'a qu une dérivée en chaque point, c'est-à-dire pour chaque valeur de la variable, a quelque- fois été appelée uionogèiie. Une fonction est dite nionodrome dans une portion C du plan, quand, le point qui représente sa variable (ou, pour abréger, quand sa variable) se mouvant dans cette portion C du plan, la fonction reprend toujours la même valeur quand sa variable repasse par le même point. Les fonctions bien définies, telles que les fonctions ra- tionnelles, le sinus, le cosinus, l'exponentielle, etc., sont monodromes dans toute l'étendue du plan; car, leur va- riableétantdonnée, elles sontentièrementdéfînies. II nen estpas de même des fonctions irrationnelles ; ainsi, pour ne prendre qu'un seul exemple, \Jz — ao\x\x -{-j \j — i — a n'est pas monodrome à l'intérieur d'un contour conte- nant le point a. Imaginons, en ellét, que le point r, ou x -r- y \ — i, décrive un cercle de rayon /'ayant pour centre le point a\ on sait que la droite qui représente la somme de deux imaginaires est la résultante des droites représentant chaque partie de la somme (*) \ la droite re ^ ^ qui re- présentera la somme z — a, sera donc la résultante des droites qui représentent z ei — a. Cette droite est celle qui va du point + a au point z. Supposer que le pointzdécrit un cercle de rayon /autour du points, c'est donc supposer que le module /"de z — n ^= /e''^ ~' reste constaiil. Cela posé, on a \ -y- r-f- (*) Foir rOuvrafjc de Mourey sur La vraie théorie des quantités pré- tendues imaginaires ; sur le Calcul des équipollences [Nouvelles Annales, a" série, t. VII!, i8Gr)}; mon Traité d'Algèbre ; rOuvra;;c de MM. Uriot et Fiouquel déjà cflé, etc. //«//. de Miithémat., •.!*-' béiie, t. \VI. (Février i S77.) ^> ( 82 ) Que le point z se meuve sur Je cercle en tournant dans le sens positif (celui dans lequel les angles croissent en Trigonométrie), B va croître ainsi que -• Mais, quand 0 aura varié de 27:, le point z sera revenu à son point de départ, et z aura repris sa valeur initiale j il n'en sera pas de même de \jz — a, qui sera devenu 1 »+!?v/^ 1 ^:ri et qui aura changé de signe. DES IKTÉOrxALES PRISES EKTRE DES LIMITES IMAGINAIRES. La fonction f{z^ de la variable imaginaire z = or + j- y/ — i est en réalité une fonction de deux variables, et si, entre j?et j, on établit une relation, telle que y(z) devient alors fonction de la seule variable t. Si l'on pose alors ^■, = ^(/,), J-o = ^î'(^„), X = )](•4-v'-T)^^/^ ( 84 ) Je prends pour limites o et /, parce que t représente la distance du point [x^y) à l'origine; cette distance est o ou /, selon que le point {x,j) est à l'origine ou à l'ex- trémité de la droite. Théorème DE Cauchy. — Le point z variant àV inté- rieur d'un contour donné, si, à V intérieur de ce contour, la fonction fi^z) reste monodrome, nionogène etjinie, V intégrale l f{^z)dz conservera toujours la même va- leur^ pourvu que le chemin qui mène de z^ àT, ne sorte pas du contour donné, quel que soit d'ailleurs ce- che- min. Pour démontrer ce théorème, un des plus féconds de toute l'Analyse, nous intégrerons la fonctiony(2) le long de deux contours AMB, ANB. Soient s l'arc du premier contour compté à partir du point A, et ks l'arc du second compté toujours à partir du même point A; soient les équations du premier contour, et celles du second; et, en désignant par S l'arc AMB, supposons que 7»S soit l'arc ANB. Joignons maintenant les points correspondants dos deux contours; soient M { 85 ) et IN deux points correspondants, c'est-à-dire tels que AN=AAIM. Nous supposerons que la droite ÎMN soit tout entière dans l'intervalle compris entre les deux con- tours; considérons maintenant le contour ayant pour équations ■» a. — 2«1 -f- ) = — (^«)? cai" ce sont les mêmes intégrales dont les limites sont inversées-, de Fie. 3. même {fs)= — {if) et [fjka)-^{aef) est l'intégrale proposée 5 on a donc o = [bcd)-^[aef) + ff[z)dz. Or [hcd) est l'intégrale prise le long d'un contour cir- culaire très-petit décrit autour d'un infini, z marchant dans le sens rétrograde 5 cette intégrale est, au facteur près 1 — z-, le résidu dey^(z) 5 donc ■Xt:\ — I 0 = — 27rv/— iR, — 27: sj — lK,-hf/{z]dz, ou // [z] dz = -?.n v/^^(R, + R: ' . C. Q. F. D. CALCUL DES RÉSIDUS. Avant de montrer comment on calcule le résidu d'une fonction, nous allons revenir un instant sur la règle de la différcnliation sons le signe/. Celle règle est encore apjdicable quand on s'adresse à une inlégrale prise entre des limites imaginaires, piiis(|u'unc telle in- (90) légralo revient à une autre prise entre des limites réelles. Enfin cette règle est encore applicable quand la variable par rapport à laquelle on diffirentie est imaginaire. En effet, difïérentier une quantité ii par rapport à x-hy\J — I, c'est calculer le rapport i\u du dx dj dx -\- dy \l — I Ce rapport est indéterminé (excepté si u est une fonc- tion monogène), et, pour en préciser le sens, on doit donner le rapport —5 ou, si l'on veut, on doit supposer X et j fonctions données çp(ï), ^ (^) d'une môme va- riable t. et se donner — et -- • On différentie alors le dt dt long de l'élément (r/x, (//) appartenant à une courbe dont les équations sont x = (J'(^), j' = (|> (f) 5 on a alors l'expression suivante de la dérivée de u du du Si l'on veut alors différentier l'intégrale , / p du du par rapport a .r -)-• r i/ — 1, on iormera -— -, - par règle ordinaire, et l'on aura dV dv ^ r df jV — i] J d(x+jv^— ij rf^, zr— d'J. , ( 9' ) el l'on voit (juo l'on difl'ércntic par rapport à un para- inèlre imaginaire comme par rapport à un paramètre réel . Lorsque la cjuanti té qui se trouve placée sous le signe y est monogène par rapport au paramètre, on peut rai- sonner encore plus simplement en faisant observer que du , , , du ,.,„, =^:r- est égal a -p? et que, diUerentier par rap- d(, -y ^—^) port kx-hy\j — I, c'est en définitive différentier par rapport à la variable réelle x. Cela posé, calculons d'abord le résidu de la fonction 5 '-^ [z] étant supposée finie et différente de zéro pour z = c-^ ce résidu est in^—ï J 2 — .: et l'intégrale est prise le long d'un contour circulaire infiniment petit décrit autour du point c comme centre. Soit £ le rayon de ce contour, on pourra poser (2) z=:c + ee''v^, cl faire varier 9 de o à 27r. En effet, la longueur de cz Fig. .]. V s A/('~'^ — "*T 0 ,(■ étant désignée par e, et z restant constant, le point z décrit le cei;cle de rayon z et de centre c. L'angle 0 est l'angle zcX que se- fait avec l'axe Ox, et, quand le point z ( 92 ) décrit le cercle, 9 varie évidemment de o à au. De (2), on tire (i) devient alors eeH''-' -hc)dQ. Or R est indépendant de la longueur du rayon e, qu'il faut du reste supposer infiniment petit; donc, en faisant e = o, on a J^2 7r o 277 On voit donc que, si f{z) est une fonction telle que pour z= c, soit une quantité finie différente de zéro, cette quantité sera précisément le résidu dej'[z) relatif à son infini c. Reprenons la formule (i), et remplaçons R par ç (c), nous aurons 277 y/— I J z — c et, en différentiant m — i fois par rapport à c, -^ '^ V * «y ^ on a donc T f* (f[z) dz ep"'~' (c) âW^.i (2 — c)'" ~ i.2.3...(m— I et l'on a ainsi le résidu d'une fonction de la forme -~^ — r^^î où (^[z) est finie et différente de zéro pour [z cj"' z = c, et m entier et positif. Dans la suite, nous ne ren- contrerons que des résidus de fonctions de cette forme. 9^ APPLICATION DES PRINCIPES PRÉCÉnE^TS A LA RECHERCHE DES INTÉGRALES DÉFINIES. Proposons-nous d'abord de trouver la valeur de l'in- tégrale détinie suivante, dans laquelle a est un nombre positif, L dx. A cet effet, nous prendrons Tintégrale f- dz le long du contour suivant formé : i° d'une droite gn allant de — go au point a voisin de zéro ; 2^ d'un denii- ccrcle irès-pelit abc décrit autour de l'origine avec le Fig. 5. rayon / 5 3" d'une droite allant de c vers H- 00 ; 4°<^1^"^' perpendiculaire de à l'axe des y, située à l'infini ; 5° d'une parallèle efk l'axe des :r, située à l'infini 5 6** d'une perpendiculaire^^' située également h. l'infini ; nous aurons, en supposant « positif, [abc) =' c>.7T \' — I . résidu de — — ::^ — 1: \ I > _ ( 94 ) , , , r'^- 6V-'(-+/v/-'),/j — [de]= \ — ^ y/- ' = o, (^/) = (/é')=o. Le contour total d'intégration ne contenant pas d'in- fini de •> l'intégrale prise le long de ce contour est nulle ; donc cxv/— 1 dx zr=. G , r — '■ g-ax^—i n ■ Or la première intégrale devient quand on y change x en — ^r^ el, par suite, f^ f.ax^~i _ f.-ax^~ / dx ^ TZ \ — I , J r '^ OU, pour /• = o. ou enCn J^^ sinnx — — 2 y I dx = Tt li^ — I , o ' sinrt.r TT / sinrt.r , dx =: - et I dx = n. 0 ^' ^- J--j= ^ La fonction /^ -l-cc / ^^-^ sin/7j: r^-'-^ sin«. ne contient donc pas a, mais elle en dépend-, en elïet, (95 ) en changeant le signe de a, elle change de signe; cela s'expliqno, car, en posant ax = z, on a dz. Si nous intégrons /e~'rt?z le long de l'axe des x et '''une parallèle à cet axe située à la distance a, et si nous fer- mons ce contour par deux parallèles à l'axe des y situées à rin6ni, nous trouverons zéro; or les intégrales rela- tives à ces paiallèles à l'axe des y sont nulles, ce qui se voit en écrivant notre intégrale ainsi : X-t- X. p cl. e-'" dx -^- i e- ==*+/-==; \/^ «y y/— I -CO J o — X ■j: (> X '+a -—7az^/ - 1 ^^j. on a donc J —-Ji J ~ oc on en lire e~' (cosart,r — y — i sminx)d.T\ d'où, séparant les parties réelles et imaginaires, V^Tre"" =: 1 c~'^ vosiax dxy /-+-CC -00 Si l'on veut obtenir la valeur de l'intégrale COStRX dx £ l -h X' ( 9M on peut observer qu'elle est la partie réelle de celle-ci prise le long de l'axe des x. Mais on peut remplacer l'axe des x par un demi-contour circulaire de rayon in- fini décrit de l'origine comme centre et situé au-dessus de l'axe des x. En ellet, à l'intérieur de l'aire limitée par l'axe des x et ce dernier contour, la fonction intégrée reste finie et continue, pourvu que «soit positif, excepté pourtant au point z = ^/ — i ; donc la différence des deux intégrales ne sera pas nulle, mais bien égale au résidu de relatif h z = J — i , c'est-à-dire à -^-^ mul- l -+- z' * 2 V — ' tiplié par 27r y — i, ce qui donne 7re~". Mais l'intégrale prise le long du contour demi-circulaire est nulle; pour l'évaluer, il faut prendre z = Re^^'"^ et faire varier 0 de 71 à o, ce qui donne ^7Z oR cos 6 \/— i — RsinO .- dQ ReW-' y/— I , I -f- R^* ( cos 2 9 H- \/— I &in29) Pour R = 3D , cette intégrale est bien nulle, et l'on a X cosa.r [ suivre.) \)1 SOLITION ÉLÉMEMAIRE DL PROBLÈME GÉ\ÉR,4L DES BR\C11IST0CI1R0\ES; Par I\I. H. RESAL, Membre de l'Institut. i. Un professeur est quelquefois obligé, par la force (les choses, de traiter géométriquement des questions de Mécanique qui devraient faire partie du domaine du cal- cul des variations. C'est ce qui explique l'objet de cette Note, dans laquelle j'ai cherché à établir directement les principales propriétés des brachistochroncs considérées à un point de vue général ('*').. Nous supposerons que le point matériel /«, qui doit parcourir la courbe du plus rapide trajet de A eu B, est sollicité par une force qui dérive d'un potentiel. i" he point a est pas assujetti à rester sur une surface. 2. Par un raisonnement très-simple, on arrive facile- ment à établir le principe suivant : Si le mobile m est arrivée avec une certaine vitesse en un point a de la hrachistochrone, il mettra moins de temps pour parvenir en un autre point h de cette courbe qii en suivant V arc de toute autre courbe limite en a et b\, d'où l'on conclut : Deux éléments consécutifs de la hrachistochrone jouissent de la propriété d'être parcourus dans un temps minimum. (') Foir à ce sujet un excellent Mémoire basé sur h^ calcul des va- riations, public par M. Roger, dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. XII!, i'"'' série. A/in. fie Mathémat., 2«= série, t. XVI. (Mars 1S77.) 7 (98) 3. Le plan oscidaLeiir en chaque point de la hrachis- tochrone est normal à la surface de niveau correspon- dante. Soient, en effet, mn^ nm' deux éléments consécutifs d'une courbe déterminant un plan normal à la surface de niveau [s) passant par n\ n' un point de [s) infini- ment voisin de n situé sur la normale en ce dernier point au plan mnm'-^ V, V les vitesses que posséderait le point mobile m en parcourant mn ou mn' et nni' ou n'ni'\, on a d'où ce qui démontre le théorème énoncé. Corollaire. — Si les surfaces de niveau sont des plans parallèles ou des sphères concentriques, la hrachisto- chrone est plane. 4. La composante de la force extérieure suivant la normale priiicipale de la brachistochrone est égale à la force centripète. (Théorème d'Euler.) Soient [fig- I ) '^^"î '''^' deuTi éléments consécutifs Fig. I. mn < nni j mn' < n' m' f nn Y -h nm' V < mn V - -1- n'n-l V'-' de la courbe 5 n! un point infiniment voisin de n situé sur la même surface de niveau et dans le plan mnm'\ p. q (99) les projections de n' cl n sur nui et n'ni'-, /, i^ les angles formés par mn, nvi' avec la normale à la surface ci-des- sus. Les temps employés pour aller de m en m' en pas- sant par n et /?' sont respectivement mn nm mn -f V - /2/> « m — - n t T " ' V mn! n' m' V V ' La condition relative au minimum du temps employé pour aller de in en ml en passant par n s'exprimera en égalant à zéro la différence de ces deux quantités, d'où np _ V or on a np^ = nn' sin / , n'cj-- par suite sin / sin/' V ~V^ Si £ est l'angle de contingence de la courbe, on a d'où _ ^ 2 ) taie et la verticale du point de départ 5 « l'angle formé par la tangente avec Ox. On a ih. La composante normale de la force étant g cosa, il vient, d'après le n° 4, • ds . {la. dy 2 r = — cosa -— ou sina = \ doL cos a 2jr d'où, en désignant par 2Rune constante et remarquant que ce = 90° pour / = o (5), Soient nik la normale en m; A son inteisection avec O.rj J l'intersection delà verticale de A avec la tangente; I la projection de ni sur A J. On a j = Aï, /«A := AJ.cosa =: y^AJ.j; d'où cos •=v/s' par suite AJ = 2R; la courbe est donc une cycloïde dé- crite par un point de la circonférence de rayon R rou- lant sur Ox, et dont un point de rebroussement coïncide avec le point de départ. Nous ne croyons pas devoir reproduire ici la construc- tion d'une brachistochronc passant par un point d'arri- vée déterminé. a'* Le point mobile est assujetti à î'eslcr sur une swface fixe. 8. Le raisonnement et la figure du n" 4 s'appliquent ( io3 ) t'ucoie ici, supposant que nin représente l'înterseclioji de la surface fixe avec une surface de niveau. Mais ici l'angle i' — /, que nous désignerons par y;, n'est plus F angle de contingence, et, au lieu de la formule (i), nous au- rons la suivante, qui s'en déduit en remplaçant e par r,-^ d'où (4) — V- = -— tani'i, ds dt ^ Soient «, />, c {fig- 3) les intersections des directions de Fit!- 3. nn\ Jïin, n ni avec la sphère ayant n pour centre et un rayon égal à l'unité. On a ab = 90° /, oc =z 90° — / bc est l'angle de contingence e, et l'angle dièdre acb est l'un des angles supplémentaires 6 que forme le plan os- culateuravec le plan tangent en ii. Le triangle sphérique abc donne sin / = sin ( / -i- >î ; cos t -4- ces ' « -t- £ 1 sin j cos 0, ou, en s'en tenant aux termes du premier ordre en z et r,, •/i=scosO (*1, (') Ou [fcut arriver plus sini]ilciiiciit à i-i-. l'i'sulhil en abnissaiit du fioiiit c une pcrpcndiculair»; c\ sur au, cl coiisidéraiil lo lriaii,Tlc iiidni- tésinial clb. { '04 ) et la l'oimuic; (4) devient (4) V^^ rA^tang/ p dt cos Ô Supposons que l'on décompose la force en F en deu\: autres, l'une normale à la surface, l'autre comprise dans le plan tangent et qui sera perpendiculaire à m^-^ cette dernière se décompose en deux autres, l'une suivant mn égale à -—, l'antre perpendiculaire à cette direction et qui sera — tangi. Décomposons cette dernière en deux au- tres, l'une suivant la normale à la surface, et l'autre sui- vant le rayon de courbure et qui aura pour expression r/V tangi . . , p ^ I ,\ ^~\ on voit aussi que la lormuJe (4 exprime que, si dt cosO ^ \-^i V i -> l'on décompose la force en trois autres respectivement dirigées suivant la normale à la surface, la tangente à la courbe et le rayon de courbure, la dernière est égale en valeur absolue à la force centripète. L'équation (4) exprimée en coordonnées et l'équation de la surface détermineront complètement la brachisto- chrone, en tenant compte de cette condition que l'on établirait de la même manière qu'au n'' 5, savoir que, au point de départ, la courbe est normale à la courbe d'intersection de la surface de niveau correspondante et de la surface fixe. 1 io5 ) SUR L'ÉLIMINATION ; Par m. Eugène ROUCHÉ, DÉFINITIONS. Soient les deux polynômes / ( jc) = rt, -!- a, J- -^ . . . + fl,„.i-"', g[x] = ùa-{- h,a: -+■ . . . -\- ()„x", m étant supérieur ou égal à n. Désignons par c,< le coefficient de x')'* dans l'exprès sion entière 7 j — x et par R le déterminant d'ordre m p étant un entier moindre (jue //, le p"""" mineur principal de R, c'est nantqui résulte de R par la suppress epréseutons par R,, •à-dire le déiermi- on des p premièrei) horizontales et des p premières \erlicales. Remplaçons io6 successivenieut dans ce mineur R^ la première veriical».- par chacune des trois suivantes : Cpf, -f- Cp^-V -+-...-+- ('pp.Tp -1,0 -<- c„— i,i.r -I- bt,-+- byx -I- ,xl' ^ bp.rP fp[ O \ —-X" o \ — x' où gp{x) et fp[3c) désignent les polynômes de degrés n — p — • I et m — p — i, qui sont les coefficients de yP dans les expressions entières y — X y — X nous obtiendrons ainsi trois polynômes que nous repré- senterons respectivement par Wp{x), Gp[x), Fp[x), et dont les deux derniers ont pour degrés n — p — ^ i et rit — /; — I. Quant au premier \p{x), sou terme plus élevé en xest HpXf : Vo(a.') n'est autre que R. Lf.mme. On a identiquement I Vp[x)=f[x)Gp{x)- »F,(.r). En eiïet, on peut substituer à la première verticale de V^(.r) celle (ju'on obtient en lui ajoulani les verticales suivantes, rospcclivemejit multipliées par a^+',aP+-, ..., ( Ï07 ) La VL-ilitalc ainsi uiodiiîée devient '-/)0 -+- C.,tX -+- . . . + c„ ^/l— i ,0 T" f,|_|,| -27 , ... -t- (■„_! 01— 1-^ Cela posé, puisque les trois déterminanls V^(j:), Gf,{x),Fj,[x) soni du même ordre et ne diffèrent que par la première verticale, il suffit, pour l'exactitude de l'identité (a), que chaque élément de la première verti- cale de Vj,(a:) soit égal à la somme des éléments corres- pondants des premières verticales de Gp{x) et de F^(a:), respectivement multipliés par f[x) et par — g{^)- Or, cela est évident pour les m — n derniers éléments-, et, si l'on considère l'un quelconque des autres, la re- lation (|ui reste à démontrer, résulte de ce que les deux membres représentent l'un et l'autre le coefficient de)' dans le développement de l'expression (i). De l'identité (a) qui, pour p = o, se réduit à (3) R=/{x]G,{x]-g[a:)F,{x), on déduit immédiatement les théorèmes suivants : Théorème L Pour que les deux équations /{x) = o, g{.r) = o, (lienL au moins une racine commune, iljaul cl il sujjil que le délcrmi/ianl \\ soit nul. ( 'io8 ) La condition est nécessaire. En effet, R étant indépen- dant de x, sa valeur sera fournie par le second membre de l'identité (3), quelque valeur qu'on y mette pour a:; or si les équations proposées ont une racine commune, en adoptant cette racine pour la valeur attribuée à x, on voit que R est égal à zéro. La condition est suffisante; car, si R est nul, le se- cond membre de l'identité (3) devra être nul, pour toute valeur de x, et en particulier pour toutes les ra- cines de l'équation g[x):^o. Donc ces n racines doi- vent satisfaire à l'équation et comme le polynôme Go(x) n'est que du degré n — i , il faut que l'une au moins des racines de g[x) = o ap- partienne à l'équation y^(x) = o. Théorème II. Pour que les équations f[x) = o, g[x) = o aient un nombre de racines communes égal à p, il faut et il sujffit que le déterminant R et que ses mineurs princi- paux Ri, Ra, . . . , R^_i, jusqu'au [p — lyème inclusive- ment, soient nuls. Les conditions sont nécessaires. Eneffet, l'identité ( 2) montre que V^(a:) s'annule quand on y remplace x par une racine commune aux équations proposées. Si donc ces équations ont p racines communes, chacun des po- lynômes Yo(^)» Vj(x), . . . ,Vp_i(x) sera identiquement nul, puisqu'il doit s'annuler pourp valeurs de x, et que son degré est inférieur à p\ donc, en particulier, les coefficients R, R^, . . -, R,,_i de la plus haute puissance de X dans ces polynômes doivent être nuls. Les conditions sont suffisantes. En efl'el, raisonnons ( lof} ) de proche en proche. Supposons d abord R - - o, mais Rj ^„, />, , bi, ' ■ ■ , b„, o, o, et de former les dèterniiuanls du second ordre qui ré- ( '^2 ) sullent de la combinaison de la première verticale de ce sjst.èm.e a^ec chacune des verticales suivantes. Enfin, la formule (6) montre que l'on obtient les éléments de la i"'"" horizontale en combinant la (i -h i )"'""' verticale du système bilinéaire avec chacune des verticales suivantes^ et ajoutant à chaque déter- minant du second ordre ainsi obtenu V élément qui, dans la partie déjà calculée du trapèze, est situé immé- diatement A DROITE ET AU-DESSUS. Exemple. — Soit proposé de calculer la résultante des équations x^ -^ p' x'^ -\- q' X -\- r' = o , Du système bilinéaire .T- ■+■ p X -\- q =^ O. on déduit le trapèze pr' — qq' q' _ pp> _ ry , La résultante, c'est-à-dire la condition pour que les équations aient une racine commune, est donc — qq r — qp — ' se changerait en — ) '. Pour démon Ux-r la proposition, il suffit de prou\er cjue l'on peut trouver une valeur de x telle que, pour Jnn. de Mulftémac., *" série, l. XVI. ("Mars if^77.) *^ ( ii4 ) toutes les valeurs de x qui lui sont supérieures, le r . . rapport - soit compris entre a — a, et « -}- a, a étant un nombre positif donné, aussi petit que l'on voudra. A cet effet, prenons un nombre positif a'^ moindre que a. Puisque la dérivée;^ ' a pour limite «, quand x augmente indéfiniment, on peut assigner une valeur Xq telle que, pour les valeurs de x supérieures, y' soit com- prise entre a — a' et a -h «', c'est-à-dire telle que les inégalités _,.'_(« _a')>o et j'— (rt4-a'),_..'_^ et ^<„- ..'+f X X X X auront lieu pour x'^ Xq. Cela posé, assujettissons encore la variable x à la condition /?■ , ,, A — <^'-JL — a , (1 ou ^ ^ , ' Alors, pour les valeurs de x supérieures à la fois à Xf, { I'5 ) . /- r ■ ■ Cl a -> on aura, a fortiori. et y - ^ rt — a' — (a — a' ] , on y '- <^a ~[- OL -^ [a. — y.' ] ou ', du troisième degré relativement à x ou y, t. LXIV, p. 1267- 1268; 24 juin 1867. 20. Théorème sur les racines primitives, t. LIV, p. 1268- 126g; 24 juin 1867. 21. Formule donnant le volume du tétraèdre maximum, compris sous des faces de grandeurs données, t. LXVI, p. 248- 25 1 ; 10 février 186S. 22. Sur une identité qui conduit h toutes les solutions de T équation C- ■= x"- -^ y"^ -\- z" , t. LXVI, p, SgG-SgS; 2 mars 1868. 23. Démonstration de la méthode de Jacobi pour la forma- tion de la période d'une racine primitive, t. LXX, p. 12^3- i25i ; i3 juin 1870. Journal de Liouville. i'" Série. 24. Théorème sur les quantités incommensurables ^ \. I, p. 266-2G8; i83G. 25. Recherches sur les nombres, t. II, p. 253-292, 1837; t. ïll, p. Ii3-i'î'î, i838; t. IV, p. 9-59, 1839. ( 122 ) 26. Thèses de Mécanique et d'Astronomie, f. II, p. SS^- 365; 1837. 27. Détermination des centres de gravité des fuseaux et des onglets de révolution, t. IV, p. 60-62; i83c). 28. Sommation de quelques séries, t. V, p. 4^'7 ^ > i84o. 29. Note sur le théorème de Fermât, t. V, p. i84-i85; i84o. 30. Note sur une formule de M. Cauchy, t. V, p. 186-188; 1840. 31. Démonstration de l'impossibilité de résoudre l'équa- tion .t' -\- y"^ -{- z' ■=. o en nombres entiers, t. V, p. 2'j6-2'j'g; i84o. 32. Résolution de l'équation du second degré à une inconnue par les fractions continues, t. V, p. 28i-3io; 1840. 33. Addition à la Note sur l'équation x'' + y'' -\- z' =: o , t. V, p. 348-349; 1840. 34. Mémoire sur une formule de Fandermonde, et son appli- cation à la démonstration d'un théorème de M. Jacobi, t. VI, p. 17-35; i84i. 35. Démonstration de quelques théorèmes relatifs aux rési- dus et aux non-résidus quadratiques, t. VII, p. iS^-iSg; 1842. 36. Théorèmes nom eaux sur l'équation indéterminée t. VIII, p. 49-70; 1843. 37. Note sur l'intégration de l'équation différentielle ( A -4- A'x H- k"y ] [ .rdy — j^x ) — ( B + B' a: + B"j ) dy H- ( G -+- C'a; -1- C'y) dx = o, t. X, p. 316-319; 1845. 38. Démonstration d'une formule de M. Dirichlet; Remar- ques sur quelques e.rprcssions du nombre t:; t. XI, p. 76-80; 1846. 39. Sur les arcs à différence recli fiable et les zones a diffé- rence planifîablc, t. XI, p. 33 1-335; 1846. 40. E.rtrait d'une LcUic adressée h M. Liouville, t. XI, p. 336-337; 18^6. ( i'-3 ) 41. Remarques sur l'équation y" -\ j'-4-«7 = o, t. XI, .T p. 338-340; i84G. 42. Démonstration nouvelle et élémentaire de la loi de réci- procité de Legendre, par M. Eisenstein, précédée et suivie de remarques sur d'autres démonstrations qui peuvent être tirées du même principe ; t. XII, p. 457-473; 'o47- 43. Sur le symbole ( j) et quelques-unes de ses applica- tions, t. XII, p. 497-517; 1847. 44. Suite du Mémoire sur les applications du symbole ( j ) ' t. XV, p. 215-237; ï85o. 45. Résolution des équations biquadratiques (1), (2) s2=.r^d=2"'jS (3) z== 2'".r* — ^)% (4), (5) i"'z'=x'±y\ t. XVIII, p. 73-86; ï853. 46. Démonstration de quelques formules d'un Mémoire de M. /aco^j (Journal de Mathématiques, de M. Crelle, t. XXX, p. ï66), t. XIX, p. 289-300; 1854. 47. Note sur le Canon arithmeticus de Jacob i , t. XIX, p. 334-336; 1854. 2* Série. 48. Sur l'intégrale l ^ d-i» = ^ ( ) > ou I a^ passant, respectivement, par les points «, b de la conique, on peut, par la con- slructioji précédente, obtenir les points^'etg- (**) ; et, par suite, joindre les milieux de afel de hg, ce qui donne une droite qui coupe xy en son milieu w. Alors on a ox -\- oy = i.oa. On est donc ramené à construire un rectangle dont on connaît la surface et la somme (ou la dilférence) des côtés. (*) y et ^ représentent les points où les parallèles af, bg coupent la courbe. (**) Les points/" et g ne peuvent être obtenus au moyen de cette con- struction qui est indopendante de la position du cinquième, des points donnés e. Mais la construction dont il s'agit ramène la question propo- sée à celle-ci qui en est un cas particulier : On donne sur un même plan cinq points a, b, c, d, e d^une conique et une droite af qui passe par l'un de ces points a, déterminer le second point d'intersection f de la courbe et de la droite. La solution de cette dernière question n'offre aucune dif- ficulté, puisque l'égalité des rapports anharmoniqucs des deux fais- ceaux {a.bcdf) el {e.bcdf) fait immédiatement connaître la direction dn rayon ef. (G.) ( i44 ) QUESTIOINS. 1221. Théorème. — Elant donnés un tétraèdre quel- conque ABCD et un point O, on peut faire passer par ce point trois droites qui rencontrent respectivement les arêtes AD, BC, en des points iv, a' ; BD, CA, » h,h'% CD, AB, » c, c . Si l'on construit sur ces arêtes les points conjugués harmoniques K, a', g, g', 7. 7% les six points ^, c, h\ t', a, a! seront dans un plan; et il en sera de même des six points c, «, c', «', ê, 6', et de a, h, a\ h', y, y'. (Communiqué par M. H. Schroter, professeur à l'U- niversité de Breslau). 1222. On donne sur un plan un point A, et un cercle de rayon variable, mais dont le centre est fixe; on mène à ce cercle deux tangentes AMj, AM2, et la corde des contacts MiM,. A quelles valeurs du rayon variable, correspond le maximum : 1° du périmètre du triangle AMjMa", 2° de l'aire de ce triangle; 3° de la corde des contacts? (Harkema). 1223. Étant données deux hyperboles équilaières, trois de leurs points d'intersection et les deux points symétriques du quatrième par rapport aux centres des deux liyperboles sont situés sur un môme cercle. (Pellet). i45 ) PHILOSOPHIE DES MATHÉMATIQUES. SUR NOUVEL EXEMPLE DE LA RÉDICTIOIV DES DÉMONSTRATIONS a leur forme la. plus simple et la plus directe; Par m. L. LALANNE, Inspecteur général des Ponts et Chaussées. Dans la séance de l'Académie des Sciences en date du 26 juin 1876, M. Yvon Villarceau, comparant la compli- cation des procédés en usage pour effectuer les développe- ments de cosmx et de sinmo: avec la simplicité des lois de ces développements, en concluait que, « d'après une remarque de Lamé, il devait exister un mode d'opérer dont le degré de simplicité fût conforme à celui du résul- tat » [Comptes rendus, t. LXXXII, p. 1469); et il don- nait, en effet, une méthode aussi simple que nouvelle pour obtenir les développements dont il s'agit. M. de Saint- Venant, relevant cette remarque de son savant confrère, a rappelé qu'il avait, le 5 mai 1849, exprimé la même chose dans une Communication faite à la Société philomathique [t Institut , 11° 8o3). « Tout théorème, disait-il, est susceptible d'une infinité de démonstrations 5 mais il n'a qu'une raison, qu'un pour- quoi, renfermé en germe dans les définitions et les prin- cipes de la Science. Cette raison logique étant une fois trouvée, son expression offrira, en général, la forme de démonstration la plus directe, la plus naturelle, la plus simpleet la plus facile à comprendre et à retenir (*).., » i. , (') Cette rcaiar,a|j.6âvovTt. 10. ( i48 ) ^ il cherche à suppléer à celte omission en prenant comme point de départ la proposition que, si à un point quel- cotique de l'intérieur d'un tétraèdre on applique quatre puissances respectivement perpendiculaires à ces faces et d'une intensité proportionnelle à leur étendue, ces puis- sances se feront équilibre. Après une démonstration assez pénible de cette propo- sition incidente, on n'est guère plus avancé, même eu sachant qu'on pourrait l'étendre à un polyèdre ; caria dif- ficulté consiste en ce que, généralement, les perpendicu- laires menées aux plaus des faces d'un tétraèdre et à plus forte raison d'un polyèdre quelconque, par les centres de gravité des aires de ces faces, ne passent pas par un même point. Il faut donc prendre une autre voie pour parvenir au but. Pour cela, l'auteur considère en premier lieu le cas d'un tétraèdre à base horizontale isoscèle, où l'arête aboutissant au sommet de la base est verticale. Dans ce solide, les droites menées perpendiculairement aux faces par leurs centres de gravité se coupent en un même point. On le démontre, et, en vertu de la proposition qui sert de point de départ, l'équilibre a lieu. L'auteur passe ensuite successivement au cas d'un tétraèdre dont les trois arêtes au-dessus du plan de la base sont égales, puis d'un tétraèdre quelconque, et enfin d'une py- ramide quelconque. Chacun de ces cas se ramène au précédent, et la décomposition en pyramides permet naturellement d'étendre la proposition à un polyèdre quelconque. Ce n'est donc qu'après une longue et pénible exhaus- tion, qui ne comporte pas moins de six étapes successives et qui occupe une dizaine de pages dans son recueil, que le savant rédacteur des Annales parvenait à démontrer le théorème dont il s'agit. IMais l'appareil et les circuits ( «49 ) d'une pareille analyse sont-ils bien en rapport avec la simplicité de l'énoncé? Dans son Traité de Mécanique (2^ Partie-, Paris, Ha- chette; 1873), M. Ed. Collignon, en donnant une dé- monstration directe de l'équilibre pour le cas d'un té- traèdre quelconque et en passant de ce cas à celui du polyèdre, a supprimé quatre des six étapes de M. Ger- gonne. Cependant l'équilibre des forces mises en jeu ne ressort de celte démonstration qu'en considérant séparé- ment la résultante des forces et la somme de leurs mo- ments par rapport à trois droites. Mais on peut arriver au but d'une manière plus directe et beaucoup plus simple par une démonstra- tion qui se rattache à l'emploi des projections et de leurs sommes algébriques particulièrement signalées par M. de Saint-Venant comme permettant de remplacer par des vérités d'ordre intuitif de longs circuits de raisonne- ments et de calculs. L'auteur espère qu'elle paraîtra ne pas démentir le principe appuyé de l'autorité imposante des géomètres précédemment cités. Décomposons chacune des forces en trois autres, sui- vant des directions rectangulaires entre elles; et, pour fixer les idées, supposons que l'une de ces directions soit verticale, les deux autres étant horizontales. Il y aura trois faisceaux de forces, parallèles entre elles, dans chaque faisceau. Chacune des composantes verticales, étaut égale au produit de la force normale par le cosinus de l'inclinaison à l'horizon de la face correspondante, est proportionnelle à la projection horizontale de celte face. Si donc on projette tout le système sur le plan ho- rizontal, la somme des projections des faces du polyèdre situées au-dessus du contour apparent étant égale à la somme des projections des faces situées au-dessous, hi somme des composantes verticales quS agissent de haut ( oo ) en bas sera aussi égale à la somme des composantes ver- ticales qui agissent de bas en haut. Les points d'applica- tion de chacune de ces deux séries de composantes sont, comme on sait, les centres de gravité des projections des faces-, les deux résultantes passeront donc par le même point, qui est le centre de gravité du polygone limité par le contour apparent; et comme elles sont égales et qu'elles agissent en sens contraires, elles se détruisent. Le même raisonnement étant applicable aux deux autres faisceaux, il en résulte que la composition des forces parallèles, dans chacun des trois faisceaux, donne une résultante nulle. Le système est donc en équi- libre. Un polyèdre fermé quelconque pouvant être décom- posé en polyèdres convexes, la proposition est géné- rale. Il est bien entendu que toutes les forces agissent nor- malement aux faces, soit du dehors en dedans, soit de l'intérieur à l'extérieur, sans quoi la proposition n'aurait pas lieu. En résumé, la raison essentielle de la réalité de cette proposition est que la somme des projections des faces d'un polyèdre sur un plan est nulle, en considérant comme de signes contraires les projections des faces si- tuées, les unes au-dessus, les autres au-dessous du contour apparent 5 vérité d'ordre purement intuitif. L'expression de cette raison, de ce pourquoi, comme M. de Saint- Venant l'a appelé, combinée avec le rapport qui lie entre elles une face et sa projection et avec la corres- pondance des centres de gravité de l'une et de l'autre, n'offre-t-elle pas « la démonstration la plus directe, la plus naturelle, la plus simple, ainsi que la plus facile à comprendre et à retenir, du théorème énoncé ^y? On démontrerait de la même nianière et plus facile- ( '51 ) ment encore un théorème dû à M, Chaslcs (*) et qui consiste en ce que les forces concourantes, normales aux faces d'un polyèdre fermé et proportionnelles aux superficies de ces faces, forment un système en équi- libre. Car les composantes de ces forces parallèlement à une direction quelconque que, pour abréger, nous sup- posons verticale, passent, sur le plan horizontal, par la projection du point de concours-, et leur somme est nulle, puisqu'elles sont respectivement proportionnelles à des projections de faces dont la somme est nulle pareil- lement. L'analogie du théorème de Gergonne avec celui de M. Chasles est manifeste. On fait usage de considéra- tions fondées sur les mêmes principes dans le corps de doctrines qui, sous le nom de Statique graphique, a pris un développement considérable par les travaux de géomètres étrangers , parmi lesquels nous citerons MM, Culmann, en Suisse [Die graphische Statih^ Zurich, 1866 et 1875), Cremona, en Italie [Le figure reciproche nella Statica grafica, Milan, 1872-, Ele- menti di calcolo grajico, Turin, 1874)1 Rankine, en Angleterre [Manuel of civil engineering, Londres, i865), etc. (**). (*) Correspondance macliématique et physique publiée par M. Quételct. t. VI, p. 92; Bruxelles, i83o. La démonstration que nous en donnons, fondée sur la considération du contour apparent, dispense de tout calcul; elle est donc très-difTérente en la forme, quoique analogue, au fond, à celle de l'illustre géomètre. Voir aussi le Bulletin des Sciences mathématiques du baron de Férussac, t. XIII, p. 246; Paris, i83o. (**) Sous celte dénomination de Statique graphique, on a compris des procédés entièrement inédits, des constructions déjà connues et des idées qui ont pris naissance en France. Les principaux promoteurs de la science nouvelle se sont plu à remonter aux origines et à rendre à notre pays la part qui lui ai)parlient de très-ancienne date. Les noms do Viètc, de Dclicartcs, de Varignon, de Monge, de Poinsol, de Chasles, de ( '52 ) SIR lll\ PROBLÈME DE AIÉCAIVIQUE RATIONNELLE ; Par m. Ph. GILBERT, Professeur à l'Université de Louvain. La solution de la queslioii de Mécanique rationnelle proposée au concours d'Agrégation de 1873, solution pu- bliée dans le numéro de novembre 1874 ^les Nouvelles Annales (2*^ série, t. XIII, p. 007), n'est pas exacte. Comme je ne crois pas que le fait ait été signalé jus- qu'ici , il sera peut-être utile de rectifier ce qu'elle a d'erroné. L'auteur détermine le centre de gravité G de l'anneau et de la masse fixée à sa circonférence*, puis il conclut, sans autre démonstration, que le mouvement du point G est celui d'un point pesant de masse fjt =: M-f- m, mobile sur une circonférence tournant autour d'un diamètre vertical avec une vitesse constante w. Il se borne donc à déterminer ce dei^nier mouvement. L'assimilation n'est pas justifiée et conduit, en fait, à un résultat inexact. Il suffit, pour s'en convaincre, de re- marquer que le rayon / = Je la circonférence, ^ ^ -' M H- /// dans le problème simplifié, s'évanouit lors(jue la masse Poncelet, de Méry, de Cousinery et de divers autres (géomètres ou ingé- nieurs figurent iionorablenient dans l'iiistoire de la Statique graphique et du Calcul graphique, qui en est une des branches (^voir, outre les ouvrages qui viennent d'être cités, l'iiistorique publié il Leipzig, par M. Weyrauch, en 1S74. sous le titre Uebcr die graphische Statih). Citons aussi La Statique granitique de M. Maurice Levy (Paris, Gauthier-Villars, 1874). ( i53) ûddiiionnelle M dovient nulle, cl rinlégrale de l'équa- tion (i), savoir donne — - = -f- cosô -t- w'sin'9 + C, cit' l M' — = co , ce qui est absurde. En traitant directement le problème proposé, nous reconnaîtrons d'ailleurs en quoi pèche la solution. Soit pris pour axe OZ Taxe vertical BB' dans le sens de la pesanteur, le plan XY passant par le centre O de l'anneau. Prenons un système de comparaison mobile autour de OZ avec la vitesse angulaire &), et ayant pour axe OX le diamètre horizontal AA' autour duquel l'an- neau peut basculer. Soient a le rayon de l'anneau, ©l'angle que fait OC avec l'axe OZ. Appliquons le théo- rème des forces vives au mouvement relatif de l'anneau et de la masse M par rapport au système de comparaison. La force vive relative de l'anneau, dont le mouvement relatif est une rotation autour de AA', a pour expression — ; celle de la masse M, Ma^ -—• On a donc Le travail des forces centrifuges composées étant nul, il suffit d'ajouter au travail des forces motrices celui des forces centrifuges de tous les points, dues à la rotation du système de comparaison autour de OZ, Or le poids de l'anneau est détruit par la fixité du point O; le travail élémentaire du poids M est exprimé par M^d .a cosO = Mga r/cosO. D'autre pari, on trouve par un calcul facile, en dési- ( '54 ) gnaut par /' la distance d'un eilément dm de l'anneau à l'axe vertical, par '( l'angle que fait avec OX le rayon mené du point Oà cet élément, que la force centrifuge de l'élément dm est (jy^rdm\ que l'arc élémentaire qu'il décrit pendant le temps dt est a sin^ J0, et le cosinus de l'aiigle compris entre la direction de la force et celle de , . 1 . « sinJIsinQ cos9 , .1.1/ la vitesse relative '- ; le travail élémentaire r relatif de la force centrifuge de l'élément dm est donc égal à ta' sin 6 cos ô c^O X «' sin^ Ce///;, et la somme de ces travaux pour l'anneau entier a pour expression w-sin0 cos 9 a9. 2 De même, la force centrifuge de la masse M développe un travail élémentaire relatif égal à Ma^or sinôcos0 et se réduit, pour M = o, a 1 muni cl non a zéro. II suit (le là que, si la masse additionnelle M manque, l'équation du mouvement de l'anneau se réduit à ce qui est conforme à la réalité. Les deux positions d'é- quilibre correspondent dans ce cas à 0 := o, 6 = -• Je remarquerai d'ailleurs que la solution du problème proposé peut aussi se déduire, par les simplifications convenables, des équations générales du mouvement re- latif d'un corps solide fixé par un point O, par rapport à un système d'axes OXIZ dont le mouvement est connu, équations que je donnerai dans mon Cours de Mccn- nique. L'équation des moments autour de l'axe OX est, en général, celle-ci : d.ï{Jp + p,] (dq, \^ Idr, V, dt \dt -p^^^)-'--y-\j,^p^;j-, -I- z;j] = G,. Hj, H,, Hi sont les moments d'inertie du solide par rap- port aux axes mobiles OX, OY, OZ, à l'époque i\ />>,, <7i, i\ les composantes de la rotation instantanée du sys- tème de comparaison suivant ces mêmes axes, et /?, q, r celles de la rotation relative du solide; M la masse du corps; Xi,^'!, c, les coordonnées lelatives de sou ccnlio ( i56 ) de gravité, et V^, V^, V, les composantes de la vitesse relative de ce centre^ G^ la projection sur l'axe OX de l'axe du couple résultant des forces extérieures. Appli- quant cette équation au problème actuel, on voit sans peine que l'on aura ( ., "'\ , MrtsinS \ -2 J fll -t- m MrtrosG „ /,, "'\ , • „ « 2, = — j Znijz =: — M H «'smQcosG, M + /« \ 2 / p^~ = o, 7.= --Z 0. p = dQ ' ï I B,. = A„ •••-7' 2 a fi 7 A 2, a, |3, y, . . ., X désignant des nombres premiers tels que a — i, |j — i,y — i, ..., X — i soient des diviseurs de n, et A„ un nombre entier. On a, pour les nombres A„, les valeurs suivantes : Ao = Aj = A4 =: . . .= A,j =1, A, = A3 = A5::^...= A2„^., = O, Aii = 5, A, 6=— 6, A, 8 = 56, A2« = — 528, An = 6l93, A2,=: — 8G576, Ajo = i4255:8, A,»:- — 27298280, A33 = 6oi58o875, 2. On déduit immédiatement du théorème de Staudt que l'expression a [a" — i)lî„ est toujours un nombre ( '58 ) entier, quel que soit Fenlier a. En effet, le binôme a" — I est divisible pai" «'"' — i, lorsque a — i désigne un diviseur de n, et le produit «(«"""^ — i) est divisible par a, si a. est un nombre premier, d'après le théorème de Fermât. Pour a=. i, on retrouve un résultat indiqué par M. Genocchi, qui en a déduit des conséquences im- portantes relatives au fameux problème de Fermât sur l'impossibilité en nombres entiers de Téquation indé- terminée xP-hjPz=zJ' (*). 3. M. Hermite a indiqué une métbode de calcul des nombres entiers A„, dont nous allons simplifier la dé- monstration en lui laissant une forme générale (**'). Cette méthode conduit à la connaissance d'un grand nombre de fonctions numériques, venant se joindre à toutes celles dont la théorie des fonctions elliptiques a donné l'origine et les propriétés. Soity"(a:) une fonction quelconque de degré in, telle que chacune des puissances de X ait un coefficient égal au produit du coefficient bi- nomial correspondant par un nombre entier, et posons L'application du développement de Taylor et de la for mule symbolique [_voir p. 23, formule (iS)] (3) /(u,- + B -M — /:.r + B =/;j:, nous donne (4) f'[.v] ^Bo-sj-l-B,?, -f-B,^, 4-B4«i +. . .+ Bn„ç.,„. (*) A. Genocchi, Sur les nombres de BernouUi {^Annales de TortoUni ; i852). (**) Journal de Crelle, t. 81. — Extrait d'une lettre de M. Ilermitc .n M. Borchardt ; 1S75. (5 ( i59) En remplaçant les valeurs des coefficients B, d'après i), on a, après avoir posé [p désigne un nombre premier) 2), [x] = Aocp» 4- A, o, -\- A-ifi -t- . . . H- A,„rsi„ — /■' [x], la formule suivante pour le calcul des nombres A : où les 21 se rapportent à tous les nombres premiers jus- qu'à 0.11 -\- i. D'ailleurs, 2^(^) est entier pour toutes les valeurs entières de x, puisque, si la somme des fractions a. n h c l -H h- H h...+ - 2 a p 7 A désigne un nombre entier, chacune des fractions qui composent celte somme est toujours un nombre entier, lorsque tous les dénominateurs sont premiers entre eux. 4'. La somme des puissances semblables des nombres inférieurs et premiers à un nombre donné a été obtenue par Binet, au moyen du calcul symbolique [Comptes rendus, t. XXXIIl, p. 920-, i8di). Voici une formule plus simple. Les sommes des puissances 7î'^'""des [x — i) premiers nombres, et des ( - — j | premiers multiples de d, en désignant par d un diviseur quelconque de x^ ont respectivement pour expressions [x -\- B',"+' — B«+' (.r 4- «T» ;"+' — (r/B '«+' et // H- I dyti -\- i ) On a donc, par un procédé analogue à celui qui con- duit à l'évaluation du nombre des entiers inférieurs et premiers au nombre X = a"' b^C' . . . , la formule symbolique suivante, dans laquelle 2„ désigne ( '6o ) la somme des puissances n''""" des entiers inférieurs el premiers à x^ (7) («+i)E„=(^ + Q)''+'-Q''*'; et l'on a / Q„ — B„ ( I - «"-') ( I — ^>'''~"') ( I — C- (8; '--a)V~ï)['-'c TIIËORIE DES INDICES; Par m. FAURE, Chef d'escadrons d'Artillerie. [suite (*).] 86. Comme application immédiate de notre théorie, nous donnons les formules fondamentales de la géo- métrie polyédrique, distance de deux points, surface d'un triangle, volume d'un tétraèdre, angle de deux droites et de deux plans, axes principaux d'une surface du second degré, etc., les figures étant rapportées au système de huit plans, déterminant les tétraèdres de référence abcd, a'b'c'd'. Comme on le verra, nos formules, à cause de leur parfaite symétrie, sont simples, malgré le grand nombre de termes qu'elles contiennent. Nous donnons ensuite la théorie des surfaces homo- focales, des rayons de courbure, des lignes géodésiques et de certains systèmes de surfaces. Comme nous n'a- vons ici en vue que les surfaces du second degré, nous (*) Nouvelles Annales, 2* série, t. XV, p. îbi , .292, S.'ig, 4^1, /[î^i, Sag, et t. XVI, p. 5. { i6i) emploierons siinplemeiil le mot surface pour les dé- signer. Formules fondamentales de la géométrie polyédiique. 87. Considérons la relation X. = — 36 ^r" V, efgh . e'fg' h' démontrée au n^Sl. On a, pour le développement de X^, (e,A) (/,A) [g,k] {h, A) {e,-R) (/,B) ig,B] [h,B] {e,C) (/,C) {g,C] [h,C] {e,D) (/,D) {g,D) [h,Jy) {e',A') (/',A') (^',A') (7/, A', («',B') (/',B'; (^',C') (/',C') (^',D') (/M>'; X H (8] 7:''V,=- [8',^') (/'' . B' is'^c) (/'' ,C' is',^') (A' D' (3\'Y ■sv:^ 2ABCD aA'B'C'D' ( 3 V Y ÂBCD 3 c/gfi ; Dans le cas particulier où les points e', J', ^', h' coïn- cident respectivement avec les sommets a', ^', c', d' du tétraèdre a'b'c' d', on voit que cette relation se réduit à ie,A) (/,A) (g',A) (//,A) (e,B) (/,B) Cg'.B) i/^B; {e,C) [/,€) {g,C) (//,C) (^,D) (/,D) [g,D) (/^D) elle donnera le volume du tétraèdre efgh, connaissant les distances de ses sommets aux faces du tétraèdre abcd, dont le volume est représenté par V. Si le point h coïncide avec le sommet d du tétraèdre (d)cd^ on a (//, A) = (/*, B) = (/i, C ;' = o et {/i, D] = ,//, D). /i/iii. de Mackéinac, 0!« série, t. XVI. (Avril 1877.) I I i6^ f3V' Comme d'ailleurs ——^ =:; 2 (J, D)sln ABC, nous trou- vons, en désignant par H le plan efg^ - 6^/g-^sinABC = 2(/g-sinABC [d, H) [e,k) (/,A) [g,k) (^,B) (/,B) (g-,B) (.,C) {/,C) (^o.,c] Si, dans cette relation, le point g coïncide avec le sommet c du tétraèdre abcd, on a {^^A)=(â',B) = o, {g,C) = {c,C], de sorte que I (e,A) (/, A) I 6g/crfsiaABC I (^,B) (/,B) I "" or ^»C (c, C ) = ce? sin (v, C ) , sin ABC = sin AB sin (v, C j , et comme, d'ailleurs, 6 efcd = ef. cd | £ , v | , £ représentant la droite ef, on aura [c] 1 ^"'^^ ^^'^^ I I (^»B) (/,B) I ef. I £^v I sinAB, formule que nous avons employée au n° 17. Désignant par E et F deux plans menés par la droite e, on a aussi (r, E) (c, F (rf,E) [d,Y) cd sinEF. Coordonnées d 'un plan déterminé par trois de ses points. 88. Lorsqu'un plan H est déterminé par trois points, ( i63 ) c,J\ g, au lieu de prendre pour ses coordonnées les dis- tances (a, H), {b. H), (c, H), (J, H) de ce plan aux som- mets du tétraèdre abcd, on pourra quelquefois em- ployer avec avantage les déterminants {e,C) u;c) (.-^C) (^,A) (/.A) is,^) (^.B) (/B) (S^^B) 5 • (.,C) (/,c) is.c) (e,D) (/,D) is^^) KD) (/,D) (â',I>] (.,B) (/,B) (S^^B) [e, A) (/>A) (g'. A) (e,A) (/,A) (b^A) > (e,B) (/,B) (.-.B) {e,D) (/,D) (.-.D) (^.C) (/,c) is^c) lesquels, d'après la relation (b), expriment ces mêmes distances multipliées par des facteurs constants. Coordonnées d'un point déterminé par trois plans. 89. Si l'on désigne par E, F, G trois plans se cou- pant au point /<, au lieu de prendre pour les coor- données de ce point les distances {h, A), (/z, B), [h, C), (/z,D) aux faces du tétraèdre abcd, on pourra employer les déterminants ('^^E) ic,'e] (^,G) («,E) («,F) (a, G) (i,E) (^F) (é, G) , (c,E) ('^.F) (r, G) (rf,E) KF) {d,G) '//,E) l'^.F) (./, G) (/.,E) (^,F) [h, G) («,E) («,F) [a, G] (a, E) («»F) («,G) (è,E) (^F) (^ G) ('/.E) ('^,F) KG) (^.E) ('^.F) {c,G) lesquels, d'après la même relation [b), expriment ces mômes distances multipliées par des facteurs constants. II. i64 Coordonnées d^une droite. 90. Lorsqu'une droite e est déterminée par deux de ses points e et/", on peut prendre pour ses coordonnées relatives au tétraèdre ahcd les six déterminants e,A.) (/,A) {e,A] (/,A) (^,A) (/,A) ^,B) (/,Bj ' (^,C) (/,C) 5 (^,D) (/,D) ^,B) (/,B) (-^C) (/,C) (^,D) (/, D) ^,C) (/,C) 1 (^,D) (/.D) ? (^,B) (/,B) Nous les désignerons, pour abréger, par Z^b, Zj^q, Z^d, ZbC5 ^CD? Zdij. Lorsque la droite e est déterminée par deux plans E, F menés par cette droite, on peut prendre pour ses coor- données les six déterminants («,E) {«,e; (c,E] (c,E) (^,e; (^,F) (^,F) {a,E) {d,E] [d,E] [a, F) [d,F) (rf,F) Nous les désignerons, pour abréger, par Z„i, Z^^, Z„^, Zjc» z,.^, Z^j. La relation (c) montre que l'on peut remplacer les coordonnées de la première série par I £> •■' ^. P £, 1 h 7 -^,P Chaque coordonnée de la droite e est égale à sa plus courte distance à l'une des arêtes du tétraèdre de réfé- rence, multipliée par le sinus de l'angle que cette ai'ête fait avec la droite. La relation [d) montre que ces mêmes coordonnées ( '65 ) représentent également les termes de la seconde série, mais rangés dans un ordre différent. Considérons une seconde droite e' déterminée par deux de ses points e', f et désignons par Z' ses coor- données. Dans le déterminant (a) remplaçons les points g et h par e' Gt f\ nous obtenons + ZcdZ'ab -1- ZdbZ'ac = ^-S, Sc/e'f, A.BLD Si la droite e' est déterminée par deux plans E', F', on a (3V'i' £• .r .£< . ir en désignant par V le volume du tétraèdre formé par les quatre plans E, F, E', F', et par ces mêmes lettres les aires des faces de ce tétraèdre. De l'une ou l'autre de ces deux formules on peut dé- duire la suivante, qui, à son tour, les comprend toutes les deux : h,7i l.«,M 1«,M I s, X I I e', a I je, 7 | | s', v I "^'7 I ^ ? I 1 2', ." Lorsque les droites e, e' coïncident + ZvdZiic h.^' ZoiZcd -+- Zac Z^i Zab^cd -1- Zac Zdh i^.n h.7l 1 ^, .n h'> ? i ' s, a I I î, A ! { i66 ) C'est une des relations qui existent nécessairement entre les six coordonnées d'une droite 5 nous donnons plus loin (100) la seconde relation. A l'aide des relations (c) et ( J), on voit que ZcD — — -T— \-r?'6i ^«''î sin CD e'f ab sin E'F mais sin CD f 3 V ab ABCD 2(a,A)(^,B) par conséquent , _(3V13 e'f ZU •^CD — ■ ABCD sin E'F' 2 t/7. A) [b, B) et l'on a des valeurs analogues pour les autres cooi- données. La première des relations précédentes devient (a, A)(è,B] (a,A)vc,C) (a,Aj^rf,D) [6,B)(c,C) (c,C)(^,D) ZdeZ^/, ^ f/. sin E'F' (rf, D) [b, Bj , 91. Si l'on développe le déterminant [a) par rapport aux éléments de la dernière colonne et que l'on tienne compte de la relation (i), on trouve l'égalité (^,H)(/^A) ^'''^^- in, A) - (^ .H) (/': >B) (^. B) l'^. H) ('^ C) (c,C) "^ (rf,D) ' elle donne la distance d'un point h à un plan H, lorsque l'on connaît les coordonnées du plan et du point. ( 16; ) Les distances d'un plan aux sommets de un ou deux tétraèdres sont liées entre elles par des relations que l'ou trouvera plus loin (103). Déterminer les coordonnées du centre de la surface S. 92. Divisons par (o, E) (o,E') les deux membres de la relation (a) du n'' 14, Si le plan E passe à l'infini à cause de on aura [o, E' ) Iae' IltE' IcE' Ide' («,A) (^,B) (f,C) (rf,D) et de même (o, E) _ Ie.v Ieb Ces deux relations donnent les distances du centre o de la surface S à des plans quelconques E, E', en pre- nant pour tétraèdre de référence abcd ou a' b' c' d' . Si, dans la première, on prend, pour le plan E', suc- cessivement les faces du premier de ces tétraèdres, on a, par exemple, (o> A) __ -y Iaa ^ (o> B) _ 'y Iab (o>C') „ "^ Ja<: lo» D) ._ ^ Iai> ( i68 ) hquation du cône circonscrit à lu surface S, ayant pour sommet le point f. 93, Soit e un point quelconque du cône, £ l'arête e/, on a (2) _^ Si donc le point / est fixe, 1^1/ — IJ, = o sera l'é- quation du cône circonscrit en coordonnées de points. Si, dans le déterminant X2 (21 ), on suppose que les points e',f' coïncident avec e,f, et que ce dernier soit fixe, X2 = 0 représente également l'équation par points du cône cir- conscrit à la surface S, et dont le sommet est au point^. L'équation du cône asymptote est évidemment If 4- I =: 0. Equation de la conique déterminée dans la surface S par le plan F. 94. Appelons E un plan mené par une tangente quelconque c^ de la conique, on a (8) - --^iî^"'EFI. = lElF-lÈF. Si donc le plan F est fixe, IeIk — Ief = ^^ sera l'é- quation par plans delà conique d'intersection. Si, dans le déterminant x«, (22), on suppose que les plans E', F' coïncident avec E, F et que ce dernier soit fixe, a-, = o représente également l'équation par plans de la co- nique, suivant laquelle le plan F coupe la surface S. ( '69 ) Si le plan F est pris à l'infini, on voit que la section correspondante a pour équation u'IE = (o,E)^ Déterminer les longueurs des axes principaux de la surface S, rapportée à deux tétraèdres de référence. 9o. Si l'on divise par (o, t){o, z') les deux membres de la relation (18), on a (o, £)(o, e') -^iv^vl |7',v'l («, 6)(o, s') * Lorsque les droites e, e' sont dans un même plan dia- métral E et qu'elles s'éloignent à l'infini dans ce plan, le premier membre de l'égalité est égal à — l£ (12)^ d'autre part, [ii^ =sin(v, E), l-'-^j =sin(v',E), de sorte que — Ie— y j |"'T , ,| siD(v, E)sin(v',E). Soient F, G deux autres plans diamétraux perpendicu- laires entre eux et au plan E, ces deux plans donneront une relation analogue à la précédente et, si l'on re- marque que lE-|-If-hlG = 7 (8l)j "ous trouverons, en ajoutant les trois relations obtenues ainsi, Divisons par oe.oe' les deux membres de la relation (15), nous avons oe . •.oe' 2ld[a,k)[a',k') Lorsque les points e, c' sont situés sur un même dia- mètre £ de la surface S, et que ces points s'éloignent à l'infini sur ce diamètre, le premier membre de l'égalité est égal à — I, (H) ; d'autre part, ^-^-^ = sm(£,A), ^-^^=sm(£,A'), de sorte que — I== 7 ; ^~-, — 77 sinfs, Alsinfe, A'). - -^(rt,A)(«',A') ^ ' ^ ' ' Soient (p et 'j* deux autres diamètres perpendiculaires entre eux et au diamètre e, ces deux diamètres donne- ront une relation analogue à la précédente et, si l'on remarque que Ie-l-Io-l-L= (82), on trouvera, en ajoutant les trois relations ainsi obtenues, [b) ■ Ir^^y-, Î^^^T— 7-cos(A,A'), AA' désignant l'angle formé par les normales aux plans A, A', ces normales étant prolongées extérieurement aux faces A et A'. D'après le n° 2, on a d'ailleurs , , ZÇ^abcd.a'b'c'd' 36 W (.) .'=. =_-^, de sorte que les trois relations (a), (Z>), (c) détermine- ront les carrés des demi-axes principaux de la surface S, et l'on a ce théorème : Etant donnes une surface du second degré S et deux ( '7' ) tétraèdres abcd, a'b'c'd', les carrés X des demi-axes f>rincipaux de la surface sont racines de V équation ibVV .^jy,v||7,v| T . -7^ cos (A, A' ) + I = o. -^ [a, A) (a', A') Corollaires de la relation L„/= 7 —■ — Ige/ (14). .-6^ ( rt, Al 96. Si E est le plan polaire du point e' par rapport à la surface S, celte relation devient ^ ' ' ^(fl, A) ^ ' ' Imaginons deux sphères ayant pour centres les points q et q' et telles que le plan E soit le plan radical de ces splières. Si Ton désigne par P^, P,, les puissances d'un point e par rapport à ces sphères, on a (^,E) («,E) I P,-P, P.— P„ 279' par conséquent : Étant données deux sphères q et q\ si Von désigne par P^, P'g les puissances d\in point arbitraire e, par rap- port à ces sphères, par P^, P', , P^,, P'i , . . . les puissances des sommets d'un tétraèdre abcd, par rapport à ces mêmes sphères, P _p'-yifiA) (p _p' ) Comme cas particulier, nous avons ce théorème : Un tétraèdre abcd étant inscrit à une sphère, si l'on ( ^72 ) désigne par P^ la puissance d'un point e par rapport à cette sphère et par o un point quelconque, oe — P<,= > f oa ' 97. Lorsque la surface S est une splière, la relation (14) devient, R étant le rayon de cette sphère (23), ^ >. A)/ _ , p par conséquent. Un autre tétraèdre a'b' c'd' conduirait de même à la relation Déterminant au moyen de cette dernière les valeurs de Pae'i Phe'i- • • •) ^t Ics substituaut dans la première, on a [e,K)[e\ A') /'- 2d{a,A][a',k' ib termes). Cette égalité serait donnée de suite par la relation (15) appliquée à la sphère. Si le point e' coïncide avec e, on a la relation oe =^^, ; \ j] ] Ji\Paa' ^our le carré de la distance des deux points o et e dont Vun est déterminé par ses coordonnées. 98. Si Ton remplace les puissances par les valeurs 2 2 2 2pee'^=<>e -i- oe' — ee' , 2.pau'=^oa -\- ou' — au' , ( 173 o étant le centre de la sphère, — = ^(g, A)(g', A') f—^' _ — ;- — yn ee = y (-7 — ; p. \ oa -i- oa — aa ) ' Maii — ^ (^, A) v^ ie\A'] —2 (g, A) oa ;a,Aj2-(a',A' donc :«, A) e » A- I •^ [e, A) -/ ((?', A ^ — î fe', A'I x:. (g, A) — ^ (e', A') e, A) oc -i-ue' — ee' = > oa^ — : Al ^ (a, -,M^% A'I ^[e,A][c\A!) >', A') -^(«, A)(«', A') Lorsque les deux tétraèdres coïncident, ainsi que les points e, e', — 2 (e, Al x:, [e. A] (g, B) -7 ^ ^e, Al ^ i^' '2^ °" uTa) ~^ rô ab r, A)(è, B) On aurait de même — ^ y— ^ (c\AM ^(e',A')(e',B')— -^ ^ (a,A') ^(«',A')(è',B') de sorte que la relation [A) devient r, A](e', A') — ;= ^(^, A)(e, B; ab («, A)(a', A'j -^(a, A)(^B; ^[e',A')[e',^') — ^ -^(a', A')(^'', B') Cette relation donne le carré de la distance des deux points e, e', connaissant les coordonnées de ces points par rapport aux deux tétraèdres abcd, a'b'c'd'. Le premier signe 2 contient seize termes, les deux autres chacun six. On trouvera plus loin (101) une autre ex- pression de celte distance. ( »74 ) Lorsque les lélraèdres coïncident, celte formule prend la forme ""' ~ ^ («, A)(^B) ' il y a six termes analogues. 99. Circonscrivons une sphère au tétraèdre abcd et soit Pg la puissance du point e par rapport à cette sphère ; soit encore P^,, la puissance du pointe' par rapporta la sphère circonscrite au tétraèdre a'Z>'c' y—, — -7- oa • La relation (A) devient ^(«, A)(a', A') Supposons que le point e soit le centre de la sphère inscrite au tétraèdre abcd, e' le centre de la sphère in- scrite au tétraèdre a'h' c'd' . P, = qè — R% p',. = y V \— R'% R et R' étant les rayons des deux sphères circonscrites. On a donc —2 ee' — qc ~q'e' + R^ -f- R'^ =. r;' V ^,, , ^,^ , -^(«, A)[rt', A'] r, r' étant les rayons des sphères inscrites. Or, si £, e' sont les directions qe\ q' e et Q l'angle sous lequel se coupent les sphères circonscrites, ee' + qq' — qe — q'e' =: — 2qe' .q'e COSîî', qq''—lV-{-R"-i- 2RR'C0S9, ( •7^> ) de sorte que aRR'cos 9 -f- 27e'. 7'(*cos£e' ^ ad r . r ^ ad '2é'a,A\id,A'i Lorsque les tétraèdres coïncideut, cos0 := — i, qe — R'= P, = — /^ > -— B Celle dernière relation donne l'expression de la puis- sance du centre de la sphère inscrite à un tétraèdre par rapport à la sphère circonscrite à ce tétraèdre. Corollaires de la relation l„i = X I. ' f 1 7 ) . iOO, Si la surfaceS est une sphère, on a (24) coses' (o, eWo, £')cosPP' L,' = — h ^ ? R^ R' cosve' fo, v) (o, e'jcosNP' P, P', N étant les plans diamétraux menés par les droites e, e', •/. Remplaçant dans la relation donnée les indices par ces valeurs, on a une égalité qui étant vraie, quel que soit le rayon R, donne les deux suivantes : COS£e'=> ; COSvî', (o, e)(o, £')cosPP'=:y |-^l^(o,v)(o,e')cosNP'. ^^ 1 7> '•' 1 A l'aide d'un second tétraèdre a'b'c'd\ on aurait égale- ment 1 7'. v' I 76 d'où 1 on déduira [o,z){o, s') cos?V'=^ [ '' "^ I I '; '^, I [o, v)(o, v')cosNN^ (36 termes) 7 I 1 1; V CCS v/ ( 36 termes ' 7, V I 1 y La première de ces relations donne le cosinus de V angle de deux droites déterminées par leurs coor- données. 101 . Remplaçons |£, y |, |e', y'\ par les valeurs (c, 87), e,/ étant deux points pris sur £, e', f deux points pris sur s'. ^,71 = (^,C) (/,C (6',D) (/,D (^•',C') (/',C') (c',D') (/',D') e/ sic CD I e'/'sinC'D' Nos deux expressions deviennent, en se rappelant que c^fsinCD 1 7,v |=(c, C){rf, D), cWsinC'D'Iv',-/ |-=(c', C')(^/', D'), oef. oe'f cosVV =^ [c,c)[AC) |(e',c')^/,c') :^,D)(/,D) \[c',\y)[f,Yi') cd .c'd' cos'j/ (^,c)(/,c; (^,D)(/,D] (^',C')(/',C"; («',D')(/',D') (r,C)(r/,DVc',C')(^',D') o«/. oc'r/' cosNN' ;c,C)(rf,D)(c',C')K,D') Lorsque les points e', J' coïncident avec les points 7^2 KC)(/,c) ('',D)(/,D) (^, c){/, c [c,C){f,C) (^,D')(/,D') ^, C')(/, C ^,D')(/,D' cd. c' d' cos vv' c,C)(rf,D)(c',C')K,D') or<^. oc V cos NN' (c, C)(r^,D)(c',C')(./',D') Ces relations donnent le carré de la distance de deux points e et jet le carré de V aire d'un triangle. A suivre. ( »77 ) J.-V. PONCELET. Seconde Partie du Couns de Mécanique appliquée AUX MACH1AES, publié par iM, X. Kretz. Nous nous sommes déjà permis (*^ d'appeler la plus sérieuse aitention des lecteurs des yliiiiales sur la publi- catiou des éditions nouvelles des Ouvrages du géné- ral Poncelet, relatifs à la Mécanique. La maison Gaulhier-Villars vient de faire païaître la seconde et dernière Partie du célèbre Cours de Méca- nique appliquée aux machines, professé pendant neuf ans aux élèves de l'Ecole de Metz. M. X. Kreiz, ingénieur en chef des Manufactures de l'Etat, continue à bien mériter de la Science en donnant tous ses soins à raclièvement du monument élevé par M™*^ Poncelet à la mémoire de son illustre mari. Il a scrupuleusement reproduit la dernière rédaction adoptée par Poncelet (iSSa), en reportant aux additions placées à la suite du texte quelques extraits des travaux ulté- rieurs du général sur certaines questions importantes. Le volume que nous annonçons est divisé en trois Sec- tions. Les deux premières comprennent en réalité, sous le litre beaucoup trop modeste de Leçons préparatoires au lever d'usines, à peu près toute l'Hydraulique. La troisième Section renferme les leçons sur les ponts-levis, que l'Auteur avait publiées par cahiers séparés (iSSi, ( * ) Nouvelles Annales, >.* série, t. XIII, p. 17/1. Aim. de Maihcmat., 2« série, t. XVI. (Avril 1877.) 12 ( «7«^ i835) et ratraclices ciisuile à l'cusemble du Cours dont elles forniaienL la liuitième et dernière partie. La première Section est consacrée à V Étude du mou- i^'enient permanent et de r écoulement des fluides. Poncelet y passe en levue, avec la plus grande saga- cité et en faisant intervenir avec beaucoup d'habileté le théorème du travail, tout ce qui a rapport à l'hypothèse approximative de D. Bernoulli, à l'écoulement par un orilice en mince paroi, à l'iniluence des ajutages 5 au mouvement des fluides (liquides et gaz) dans les tuyaux de conduite, dans les pertuis et coursiers d'usines, dans les catiaux à régime constant; enfin, au jaugeage des cours d'eau. C'est dans les additions qui suivent cette première Sec- tion que se trouve la remarquable application faite par Poncelet du principe des forces vives à l'étude des cou- rants à régime variable. Il est curieux de noter f|ue l'équation différentielle du mouvement varié coirespondant fut obtenue presque en môme temps et séparéjiient par trois savants ingénieurs dont la Mécanique n'oubliera jamais les noms : Bélan- ger, Poncelet, Navier. La deuxième Section traite des Principaux moteurs et récepteurs. Nous n'avons jamais pu revoir cette théorie des moteurs hydrauliques sans une véritable admiration pour le génie mécanique du savant professeur. C'est, à notre avis, un modèle de discussion à la fois scientifique et pratique; et l'invention des roues verticales à aubes courbes, expo- sée par son pro[jre auteur, n'eu esf. certes pas une des parties les moins intéressantes. jNous signalerons, en outre, l'étude si approfondie des roues à augets, l'exa- men du rendement des divers systèmes de machines à vapeur, et les ingénieux procédés proposés par Poncelet ( '79 } pour la mesure du iravail correspondant à un effort de traction ainsi que pour la recherche expérimentale de la loi des mouvcmenls variés et rapides. Parmi les additions qui complètent cette deuxième Sec- tion, la plus précieuse est sans contredit celle qui se rapporte à la théorie des effets mécaniques de la turbine Fourneyron. Le Mémoire araboles considérées. On sait que la parallèle menée par M à l'axe de la parabole passe au milieu C de la corde des contacts OA (*). Donc le lieu du point ^I est la circonférence décrite sur OC comme diamètre. 2" Si JN représente le point de concours d une normale en O et d'une tangente en A, la perpendiculaire élevée ;i ON en N rencontre AO prolongée en un point B, tel que OB = OA, car la projection de OA sur l'axe de la parabole est égale à OjN . Donc le lieu du point IN est la circonférence symétrique par rapport au point O de celle qui a OA pour dianiètre. 3° et 4"- Si l'on prend OA pour axe des .r, et pour axe des y la perpendiculaire élevée au point O à la droite OA, les coordonnées a, /3 du point de concours M, des tangentes en A et O satisferont à l'équation (l( a^ H- §'— -r/a=: o, où ^^=0A. Les équations des tangentes aux points O et A sont (2) r=:-.r, a et y. — a Les normales aux mêmes points sont représentées par les équations et .5 / = .-r — cl . '; Lp lecteur est prie de faire la ligure. ( '8. ) Combinant successivement les éc[uaiions (2^, (5) t;t (4)5 (5) avec la relation (1), on trouve / .V — d et ^ d— x X d On voit que les deux lieux proposés, 3° et 4"5 O'"^ i^i" sommet commun en A, un même axe de symétrie OÂ, et respectivement pour asymptotes les droites repré- sentées par les équations x ■=:i iOft A la parabole dont A est le sommet et C le foyei'. (G.) ( i83) CONCOURS DWmîISSIOX A L'ÉCOLE SPECIALE MILITAIRE (ANNÉE 1876); Par m. terrier, In;;éiiieiir civil, h Paris. Deux droites AB, A'R' sont perpendiculnires à un même plan M, aux points donnés A et A'. On sait que la longueur de AB est double de celle de A'B'. Par le pied \ de AB on tire dans le plan M une droite AC, faisant avec AA' un angle donné. Cela posé, on de- niafide de trouver sur la droite AC un point (Voit l' on verrait les longueurs AB, A'B' sous des angles égaux. Discussion sommaire de la solution. Par un point quelconque P de la droile AC, pris comme centre, avec -jPA pour rayon, on décrit un arc de cercle qui coupe A A' en Q. Par le point A' on mène à PQ une parallèle qui coupe AC en un point S qui est le point clierclié. On a en elfet, d'après !a con- siruction, A'S = jAS, et d'après renoncé A'B'=-^AB. Les triangles SAB, SA'B', icctangles en A et A', sont donc semblables et par conséquent équiaiigles, d'où il suit que les longueurs AB, A'B' sont vues du point S sous des angles égaux. Le problème aura deux solutions, une solution, ou n'admettra aucune solution, suivant que lare de cercle décrit du centre P coupera, toucbera ou ne rencontreia pas la droile AA', c'est-à-dire suivant cpi'on aura Tune ou l'autre des trois conditions {*) Pour qu'il n'y ait aucune solution, il faut que l'angle donne A'AC soit compris entre 3o et i5o doprcs. Il y a deux sululioiis ((nniKl on a A'AC> i5o", et une seule si A'AC =: i3o". ( »84) CONCOURS D'ADMISSION A L'ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE (ANNÉE 187G); Par m. Octave DESGARDINS, Maître répétiteur au lycée d'Amiens. Résoudre I — h ah Transposanl, on a ou ou b — X ->!- a .T — h h [.T. — a) a[ :v — h ) { b -i- a) — X [ù -\- a) — b[x - — a] al b — x) équation vérifiée, pour .x = h-{-a. le dénominateur étant différent de zéro pour cette valeur de x. Les numérateurs étant égaux, il y aura encore égalilé entre les deux rapports lorsqu'on aura h[.T — a^ r=. a[b — .r 1 , d'où 9.ab a -h h ( '85 ; CORRESPO^'DAMCE. Extrait d'une Lettre de M. Bourguet. — Voici quelques questions à proposer aux lecteurs des Nou- velles Annales : i" Prouver que I « H 2 1 I \ 1 ^ n -h i > i 1 i-. . . -4- ->-L I m m -i~ i in -{- 2 n m m 2 L désigne logarithme népérien) m^i. a" Prouver que la série ,m _i_ ,,//( m _X_ f^m /H+i «i + z _j_ est convergente pour a<^-- et divergente pour a ^ -• 3° Prouver que la série n n[n-\-i] n{n -\- \'\[n -\- i] est convergente pour n — m'^i, et divergente pour 4" Trouver les racines de l'équation I X o 2 .r -f- I [X -\- I ) fjT + 2; .T ix I i I X ■ /• -f- I '; [x -f- 2) (.r -f- 3 Kxlrdi'l d'une lettre de M. Poujude, projesseur au L) cce d Auueus. — Il l.iiil ciicoïc rainciicr \()trcattcii- ( i86 ) lion sur la quesliou 970 et 1028 déjà résolue deux fois dans les Noia^elles Annales. Il s'agit de ; Trouver le lien des sommets des triangles circonscrits à une ellipse et tels que tes linuteurs passent par les points de contact des côtés opposés. M. Bourguet (t. XIII, p, 576), après avoir signalé les erreurs de calcul d'une solution antérieure, adonné une méthode générale de mise en équation duproblèn)e, mais il s'est trompé lui-même dans l'application qu'il en a faite à l'ellipse rapportée à ses axes, et, au lieu du ré- sultat final qu'il indique, il faut lire enposantR = a:^-{-j^^ — «" — h^ . Puis supprimant, comme il l'indique, le facteur S dans les deux membres de l'équation rendue entière, on ob- tient, en eiïét, un lieu du liuilième ordre, mais ce qui n'a pas été signalé jusqu'ici, c'est que ce lieu se décompose en deux autres de la façon suivante : (4 S + R^) [4S= — 4 RS («^+ Z»') + 3 a-- b'JM'] z= o (S désigne la fonction a^j- -f- ^-.r" — '^."^")' Le premier lieu est le quadrilatère imaginaire ayant les quatre foyers pour somnîcts, le secoiid est l'ensemble de deux coniques rapportées à leurs centres et à leurs axes, l'une intérieure, l'autre extérieure à l'ellipse donnée. M. Bourguet avait étudié la forme du lieu sur l'équa- tion du dixième ordre, mais il m'a paru intéressant de vous signaler cette décomposition, qui rend la discussion inutile. Elle est évidemment applicable au cas de l'hyper- bole et donne dans la parabole une parabole intérieure à la première, le lieu extérieur s'éloignant à l'infini. Permettez-moi, eu terminant, d'indiquer pour le cas ( '87 ) d'une conique à centre une mise en l'quation plus ra- pide que celles données jusqu'ici. Soit M [x, j") un point du lieu 5 on sait Jélcrminer les coordonnées a, /3 du point N de concours des normales à l'ellipse aux points où elle est touchée parles tangentes menées de M; il sulîit d'écrire que la droite ININ est nor- male à l'ellipse pour obtenir l'équation du dixième degré mentionnée plus haut. Nota. La question 1196, dont nne solution se trouve dans le numéro de décembre dernier, a été résolue j)ar M. Moreau, et, la question 1214, par M. Léopold Klug, à Pressburg (Hongrie). PIBLICATIOXS RECEMES. Lettres iisédites de Joseph- Louis Lagraiige à Léo- nard Euler^ tirées des archives de la salle des confé- rences de l'Académie impériale des Sciences de Saint- Pétersbourg 5 et [)\\]A\ées -^a.v B . Boncompagtii^ Membre ordinaire de l'Académie pontificale des JSuovi Li'ncei, Membre correspondant de l'Académie des Sciences de l'Institut de Bologne, des Académies royales des Sciences de Turin, et des Sciences, Lettres et Arts de Modène, et Membre honoraire de l'Académie royale des Sciences de Berlin. — Saint-Pétersbourg, Expédition pour la con- fection des papiers de 1 Etat, Atelier héliographique dirigé par G. Scainonl {i, c; r/, h', c'j a'\ b'\ c" sont situés sur une même circonférence, qui, pour cette rai- son, a reçu la dénomination de cercle des neuf points. Les intéressantes et nombreuses propriétés de ce cercle sout enseignées ou, au moins, énoncées dans tous les cours, et aujourd'hui elles sont bien connues des élèves de nos classes de Mathématiques. II en a été question dans presque tous les volumes des Nou<^>elles annales, et de- puis la fondation de ce recueil, époque à laquelle cet énoncé a été proposé, les propriétés du cercle des neuf points ont fait l'objet de diverses recherches, dont nous devrons jîous borner à donner le résumé ou l'indication, ( '^^9 ) Cet énoncé peut, dans tous les cas, se traduire sous la forme suivante, plus abrégée et non moins précise : Le cercle des neuf points, défini dans tout tiiangle, est tangent au cercle inscrit et aux cercles exinscrits. Ces préliminaires établis, revenons aux deux proposi- tions renfermées dans l'énoncé de la question 21. Considérons le trapèze abca" . Soit / le point où c/>. parallèle à Ba"«, remontre AHa" (*). Le point /est le mi- lieu de Aa", et B«"= 2 c/ ; donc la droite Aa" est paral- lèle à la bissectrice de l'angle des directions A«, ou cB, et ccî' . Ainsi le trapèze abca" est isoscèle, et la circon- férence, passant par les poitils a, b, c, milieux des côtés du triangle, passe aussi par les points a'\ b", c", pieds des trois hauteurs. On peut établir, aussi aisément, que celle même cir- conférence passe par les points «', b', c'. En effet, décri- vons la circonférence circonscrite au triangle ABC, et considérons les rayons vecteurs Ha'', Hè'', H c" prolongés jusqu'à leurs rencontres avec la courbe, aux points a,/3,y. Les angles HBrt", aAC sont égaux, comme ayant leurs côtés perpendiculaires; fnais les angles inscrits aBC,a AC sont égaux : donc aBC ^= HBa''^ ainsi le point a" est le milieu deHî^. La circonférence abc peut donc être définie : la figure semblable au cercle circonscrit, le centre de siniiliiude étant le point de rencontre des banteui^s, et le rapport de similitude \. Elle passe donc par les points a', b', c', mi- lieux des rayons vecteurs HA, HB, HC. La seconde proposition de l'énoncé se démontrerait aussi d'une manière très-simple ; mais, pour ne pas re- produire presque textuellement des articles dt^à publiés 1^' ) Le Ircteiir est iM'io de faire la fujnrc- ( 19° ) tlaus co journal, nous renverrons les leclours à ces dé- nionslraiions. Nous signalerons, néanmoins, à leur atten- tion, celle que iM. Gerono a exposée dans le t. IV [i^ sé- rie, p. 220) des Nouvelles Annales. En suivant les indications de M. Hamilton, M. Gerono a fait connaître la détermination graphique des points de contact du cercle inscrit et de chacun des cercles exinscrits avec le cercle des neuf points. Voici quelques remarques très-simples qu'il nous paraît utile de faire connaître : Les droites ab^ a' h' sont parallèles à AB et égales .à la moitié de AB. De même, les droites ab\ ha' sont pa- i-allèles à CH et égales à la moitié de CH-, mais CH est la hauteur correspondant au côté AB, ainsi le quadri- latère ah a' h' est vni roclangle, et la circonférence cir- conscrite a son centre au point de rencontre O' des dia- gonales aa' ^ hh' . De même, les angles hch' ., hd h' sont droits et s'appuient sur les extrémités /?, // de la dia- gonale hh\ diamètre de la circonférence. Celle-ci passe donc aux points c, c' . Par les raisons données plus haut, cette circonférence doit passer par les points «", h" ^ c" . Si l'on désigne par O le centre du cercle circonscrit, on voit immédiatement queO« = Wcî = — - (théorème de Caukot). Question 291 (voir i" série, t. XIII, p. to'); Par m. h. BROCARD. m et r étant des nombres entiers positifs^ si V un des nombres 3'"-|-i, 3'""^' -i- 1 est divisible par 10, r autre est aussi divisible par 10. ( ^n ) Il conviendrait de présenter la question sons une forme plus indéterminéejetderénoncerde la manière suivante : ni et r étant des nombres entiers, sous quelle condition 3'"+r_|_ j est-il divisible par lo, lorsque 3"'-f- i est divi- sible par I G ? Il serait facile de voir, eu eli'et, que la proposition dou- uéii serait eu défaut pour /■ r=r i , par exemple. Dans la nouvelle hypothèse, 3"'"*"' étant divisible par lo, 3'" est terminé par le chitî're 9. lî faut donc que 3'"+'" soit aussi terminé par le clnlfre 9, ou que 3'' soit terminé par le chillrc i. Or les puissances de 3 sont terminées par I, 3, 7, 9, dans l'ordre périodique i, 3, 9, 7 -, i, 3, 9, 7 -, I, . . .-, il s'ensuit que les valeurs de /■ qui corres- pondent au chillrc 1 sont o, 4i 8, 12, . . ., û^n. Ainsi l'énoncé primitif n'est pas d'une généralité ajjsolue, et doit ètie rectifié comme il suit : Si le nombre 3"'-|-i est dii'isible par 10, 3'"— *"-f- i sera également divisible par 10. [Voir à ce sujet les questions du Concours généial de 1874, Nouvelles yJnnales, 2*^ série, t. XIV, p. 507). QIKSTIOSS. 1224. Soit une famille de courbes planes représentées par ré(juatioti J [x\ j., a) =: o, a étant un paramètre variable 5 trouver ; i" Le lieu des points où la tangente est parallèle à une tlroite donnée. 2" Le lieu des points où le rayon de courbure a une grandeur donnée. Application aux paraboles de même axe et de même sommet, aux ellipses avant un axe commun. (I.aisant.) ( 192 ) it2î25. Soient s, s' deux coniques dans un plan. Le lieu du point d'intersection des diamètres de l'une et de. l'autre de ces courbes, correspondant à des cordes de môme direction, est, en générai, une conique. Examiner l'espèce de cette conique, d'après l'espèce et la position relative des coniques 5, s'. (V. Androusskt). 1226. Rendre calculable par logarithmes sin« + sin^ smx = -. — r • I -I- smasmo (Catalan. ) 1227. Si des différents points de la tangente au som- met d'une parabole on mène, aux rayons aboutissant au foyer, des perpendiculaires égales à ces rayons, le lieu de leurs extrémités se compose des deux tangentes à la parabole, inclinées de 4^^ degrés sur l'axoT En conclure la propriété suivante du triangle ABC rec- tangle en A : soient <2, b, c les centres des carrés respec- tivement construits sur l'hypoténuse cl les deux côtés de l'angle droit; la ligne Aa est perpendiculaire, au point A, à la droite bAc, et elle lui est égale en lon- gueur. Application aux tiiangles dans lesquels on fait varier l'un des sommets B sur le côté AB. (H. Brocabd. } 1228. Sur une normale menée par un ombilic O à une surface du second degré, il existe un point P tel, qu'en menant par ce pointune transversale rectiligne, rencon- trant la surface en des points M, iM', l'angle MOM' est constamment droit, quelle que soit la direction donnée à la transversale. Et le plan polaire du point P, par rapport à la surface considérée, est parallèle à un plan cyclicpie de celte surface. ( '9^ ) THÉORIE DES INDICES; Par m. FAURE, Chef d'escadrons d'Artillerie. [suite (*).] 102. Eliminons maintenant les expressions | î, '/ 1 , (e', y'), en nous servant des relations (',B'j o, v) (o, •/) sin AB sin A'B' cos NN' («,A)(6,B),y,A')(6',B'; (*) Nouvelles Annales, 2« série, t. XV, p. a5i , 292, 33(j, 45i, '[Si, 52i), et t. XVI, p. ô, iCo. Ann.de îtJnthémac, 1* &érie,l. XVI. (Mai 187(5.) l3 ( 194 ) Lorsque s' coïncide avec e, les plans E', F' avec E, F, sin^EF =1; ;o,£)2sin-'EF=:y a,E){a,¥ b,E){b,¥ a', E) («', F) b',E){b',F) |K,E)KF |{^Se)(//,f; sin AB sin A'B' cosw' {a,A)[b,B){a',A'){b',B')' (o,v)(o, v')sinABsinA'B'cosNN' {a,A){b,-B){a',A'){b',B') La première de ces relations donne le carré du sinus rie l'angle de deux plans déterminés par leurs coor- données. Si du point o on abaisse des perpendiculaires sur les plans E et F, la seconde relation donne le carré de la distance des pieds de ces perpendiculaires . Corollaires de la relation rt,E' 103. Lorsque la surface S est une sphère de rayon R, (o, E)(o, E')— R^cosEE' >, E) [(o,A)(o, E')— R^cosAE')]; mais (o,E)=^ : ' . (o, A) ; par conséquent («,E) cosEE '=2 «, A) cos AE' 4 termes' Cette relation donne le cosinus de V angle de deux plans dont Vun est déterminé par ses coordonnées, tandis que Vautre n'est déternnné nu en direction. Un second tétraèdre a'b' c'd' donnerait «',E') cosEE'=yfV-77 cosA'E; ( 195 ) portant dans la première expression de ces EE' les va- leurs de cos AE', cos BE', . . . , déduites de la seconde, on a, pour le cosinus de l'angle de deux plans déterminés par leurs coordonnées. cos EE' ;«,£)(«',£' 7^ cos A A' ( 1 6 termes) . Si les plans coïncident, ^_-y (fl,E)(q',E') Si, en même temps, les tétraèdres se confondent, cos A A'. cos AB. Si les plans EE' sont à l'inGni, la relation générale donne __'^ cosAA' 104. Prenoi^s dans le plan E trois points arbitraires e,/", g\ dans le plan E' trois points également arbitraires e',/', g' et remplaçons dans l'expression de cos EE' les coordonnées des plans E et E' par les valeurs (88). Nous trouvons d'abord 4^-/5 •^'/'ê''cosEE' (^,'C)(/, cKg', c) {t.,B)(/, B)(g', B) (.,D)(/,D}(o-,D) (^', C')(/', C')(^', c X (.',B')(/, B')(g.', B' (t>',D')(/',D')(^',D' cos AA' (fl,A)(a',A'jsinBCDsiaB'G'D' Mais 2(fl, A)siliBCD = ABCD , 2(«', A')sinB'C'D' = 3V'' A'B'C'D' i3. ( 196) par suite, (3V]' (3V Zjc'g.e'fg'i'osEE' ABCD A'B'C'D' [e, C){/,C)[g,C: :e,B){/,B)[g,B\ ■e,D)iAD)(g,D [e',a)[f,C'){g',C']\ [e\B'){/', B')(^', B'jcosAA' (.',D')(/', D')(^^',D')| Lorsque K'S points e',J'', ^' coïncident avec les poii'ls v,A)(«',aV^^'' I» ajoutons les re'sultals, et rappelons-nous (81) «jue np.np' cou pop' — SJ nous aurons ce théorème TC' Étant donnés deux télrnedres ahcd, a'b' c''«'» par S] la somme des carres des demi axes de la surface, par n^ leur produit : 1 pa . p a cos aa [u, A)(«', A') M Ia.V op . nj/ cos pnp' — S^ ( '97) jNous pouvons remplacer les nuraéraleurs par les expres- sions éqiiivalenles (31, 4") pa . i/rt'cos aa' = - ' va' H- ao' — pu' — an' ) t di- SOI te que 2-ï"^VÂ^i^(rt, A)"^2.(«, k]Zé[a', A') 2 ''^' ^(«, A)(a', A'j ^ (a, A)^«', A') '^*' op -V- op' — pp' — c>SJ — ~-i ■ Oi (92), o étant le centre de la surface S, (o, A') _'y Iaa- 'l^!iA! -- V _ij^Al_ :r' ~\Z<(rt,A)' TT^ ~^(^2',A')' et V Iaa- _ _|_ Zà[a,k][a\k'] ^tt'' (le sorte que ^ P'i' (o, A'I •^ «A*' ("'A] i (o',A'; "^-i («, Aj Circonscri\ons des sphères aux tétraèdres abcd , a'h'c'd' et désignons par P„, P'„ les puissances du centre o de S par rapport à ces splières, nous avons (90) Aà[a',k'Y ^ ^[a,kY doù ce iliéorème : On donne une surface S et dsux tclraèdres abcd, a'b'c'd'\ si l'on dcsigne par P.,. F„ les ( ^98 ) puissances du centre o de S pni' l'apport aux sphères circonscrites aux tétraèdres, l'expression , -^ aa' P. + P„ 4- ^^2é [a,h)[a',A') '^^' représente le double de la somme des carrés des demi- axes de la surface S. Lorsque les deux tétraèdres coïncident, on a P°+^'S^ Tua »^^ab = S;; le signe somme contient six termes. Si la surface S est conjuguée au tétraèdre abcd, les indices I^b sont nuls et nous retrouvons par une autre voie un théorème déjà démontré. Lieu du centre des surfaces inscrites aux six plans A, B, C, D, E, F dont la somme des carrés des axes est donnée. 106. La surface S touchant les quatre faces du té- traèdre de référence, les distances du centre o à ces faces sont données par les relations (92) (o> A) _ y Iaa (q»B) __ -y Iba {o,C) ^ IcA (o, D) ^ Ida V ^CA (o> D) _ V> Ip ^ (a, Aj' 7T^ " 2d [a, , -Ai dans lesquelles on fera Ia = Ib = le = lû = o . Les plans E ei F louchant la surface S, on a ( ï99 ) De plus Si l'on élimine les indices entre ces sept équations, on trouve, après avoir chassé les dénominateurs, o » o ^ _^ _^ ;23 E>^ co o >j «J" -<5 J" < 5S o o -a" 1-^ t ". o o ^ ' ,' , ', COSv/ est l'équation par droites du cercle imaginaire situé à l'infini, et que o^yi^^ilil^cosAA' ^(a,A)(«',A') est l'équation par plans de ce même cercle. Quant à l'équation par points de ce cercle, elle ne saurait exister, mais il est facile d'écrire l'équation du cône qui a pour sommet un point quelconque o, et pour base le cercle imaginaire 5 car, l'équation générale ( 203 ) I« -t- I = o du cône asymptote de la surface S donnant (23) p^ = G dans le cas de la sphère, nous avons (97) pour l'ëqualion de ce cône _y, [e,k) {e,A') 109. Nos formules conduisent facilement à ces ré- sultats. D'après les relations établies aux n°' il, 12, 13, nous avons les suivantes : lee' = — I + oe.oe' I,,' ; e, e' sont les diamètres oe, oe'5 P et P' sont les plans diamétraux menés par les droites »; et s' T -T . , io,^){o.'^') ^EK' — 1e E' H ; • Si les points e, e' sont situés sur deux diamètres con- jugués de la surface S, 1^^. = o. Si, dans la seconde, les droites e, t' sont parallèles à deux diamètres conjugués de S, J,^,f^ = o. Si, dans la troisième, les plans E, E' sont parallèles à deux plans diamétraux conjugués de S, Ie e = o? ^t nos trois relations donnent , N, ,^ T (o.E)(o.E') I„/+i=:o, I,,. =— ^o, e)(o, 6 llpp', Iee'~ ;; Appliquées à la sphère, elles deviennent, en ayant égard aux relations 23, 24 et 25, pggf=zO, COS£î'=:0, COSEE'=:0. On sait que p^,, = oe .oe' coseoe' . Remarquons que, ( 204 ) dans ces égalités, les points e, e' sont situés sur deux diamètres conjugués de la sphère, les droites e, s' vont rencontrer le plan de l'infini en deux points conjugués au cercle imaginaire situés dans ce plan, et les plans E, E' vont couper ce mt'me plan suivant deux dioites égale- ment conjuguées au cercle imaginaire de l'infini. Ces trois relations nous conduiront donc aussi aux trois équations écrites plus haut. no. Indiquant par I et I' les indices pris par rapport aux surfaces S et S', posons yr \aa' U' ^ac ha' I..' 1-'/' 1„,„' !*„' ^bb' !*/ hd' ^be t,r ^hin- Ica' Ici' I.c' hd' l'«.' i'-/' l'.v»' Ida' \db' Ijc' I',M')i. = T„ Xr étant le déterminant du u° 22. Mais, à cause des re- ( 205 laiions " *i F.' ,/ _ ^ *FE' *«-/■' " In' on volt que (o',E)(o',F)...(oMM)(r/,E')(o',F' o\¥)[o',E' y,w[ E F . . . M ' E' F' . . M' e / . . /// ' e' /' . . m' Nous ajoutons raccent prime dans ces deux symboles pour indiquer que les indices doivent être pris par rap- port à la surface S'. Nous avons donc, en remplaçant x^ par sa valeur, I '' / • ■ . "i I' :•' / ..- r. E F E' F' M ^4Vr. Pour développer le déterminant jv? on aura égard aux relations du n° 14, (".A 1- ■', A'' L„'« En remplaçant dans la première le point e' par a\ h\ <;', r/', on obtiendra les valeurs de !',,„', l',,y, 1',,./, 1'^.,//^ en remplaçant dans la seconde le point e par «, 6, o, J, on obtiendra les valeurs de 1',^,/, 1'^^/, I',.^,-, I',,^,, . De même pour les autres termes. On se i appellera que 1,,^/ = o est l'équaiion du plan polaire du point e' par rapport à S', le point e étant un point variable. Pour r=i,2,3, on a, en développant les valeuis { 206 ) de;v par rapport aux éléments relatifs à la surface S', Ia4' hc' ^w J. = — 2 ^^*' ^"' ^"^' l''e'It'«' Irfi' I(/c' ïdJ' J2= — J3 2 2^'^''' ïdc' ïjd' = lab.cd.a'b'.c'd' .ef. e'f I ,/l'.,, t^- I«e' I«/' I<(g' I//e' li/' 1%' Ire' If/' Igc' I.-,' le-// y«' I./v/ i:.«' ho' hc' 'ifu' ïfù' I/-6-' L.' I. i: = - 1 6 1 aèc . «' è' c' . ^/g' . ^'/' g' WI'dh- iLd' . Dans ces relations, s et e' sont les droites ef, e'J' \ H et H' sont les plans e/g- et e'f g' . Remplaçant Tr par ces valeurs dans la relation (A), et substituant aux divers déterminants leurs valeurs, on trouvera, toutes réductions faites, Iee' i..'i:. I/i//Ihh' _ Il V ^»A' ,' ,' ^^.,,A)(«', A') '"'-'"''"' „ -^ Iv/ ' ' / Dans ces expressions, E' et E sont les plans polaires des points e, e'^ les droites /,D)(.i',D' Désignons par Y,, le Jélerminant que Ton déduit de y,. en remplaçant les points a^ b, c^ . . . , ni, a' , b\ . . . , m' par les plans correspondants A, B, ..., M, A', B', ..,,M'. Ou établira comme ci-dessus la relation Y.= E F . .. M K' F' . . . M' e / ■ m e' r . . . /h' ^^àr-. d'où l'on déduira, pour 7;= 1,2,3, (Ci lu >,A)(«',A Ivv. ' ^ IaE' Iea' 7 11 II Comme dans le déterminant }v les points e', f ...., Tn'\ e,/,. . ., m sont, par rapport à S', les pôles des plans E, F,..., MjE'jF',..., M', c'el s sont les droilese'/', ef polaires des droites EF ou op, E'F' ou ç'; H' et H sont les plans e'f'g\ efg plans polaires des points EFG ou /^, E'F'G'ouA'. Dans le développement du déterminant Y,., on aura égard aux relations du n° 14 IfF' — y ; :-r IaK a, E) . _ ;"\ *AE" ^EE' — 7.i„i A Iff.' n'. E') , , Iea' Eu remplaçant dans la première le plan E' par les ( 208 ) plans A', B', C'^ D', ou obtiendra les valeurs de I'ea', Ïe,j/. . . -, en remplaçant dans la seconde le plan E par les plans A, B, C, D, on obtiendra les valeurs de l'^^r, Jg£/, .... Quant à la signification géométrique de ces divers indices, on se rappellera que l'gj., = o est l'équation du pôle du plan E' par rapport à la surface S', E étant un plan variable. m. Des relations précédentes résultent plusieurs conséquences; et d'abord, puisque l'équation I'^^, = o, dans laquelle l'un des points est supposé fixe, représente le plan polaire de ce point par rapport à la surface S', nous voyons que l'on peut, dans la valeur de jv? consi- dérer tous les indices primes comme représentant les plans polaires par rapport à S' des sommets abcd, a'h' c' d\ des tétraèdres primitifs; ou bien encore, en vertu de la relation générale I' ' ■= — ■ ' : ? nous voyons que les indices par rapport à S' sont proportionnels aux distances des points e, /, . . . , e', /', . . , , aux plans polaires des sommets des tétraèdres primitifs par rapport à S', de sorte que l'équation j^^=o, quelle que soit d'ailleurs sa signification, se trouve rapportée non plus aux tétraèdres de référence abcd, a'b'c'd' , mais aux polaires de ces tétraèdres par rapport à S'. Dans le cas particulier où la surface S' coïncide avec S, les relations (B) se réduisent à I ' — — ^V ^^'''' ) ^|7,v||7',v Ivv' I Zl.'l. '«»' =" - "'^ (./, D;rf', D') ^'^"' ^"''' ' ( 2'»y ) cl les léiraèdres de référence sont les polaires des tétraè- /Ires primitifs par rapport à S. Si, par exemple, la sur- lace S est conjuguée aux quatre couples aa' ^ bb\ ce', d(l' , auquel cas 1,..,'= 1*!,'== hc'^= I/ans de la polaire rcciproque de la surface S par rapport à S'. 112. Dans le déterminant )v faisons (oïncider les points e',f', . . . , m' avec les points e, /.. . . , ni, et conti- nuons d'appeler y,, le déterminant ainsi jnodifié; en remplaçant 7^ pai' sa valeur (8) on a, pour /• z= i . a. 3, -- ^.1 J.= — J^ = h: y h e f e f E F Ann. de Mathémat., 2* scrio, t. X VF. (Mai 1877.) -^MM IFI,, l/. ( 2IO ) - y ^ y 5- 7r= '^' /' ^' 7r'« E F G ' E' F' G Si le plan E touclie la surface S, Ie = o, et le point e, pôle du plan E par rapport à S', appartient à la polaire réciproque de S par rapport à S' 5 donc Téquation yi = o est l'équation par points de cette polaire réciproque. Si la droite cp touche S, I^ = o 5 par conséquent j\= o est l'équation par droites de la polaire réciproque de S par rapport à S'. Enfin, si le point h est sur la surface S, Ia= Oj et /s = o est une équation par plans de la po- laire réciproque de S par rapport à S'. Si, dans le déterminant Y^, on fait coïncider les plans E', F',..., M' avec les plans E, F, ..., M, on verra, comme plus haut, que les équations Y,=:o, Y,= o, ¥3=0, ainsi modifiées, représentent respectivement l'équation par plans, l'équation par droites et l'équation par points de la polaire réciproque de la surface S par rapport à S'. Les relations (B) et (C) conduisent également à di- verses formes de l'équation de cette polaire. 113, Dans le cas où les surfaces S et S' sont rapportées ■à leur tétraèdre autopolaire nbcd, ces relations peuvent s^écrire comme il suit : Ie h» t1 'h I. (., E) 'h ■1 '» ? 'h 1/ C [6 termes), '4 termes^. ( 2^1 ) Dans la première, si le plan E touche S, son pôle e par rapport à S' décrira la polaire réciproque (le S par rapport à S'. Dans la seconde, si la droite z louclie S, la polaire o par rapport à S' roulera sur la po- laire réciproque > -r. = o. Dans la troisième, si le point e est sur la surface S, son plan polaire E par rap- port à S' touchera la polaire réciproque ^ - — '—r, — - = <)• [y4 suivre.) THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES; Par m. h. LAURENT. [sc:te(*).] QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS. Nous avons trouvé que l'intégrale 27r y/ était égale iij[x), la fonction /(z) étant monodrome, monogène, finie et continue autour du point x ; soit donc (') Nouvelles yintinles, 2« série, t. XVF, p. yS. '4 ( ^'2 ) On voit que f{x) a toujours une dérivée, car on peut ici diirérenticr sous le signey par rapport à X', celle dé- rivée en a une à son tour et ainsi de suite, ce qui est une propriété précieuse des fonctions monodromes et mono- gènes. Si, dans la formule (i), on pose z =:; a: -f- /e'^"', elle devient 27r /(/•^V-'-f-x)r/e==./(.r); cette formule contient, comme l'on voit, un grand nom- bre d'intégrales définies. La formule (i) donne, en la dif- féren liant, . ou. en posant z =. 7V^^^~' h- x, l'n appelant alors M le maximum du module de^^l^) sur le cercle de rayon /' décrit du point x comme centre, on a — — / Jô>mod. /"[■r\ 27r /^' J„ I .2. .« ' ' ou ou niod./"(jr)< ^■-- ■■ •" ^i^ I . 2 . J . . . // Cette formule montre que, si toutes les dérivées dc/(a:) ne sont pas constamment nulles, c'est-à-dire siy {x) n'est ( 2i3 ) pas une constante, on pourra toujours prendre /• assez grand pour que M croisse au delà de toute limite-, donc : Théorème. — Une fonction mojiodrome et monogène devient forcément iti finie pour une valeur finie ou infi- nie de sa variable ; donc aussi^la considération de son inverse prouve quelle s^ annule pour une valeur finie ou infinie de sa variable; donc enfin V équation f{x) = o a nécessairement une racine. Reprenons les formules ^ ^ 27rv'-i./ (2-^r" i.^...'n' ^ ^' (2) -4_ rZi^./z=/(x); a TT y/— I J 2 — .r- la dernière peut s'écrire 27rV— I \ J ^ — ^ J (2 — ") a] -A- ou, en vertu de (i), -h Ce dernier terme tend vers zt'ro pour /i =r^ oo , pourvu que .r — a soit assez petit, cl l'on voit que, pour a* =. rt, toutes les dérivées de f[x) ne sauraient être nulles, si f{x) n'est pas une constante. Supposons que les (// — i) pre- mières dérivées seulement soient nulles et que la n'"'"" ( 2i4 ) ne le soit pas, la formule précédente se réduit à le facteur de [x — a)" ne sera pas nul pour x = a,el l'on voit que, s\ J{a) est nul,y^(j:) sera delà forme {x—aY^{x), ^{x) restant fini pour x := a; donc : Théorème. — Zhie foncliojnnonodronie et nionogène Il a que des racines d'un ordre de uiultiplicilé entier j il en est de même par suite de ses infinis. Voici une dernière proposition très-importante : Soit f'[z] f [z) la dérivée àe f[z)\ les infinis de ~r,~! seront sim- pies et se réduiront aux zéros et aux infinis de /^(z). Soient rtj, rt.2, ... les zéros àef[z) contenus dans le contour C. y.x^ «2, . • • les infinis contenus dans le môme contour: alors '^{z) n'étant plus ni nul ni infini dans le contour C; pre- nons les logarithmes et difïérentionSj on aura -r- ^y _!1 y _^ . ,^ z — a ■^ z — a f[z) -^ z — a ^^ z — a "1(2;) Multiplions par F(z), qui ne devient ni nul ni infini dans le contour C-, nous aurons, en intégrant le long de ce contour, ¥[z)f'[z\ 27r V — i J J \^ , Si Ton fait F(z) = i, on trouve m — tî, c'est-à-dire la ( .i5 ) différence entre le nombre des zéros et des infinis ; mais alors en désignant par [Iog/'(s)] la quantité dont varie ]ogf{z) le long du contour; ot log/(a:) =logmod./(z) —27: y/— 1 arg./(2); ainsi m — n est la quantité dont varie i'argumentdey^(z) le long du contour C, quand le point z effectue une ré- volution complète le long de ce contour. Quand on preud F[z) = z, on a /■ , , dz = Ima — In a. ( J suivre. ) SIR Ql'ELQlES CAS DE SEPARATION DES VARIABLES DAXS L'ÉOIATION Mdx~h^df= o; Par m. C. IIARKEMA, Professeur de Mathématiques au Gymnase philologique à Saint-Pétersbourg. Lorsque l'équation différentielle (i) Mdx -i-lSdj- =:o, dont on se propose de trouver l'intégrale, ne rentre pas dans le nombre des types considérés ordinairement (c'est-à-dire lorsqu'elle n'est ni une différentielle totale, ni homogène par rapport aux variables, ou linéaire), c'est parfois un changement convenable de coor- données (*) qui peut rendre des avantages considérables. (_*) Vu la sigDiiScation géométrique de l'equalion (1). ( 2i6 ) Je veux montrer, dans celle Note, qu'il est souvent possible de décider, à la seule inspection de l'équation, ou bien, par des calculs fort simples, dans quel cas le passage aux coordonnées polaires peut faciliter l'inté- gration en permetlant de séparer les variables. Si l'on pose X -- r ces 9 , j = r sin 9 , d'où dr = cos 9 dr — r sin 9r/9 , i^j- -rr sin 9 dr +- r ces 9 d^ , l'équation (i) devient dr [M (rcos9, r sinO) cos 9 -!- N (/■ cos9, r sin9) sin9] — -+- [N(rcos9, /•sin9) c()s9 — M (^ cos 9, /•sin9) sin9]^9 = o; ou bien, en omeltant les parenllièscs intérieures el eu Iransformanl, , , IM cos 9 H- N sin9 dr 2 r/9 = o . ^ ' MsinQ — W cos 9 r Dans cette équation, les variables pourront être sé- paiées dès que Texpressiou M cos 9 -4- Nsin9 i\ sinO — IN cos 9 sera une fonction d'une s( ule variable r ou 9, ou bien, un produit de deux fonctions, tel queœ(r) 4'(^)- On voit donc que, en posant, pour abréger. Mcosi9 + Nsin9 „ , . ,, ^ , , :;— P, les variables pourront être séparées dans les cas sui\ants : 1" P — F(r), 2» Pr=/(9), 3" V-'-:.^[r]Y,^\, en désignant par F,/, 9 el ■]; des fonctions quelconques. Mais, comme X , Y cos 9 = — 1 sin ^ — r =z \j .r^ -\- y- et 9 --: arc rang - > on aura M/ — i\ X ella séparation des variables pourra s'effectuer dès qu'on aura M.r -!- N r „ , M.r -t- Nr ^ /)■ My — JNj: ' '^' \'' M.r ~ Nr 3» {-^y.(x=-j-)f('^), les fonctions F,, /i, ^, et '|, étant différentes de celles que nous avons désignées par F, y, 9, vj^. ^application. Soit proposé de trouver l'intégrale de l'équation xy ( x- -1- j) ^ M- I ) dx -\- [y* -f- ^'/- — .-r' ) r/x :~ o . INous aurons, d'après ce qui précède, xy^[x^ -\-y''\- i)—x[y' -\- .T^y^ — x^) x^ ^ " et nous sommes conduit au troisième cas. L'équation en coordonnées polaires (2) sera, d'après cela, tangOr*^//- — dO = o, ( 2i8 ) «t son intégrale log(Gsinô) =0, C désignant une constante. L'intégrale de réqualion proposée sera donc COKCOIRS D'ADMISSIORI A L'ECOLE NORMALE SllPÉRIElRE (ANKÉE 1876) (voir 2' série, t. XV, p. 470); Par m. MORET-BLANC. On considère toutes les paraboles tangentes à deux droites rectangulaires OX, OY et telles que la droite PQ qui joint leurs points de contact P, Q flP'ec les deux droites passe par un point fixe donné A. 1° On demande le lieu du point d'intersection de la normale enV à l'une de ces paraboles avec le diamètre de la même courbe passant e/z Q. 2° On demande de déterminer le nombre des para- boles réelles qui passent par un point quelconque du plan. 3" On demande l' équation du lieu des points de ren- contre de deux paraboles satisfaisant aux conditions proposées et dont les axes font un angle donné. On construira ce lieu dans le cas où Sangle donjié est un angle de 45 degrés, et oii le point donné A est sur la droite OX. Je prends pour axes de coordonnées les droites ( 219 ) OX, OY dans le sens où les coordonnées du point A sont positives. Soient a et h ces coordonnées, et OP =^ a, 0Q = j3. L'équation générale des paraboles satisfaisant aux con- ditions de l'énoncé est r\- ^ y , ' -2 -2--f-I=0, avec la condition ([ui exprime que la droite PQ passe par le point A. X y est l'équation du diamètre passant par l'origine : le coef- B licient angulaire des diamètres est donc -. a i" La normale en P à l'axe des paraboles et le dia- mètre de la même courbe passant en Q ont respecti- vement pour équations X -^ a, On aura l'équation du lieu de leurs points d'inter- section en éliminant a et (3 entre ces deux dernières équations et 1 équation (2), ce qui donne (3) xy — ib.i — ay=--0. Ce lieu est une hyperbole équilatère passant par le point O et ayant ses asymptotes parallèles aux di'oites OX,OY. Les coordonnées du centre sont X =z a , X z= ib. ( 220 ) Si l'on transporte l'origine au centre, l'équalion devient xy =z lab. 2° Si X et y sont les coordonnées d'un point donné du plan, les équations ( i ) et (2) déterminent les para- inètresa,(3 relatifs aux parabolesqui passent par ce point. De l'équation (2) on tire I 1 n En reportant celte valeur dans l'équation (i), et multipliant par Z>' a' pour chasser les dénominateurs, il vient d'où [j — by ol'' — i[y [bx -1- av) — b[bx — « J )] a H- [bx -{- afY= o, jr[bx -\- «j) -1'- b [bx — ay] z^.ib sjxy[bx -\- ay — ob] « - v^^r Soient B elCles projcctionsdu point A sur OX et OY; bx -'- ny — ab - o est l'équation de la droite BC. Cela posé, on aura deux valeurs réelles de )' ir^ o . L'équation d'une autre parabole dont le coefficient angulaire des diamètres est m' sera [m' X — jî- — 7. [a m' -4- b) [m' x -4- y) -f- [nin -4- Z»)' = o. En ordonnant lesdeux équations par rapport à ni et /«', ou a \i »«'2 •r — a j' m 0. [xy -r- br -f- a y — ab) lu -f- [y — b)^ -- o . ■2[xy -i- bx -T- ny — ab] m' -h [y — 6)' ^o. Si p est la tangente de l'angle donné que doivent faiie les axes des deux paraboles, on a m — rn Oi , TU et /;/ étant les racines d'une même équation du ( 222 ) second deejré de la forme A m' — iBm -h C = o, ona VB^ — AC , A-4-C . — — 5 I -4- mm = — A A donc V/B-' — AC = a ( A 4- C) ou B= — AC = ^t^' fA + C)', c'est-à-dire [xj -h ba: -4- ny — ab ]■ — (./.■ — a )' [j — b V el, en réduisant, (4) 4-^J (^■^' 4- «r — «^) = ,"•'[(« — •2:")'+ (r ~ bY]\ Le lieu des points d'intersection de deux paraboles satisfaisant aux conditions proposées, et dont les axes font entre eux un angle constant dont la tangente est u, est donc une courbe du quatrième ordre jouissant de cette propiiété que le produit des distances de chacun de ses points aux trois côtés du triangle OBC, multiplié par OA^ est à la quatrième puissance de la distance de ce point au point A dans un rapport constant Ç • Si l'angle des axes est de 45 degrés et que le point A soit sur OX, ou a p. ^ I , ^ = o. L'équation du lieu se réduit à ou d'où y'^ Zj^iSjax y -r- [x — a )' ^ o y ■=z± \jax ± y/3 a.x — .r- — «■' zn; ziz y'OuC zh Y , en posant Y = y/3rt.r — x' — a' =rt y/[a7' — .r ] ^a: — a, ^, ,.'/\ ( Q23 ) od et x' étant les racines de l'équation x" — Zar -\- fl- r= O , savoir ..'=^(3--v5), x"^^'(3-v/5). Pour construire la courbe, on construira d'abord la parabole puis entre les abscisses - (3 — y/ô) et - (3 -+- y/5j, on por- tera, à partir de chaque point de la parabole, des or- données positives et négatives égales à Y. I (^ I r^ ;►> , 3rt ,r Al , , X croissant de - ( 3 — v5) a — ? i croit de zéro a sa va- 2 ^ ' 2 1 . a — . . , 3 « , a / „ — leur maximum - v'5 ; puis, a: croissant de — a - (3 -t- y/5j, Y décroit de sa valeur maximum à zéro. Pourx = rt, Y = a. On obtient ainsi deux ovales placés symétriquement par rapport à l'axe OX, cl ayant pour lignes diamé- trales des cordes parallèles à OY les arcs de la parabole compris entre les abscisses - (3 — y^5) et - (3 -|- y/S) • Ces ovales louclient Taxe OX au point x ^=-- a^ c'est-à- dire au point B. Aux points correspondant à la valeur maxiiKUin de Y, les tangentes aux ovales sont respectivement parallèles aux tangentes à la parabole, aux points de nièine ab- scisse. On obtient les points où la tangente est parallèle à OX en égalant à zéro la dérivée dej , ce qui donne l'équation ' [\x^ — I Irt.r' -f- 6rt'x -(- u' o, ( 2Q4 ) d'où « ( 7 + \^t>5 ) „Q ar—^ - ' — -^ ^ = 1 ,00 fl, j =_: rh ^ (v/56 -f- 8 v'65 -f- V I" V 65 — 20) ^ ± 3,475fl. iVofe. — La même question a été résolue par MM. Tourreltcs; Aga- briel, maitre-répétiteur au lycée de Châleauroux; Georges Lambiotle et Jules Freson, élèves à l'École des Mines de Liège. QIESTIOX PROPOSEE Al CO\COtRS D'ADMISSION A L'ÉCOLE CENTRALE. 2* SESSION. — OCTOBRE 187G. SOLUTION DE M. MOUET-BLAWC. On donne dans un plan un angle. ROR', un point A sur la bisseclrice Ox de cet angle ^ et deux points B, B' j>lncés syntétiiqueinenl par rap/Jort à Ox. On mène par le point A U7ie droite quelconque qui rencontre OKen C et OR' en G \ on mène les droites BC, IV C, ces droites se coupent en un poinf M. On demande le lieu décrit par le point INI, quand la droite CAC tourne autour du point A. On discutera le lieu en laissant fixes les droites OR, OR' et le point A, et en déplaçant le point B, et, par suite, le point B'. On indiquera dans quelles régions du plan doit être placé le point B pour que le lieu soit une ellipse, une hyperbole, ou une parabole. Prenons pour axes la droite Ox et sa perpendiculaire menée par le point O. ( 225 ) Soient OA =^ a, y. et {ù les coordonnées du point B ; 1= — mx les équations des droites OR, OPi', et j' — m'[x — a) celle d'une droite menée par A 5 on en déduit coordonnées du point C; X, = ma m' — m mm' a ï\ = m' — m Xi = m' n m' -,- m y-i -- — mm' a m' -;- m coordonnées du point C. La droite BG a pour équation ou, en remplaçantXj. j 1 par leurs valeurs, et mettant m' en facteur, [[ma — p)x -,- (a — a)y -r- [a^ — may.]m' z- mccj — m px). L'équation de B'C s'en déduit en changeant /3 en — |i et m en — tn [ — ■»?« — p) jc-r- [a — a) y— [a'^ — maa^nt' z=i — [my.y^ m2ix]. Si l'on élimine m' en multipliant en croix, on obtient Téqualion du lieu du point M P(ma — p)j;' -4- a(a — «)r' -H flP(P — /7?a)j: = o. C <;st une conitpie ayant un axe coïncidant avec Ox. Ânn. de MutJiémac., a^ série, t. XVI. (Mai iH'j;.) l5 ( 226 ) Cette conique sera une ellipse, une hyperbole, ou une parabole, selon que le produit a^ [nia — P) (a — a] sera positif, négatif, ou nul. Par le point A menons une perpendiculaire à 0:r, * qui rencontre OR en D, puis par D une parallèle à Ojf, qui rencontre Oy en E. On reconnaît sans peine que le lieu est une ellipse si le point B est dans l'une des bandes extérieures formées par le prolongement de deux côtés opposés du rec- tangle OEDA5 une hyperbole s'il est dans l'intérieur du rectangle ou dans l'un des angles opposés par le sommet à ceux du rectangle; une parabole s'il est sur une des droites Oy^ AD, DE indéfiniment prolongées. Si le point B est placé sur Ox, la condition précé- denle semble indiquer une parabole-, mais, en remontant aux équations des droites BC, B'C qui, pour [3 = o, de- viennent [w?«(.r — a) -h [rx — a)j'\ni' :-- nia.y ^ [ ma (x — a) — (a — ^)y'\ "^' = ^^ '^■J > on voit qu'elles sont satisfaites par j: — - a , yz=o, quel que soit m' : le lieu se réduit au, point B, ce qui est d'ailleurs évident a priori. Note. — La même question a été résolue par MM. Gambey; Brunot, élève au lycée de Dijon ; Jules Freson et Georges Lambiolte, élèves de l'Ecole des Mines de Liège. M. Brunot a donné des solutions géométrique et analytique. CORRESPONDANCE. Lettre de M. Deshoves à M. Brisse. — iMon cher collègue, vous n'avez sans doute pas oublié qu'au retour des vacances je vous ai énoîicé le théorème suivant ( 2^7 ) comme devant être démontré dans la prochaine édition de mes Questions d'algèbre : Si un solide est engendré par la révolution com- plète autour de son axe focal d'une conique dont Vé- quation est y- z= ipx -H qx- ^ le volume V d'un segment déternnné dans le solide par deux plans perpendiculaires à Vaxe de révolution est donné par la formule h et h" étant la hauteur du segment et le rayon de la section médiane. Or, comme je vois que le frère Gabriel-Marie a irouvé le même théorème, je tiens beaucoup à ce qu'il soit constaté que je ne lui ai rien emprunté. Je saisis celte occasion pour rappeler que ce n'est pas dans mes Questions de Géométrie^ mais dans mes Questions d'algèbre, c'est-à-dire dès 1872, que j'ai publié le nouveau théorème relatif au segment sphé- rique. La démonstration que j'ai donnée est à peu près semblable à celle du frère Gabriel-Marie, qui ne la con- naissait sans doute pas, puisqu'il cite ordinairement les auteurs des démonstrations qui ne lui appartiennent pas. Je voudrais aussi prendre date pour le théorème sui- vant, que vous pouvez proposer comme exercice à vos lecteurs : Si, dans un quadrilatère ABCD dont on désigne les côtés AB, BC, CD, Dx\ et les diagonales AC, BD par a, b, c, o. L'équation (i) peut s'écrire Les nombres entiers que (a: -h i) et [x~ -\- i) repré- sentent ont nécessairement un diviseur commun autre ( ^>-3i ) que l'unité: car, s'ils élaient premiers entre eux, x- -i-- i serait un carré, ce qui est évidemment impossible. Ce diviseur commun est a-, cela résulte de l'idenlilé .r* -f- 1 — ( x -+- I ) ( a- — I ) H- 2 . Il s'ensuit que cliacun des deux nombres [x -r- i), (.r- -1- i) est le double d'un carré, de sorte qu'on a des égalités de la forme (2) X -r l ^=~- 2//2% L'élimination de x entre ces deux égalités conduit à l'égalité suivante : (4) m* -f- (w^— i;.^ — rt% (jui montre que ji est un nombre impair, premier avec m et avec ni^ — i . Cela posé, je distingue deux cas, suivant que m est impair ou pair. 1° m impair. — L'équation (4) revient à (5) [n -;- [m'' — i)J[« — [ffi- — i)] -- «'• Les nombres impairs n -h [nr — 1), ji — (m* — i) sont premiers entre eux, puisque leur somme iJi et leur différence 2 [m^ — i) n'ont pas d'autre diviseur commun que 25 donc chacun de ces deux nombres est égal à un bicarré. Soient (6) n -i- {m- — i) ~~ p\ n — [ni^ — i)-=q*i d'où p*q'' z- m\ p^Cj"^ : /72'. Des deux équations (6) on lire />* — q^ ----- i[in^ — I : , ( 23 'i ou, à cause de jr q- = nr, // — y« — 2(/>'9'— i), q y' = - Z'' ^- V On voit par cette dernière équation que /j>* -p- i est le double d'un carré, ce qui exige que p^ == i (*). De là, ?- -h i)% et, par suite, -^ =/^% équation qui donne p- =Z l , ou jL» = o { * ) . Pour /?- == I , <7- — — 2-1-^/9=1, w' = 4i ^ ^^= 7 f jr =^ -- 2o» et pour p- zz= Oj q^ =: i , m- — - G, ^ r= — I , J r= O. Ainsi, lorsque m est pair, les solutions de l'équa- tion I -;- X H- x^ -!- x^ --- y^ sont, en nombres entiers, •'^ — 7 > j -- ± 20 et X = — I , j = o ; celte dernière solution a déjà été mentionnée. De tout ce qui précède, nous coïicluons que l'équation (*) Lecendue, Théorie des nombres, t. II, p. 7, édition do i83o : Aucun nombre triangulaire ^x (* -t- i), excepté l'unité, n'est égal à un bicarré. ; 234 ) ' indéterminée i -h x -t- x^ -h X" ■=^j'^ admet les solu- tions ^ = — T,J--o; J7 — o, 7 = zci; a:r=i,j=:±2; et qu'elle ne peut être vérifiée par d'autres valeurs en- tières des inconnues x et 7. (G.) Question 1220 (voir 2" série, t. XVI, p. 48) ; Par m. a. LAISANT. 1220. On a un certain nombre de cercles dans V es- pace : des mohdes les parcourent ai^ec des vitesses an- gulaires égales^ leur centre de gravité décrit une ellipse gui a pour centre le centre de gravité des centres des cercles donnés. ' (Geuty.) Soient (ù la vitesse angulaire coraniune*, Cl, C2, . . . , C„ les centres des cercles donnés 5 Aj, A2, . . . , A„ les positions des mobiles à l'origine des temps ; H leur centre de gravité ; Bj, B2, • . . V B„ les positions des mêmes mobiles au bout du temps — •, ^ 2 w K leur centre de gravité 5 X,, X2, .... X„ les positions des mobiles au bout du temps Z; Z leur centre de gravité. On a C|XrA-C|Ai ces w? ^ C,B| sinw^, C2X2 ijr'C.Aî cosw? -4- C2B2sinw^, C„X„ ■:^C„A„coswr h- C„B„sinwf, ( 235 ) Ajoutant et divisant par «, GZ '^" G H cos w/ -:- GK sin w^, équipollence (l'une ellipse du centre G, ce qui démontre le théorème énoncé. Ce théorème subsisterait évidemment si, au lieu de cercles, les mobiles parcouraient des ellipses avec des vitesses aréolaires constantes, en décrivant dans le même temps le circuit complet de chaque courbe. Note. — La même proposition a été démontrée par I\IM. H.-J. Krantz, capitaine d'artillerie néerlandaise, à Bréda; Moret-BIanc; Rriinot, élève en spéciales au lycée de Dijon; Joseph Bardelli, à Milan; P. "VVorms de Romilly, à Limoges; Conette, à Tours; Barbarin, élève à l'École Nor- male supérieure. Question ■\'±^\ (voir même tome, p. iii)i Par m. V. JAMEÏ, Professeur au lycée de Saint-Brieuc. Théorème. — Étant donnés un tétraèdre quel- conque ABCD et un point O, on peut faire passer par ce point trois droites qui rencontrent respecti^fernent les arêtes AD , BC , en des points a , a' ; BD, CA, b, b'; CD, AB, c, c'. Si ion construit sur ces arêtes les points conjugués harmoniques «, a' , G, 6', 7 ' 7' ' les six points /», c, b', c', a, a', seront dans un même ( .36 ) plan, et il en sera de même des six points c, a, c', «', ,3, {j\ et de rt, h, a' , //, 7, y'. (H. Schroter.) En effet, si l'on considère le plan P, conjugué har- monique du plan hh' aa\ par rapport aux deux plans ôZ»'DA, &Z>'CB, on voit qu'il coupe les arêtes AB et CD en a et a'. Donc, les quatre points Z», Z»', a, a' soiU dans un même plan P. De môme, les quatre points c, c', a, a' sont dans un même plan P'. Mais les plans P, P' avant trois points communs a, a', O coïncident : donc les six points Z», c, h\ c', a, a' sont dans un même plan (*). ISiote. — Autres solutions de MM. J. Pisani et Berthomieu. Question 1223 (voir même tome, p. ili); Par m. V. J A M E T , Pi'ofesseur au lycée de Saint-Brieuc. Etant données deux hyperboles équilaières, trois de leurs points d'intersection et les deux points symé- triques du quatrième, par rapport aux centres des deux hyperboles, sont situés sur un même cercle. (Pellet.) En général, une conique à centre et une hyperbole équilatère, dont les asymptotes sont parallèles aux axes de la conique, se coupent en quatre points tels, que par trois d'entre eux et le point diamétralement opposé au quatrième on peut faire passer un cercle. En effet, soient une conique à centre rapportée à ses axes, (i) kx^ -f- A' j' -- I, (*) Il est clair que celte démonstration s'applique à chacun des deux autres systèmes c, a, c', a', /3, ,3' et a, b, a', l>', y, •/'. ( ^37 ) et une hyperbole équilatère ( 2 ) ^J ~- ffix -'■- ny H- p --:= o. L'équation qui représente un couple de sécantes com- munes est de la forme A x^ -^ A! y- -T- "k [.Tj -i- mx -f- ny -- p \ — i = o . Soient m et m' les coefficients angulaires de ces cordes, on a mm zzz — - • A' D'ailleurs, si l'on désigne par m" le coefficient angu- laire de la corde de la conique (i) qui passe par une des extrémités de celle des deux sécantes dont le coeffi- cient angulaire est m, et par le point diamétralement opposé à l'autre extrémité, on a A mm. = — —,•> A' d'où m' =z — m" \ donc les cordes dont les coefficients angulaires sont 7rû et m" sont également inclinées sur les axes de la co- nique (i), et par conséquent leurs extrémités appar- tiennent à une même circonférence. Cela posé, soient une hyperbole équilatère rapportée à ses axes (3) x- — y'=La\ et une seconde hyperbole équilatère (4) -2^' — j' -i- aBjcj -f- 2/x -+- 2/'j -r- D = o; Par les quatre points d'intersection de ces deux courbes on peut faire passer une hyperbole équilatère dont l'équation est (5) a'Bxj -f- 2/.r -i- 2/'j -r D H- a' = o. ( 238 ) et, d'après ce qui précède, trois des points d'inter- section des coniques (3) et (5), et le symétrique du quatrième par rapport à l'origine, sont sur un même cercle. La conclusion eût été la même si l'on avait pris pour axes des coordonnées les axes de la conique (4). Or le cercle passant par trois des points d'intersection des coniques (2) et (4) et le symétrique du quatrième par rapport au centre de la conique (4) ne diiïère pas du premier, puisque ces deux cercles ont trois points com- muns. La proposition est donc démontrée. SOLUTION géométrique; Par m. h. DESSOUDEIX, Élève en Mathématiques spéciales au lycée de Bordeaux. Soient A, B, C trois des points d'intersection, le qua- trième sera le point de concours M des hauteurs du triangle ABC; car on sait qu'une liyperbole équilatère circonscrite à un triangle passe par le point de ren- contre de ses hauteurs. Je considère le cercle circonscrit au triangle xABC, et je dis que les symétriques de M par rapport aux centres des deux hyperboles se trouvent sur ce cercle. En effet, on sait que le lieu des centres des hy- perboles équilatères circonscrites à un triangle est le cercle des neuf points du triangle. Il faut donc dé- montrer que, si l'on joint le point M à un point quel- conque R. du cercle des neuf points, et que l'on prenne le symétrique R.' de M, ce point R' se trouve sur le cercle circonscrit au triangle ABC. Pour cela, je con- sidère le point de concours O des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés : ce point est le centre du cercle ABC-, en outre, le milieu I de OM est le ( ^^9 ) centre du cercle des neuf points qui passe par le point P, pied de la hauteur AiNI du triangle. Le symétrique M'deM par rapport à BC appartient au cercle ABC, et l'on a MI INIP _^ donc le point M. est le centre de similitude des deux cercles, le rapport de similitude étant -(*). Il s'ensuit que les symétriques du point M, par rapport au cercle des neuf points, se trouvent sur le cercle ABC. Note. — La même question a été résolue par MM. Lez; Barthe, Ber- thomieu, Cauboue, élèves au lycée de Bordeaux; Cambier; L. B., à Ven- dôme; Louis Thuillier, du lycée d'Aniiensj J. Pisani. QIESTIOAS. 1229. Si les trois racines de l'équation x^ — 3 qx -f- /• = O sont réelles, chacune d'elles est moindre que 2y/ç; mais, si une seule de ces racines est réelle, sa valeur surpasse 2y/^, (R.-W. Genèse.) 1230. Soient O un point fixe dans le plan du cercle PQR, et OPQ une sécante sur laquelle on prend un point S de manière que OS =:^ XOP-hyOQ (À et ^ étant des constantes) •. démontrer que l'enveloppe d'une (*) C'est une proposition connue qui résulte immédiatement de ce que le cercle des neuf points passe aux milieux des droites MA, MB, MC. On sait aussi que les cercles circonscrits aux triangles MAB, MAC, MBC ABC sont égaux entre eux; donc, comme le remarque M. Cambier : Quand deux /ij'perboles éi/uclacères se coupent en quatre points, les quatre cercles circonscrits aux triangles formés par ces points pris trois à trois ont des rujons égaux. (G.) ( 2^0 j perpendiculaire à PQ, menée par le point S, est une conique. (R.-W. Genèse.) 4231. D'un point M on mène trois normales à mie conique*, soit P le point de rencontre des hauteurs du triangle formé par les trois pieds de ces normales, et O le centre de la conique : démontrer que la droite OP et la quatrième normale que l'on peut mener du point M à la courbe sont également inclinées sur les axes. Si la conique est une hyperbole équilatère, la droite OP passe par le pied de la quatrième normale. (Laguertie.) 1232. En un point M d'uiie conique, on construit la parabole osculatrice et l'on prend le symétrique P du foyer de cette parabole par rapport à la tangente en M : démontrer que les points P et M sont réciproques par rapport au cercle, lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique. (Laguerre.) 1233. Etant donnée une ellipse, soient a et b deux points quelconques réciproques par rapport au cercle, lieu des sommets des angles droits circonscrits à la co- nique 5 on prend le point (3 symétrique du point h par rapport à la polaire de a : démontrer que les points b et (3 ainsi que les deux fovers de l'ellipse sont situés sur un même cercle que ces points divisent harmonique- ment. (L agi) erre.} 1234. Intégrer l'équation dillerentielle d-y -y. 1 dy\- f [x] désignant un polynôme du troisième degré. (Laguerre.) Mi N01VE41X THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE PROJECTIYE (*) ; Par m. Auguste RIGHI, Professeur de Physique à l'Institiit technique royal de Bolofjnc. 1 . Théorème. — Si deux systèmes de points se corres- pondent un à un dans l' espace sous les conditions sui- vantes : 1° Quil existe une droite dont tous les points soient leurs propres correspondants j 2° Que tout plan passant par cette droite contienne les points correspondants des siens ou, ce qui est la même chose, tout plan passant par cette droite ait soi- même pour correspondant ; 3° Qu'aucun plan f l'ait tous ses points pour propres correspondants ; Il existe certainement une seconde droite qui n'est pas dans un même plan avec la première, jouissant des mêmes propriétés [**) . Soient X la première droite, un point a et son corres- poi)dant «'-, «, rt' et X sont, par liypolhèse, dans un inùme plan. Dans ce plan, chaque point de X a soi- même pour correspondant 5 en vertu d'un théorème connu, les droites qui joignent tout couple de points correspondants a, a! doivent se rencontrer dans un (*) Extrait d"iin appendice à un Mémoire Sur la vision stércoscopiqiie {Nuovo Citnento, 2*^ série, t. XIV). (**) Ce théorème est analogue à deux autres liien connus, où les jioinls qui sont leurs propres correspondants sont distribués sur un plan, et deux points correspondants quelconqties se trouvent sur les rayons d'un t°ai«ceau. {f^'oir le Cours dr Statique graphique prolcssi- il Milan en iSGS-CgparM. Creniona, p. 268.) Auu. de Matltt'-miit., •"-" série, t. KVI. (Juin 1S77.) 16 ( 242 ) même point A, qui sera son propre correspondant. Par X menons deux autres plans, et soient B, C les points de ces plans analogues à A. Je dis que les points A, B, C sont en ligne droite. En efl'et, s'ils n'y étaient pas, ils détermineraient un plan qui couperait X en un point D. Et, comme dans ce plan il y aurait quatre points A, B, C, D, chacun desquels serait son propre correspondant, et dont il n'y aurait pas trois en ligne droite, par un théorème connu, tout point de ce plan devrait être son propre correspondant, ce qui est con- traire à la troisième hypothèse. Il faut donc que A, B, C soient sur une même droite Y. Cette droite Y jouit des mêmes propriétés que X. En effet, tout point de Y est son propre correspondant (car cela se vérifie déjà pour trois de ses points A, B, C), et tout plan passant par Y est son propre correspondant, c'est-à-dire qu'il contient tous les points correspondants des siens-, car à tout plan P passant par Y doit corrrespondre un plan passant par Y et par le point où P coupe X, c'est-à-dire le plan P lui-même. Notre raisonnement prouve d'ailleurs qu'il n'existe pas, en dehors des droites X et Y, d'autres points qui soient leurs propres correspondants 5 ni, en dehors des plans menés par X et par Y, d'autres plans qui contien- nent les points correspondants des leurs. 2. Si a est un point de l'un des systèmes, son corres- pondant a', devant se trouver à la fois dans le plan X« et dans le plan Ya, sera sur l'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire sur la droite menée par a qui s'appuie sur X et Y. 3. Soit Nie point où un plan mené par Y coupe X. A chaque point a de ce plan correspondra un point a ( 243 ) siiué sur la droite oîN 5 de telle sorte (jue le^ figures for- mées par les points a et par les points a' seront deux figures planes liomologiques, ayant N pour centre et Y pour axe d'iiomologie, et (jue le rapport anliarmonique N/i Nt/' 11 . I /1VT»* i\ — - :-rr-: ou, a après la notation en usage, (iSmaa i.sera M a Ma ' r o ^ \ / ■> égal à une constante A. Par X, menons un plan quel- conque : il coupera le premier plan YIN suivant une droite ÎNT, T étant situé sur Y. Dans ce nouveau plan, on aura également deux figures liomologiques ayant T pour centre et X pour axe d'homologie, et, si l'on dé- signe par h et b' deux points homologues de ce plan, le rapport (TV bh')^ V étant le point où bb' coupe X, sera aussi constant. Soient d'ailleurs c et c' deux points cor- respondants pris sur TN ; on aura, puisqu'ils font partie des deux plans, (TNcc')z=(TVé^»') et (TNcc' ) = (MN««') ; donc (TVèè') = (MNrtfl') ou (VT6^' i = (NMrt«')z=A. Le rapport û est donc le même pour tout couple de points correspondants 5 par conséquent, pour trouver le point correspondant cl d'un point donné a, il suffit de mener par a la droite qui s'appuie sur X et sur Y et de construire le point a' tel que (NMaa') = A. Je propose d'appeler ce mode particulier de correspondance Jionio- logie à deux axes; X et Y seront les axes dlioniologie et A le rapport caractéristique. L'homologie ordinaire prendrait alors le nom àlioinologic centrale. \. Si nous regardons le point b comme appartenant au plan YV, les figures planes dont b et b' font partie seront homologiques, avec V pour' (entre et Y pour axe : ( 244 ) on aura de pins {yTbb') = {miaa') =A. Cette remarque va nous conduire à une conception nou- velle de rhomologie à deux axes. Que l'on construise, en effet, dans le plan YN, les figures homologiques ayant N pour centre, Y pour axe, et A pour rapport constant; que l'on mène par N une droite X, puis que, sur chaque plan passant par Y, comme YV, on trace les figures homologiques ayant Y pour axe, pour centre le point de rencontre V du plan avec X, et pour rapport A : on obtiendra ainsi deux sys- tèmes de points correspondants constituant l'homologie à deux axes. 5. Sur chaque plan passant par Y, on a donc deux figures homologiques. Aux points infiniment éloignés de l'une correspondent les points d'une droite limite^ parallèle à Y. Toutes ces droites forment deux plans /im//e5 parallèles à Y; chacun de ces plans est, dans l'un des systèmes, le lieu des points qui correspondent aux points infiniment éloignés de l'autre. Et, comme ce qui a lieu pour Y doit avoir aussi lieu pour X, les plans li- mites sont simultanément parallèles à X et à Y. 6. Lorsque deux systèmes de points forment une ho- mologie à deux axes : A toute droite qui coupe l'un des axes correspond une droite coupant cet axe au même point; A toute droite qui rencontre les deux axes correspond la droite elle-même; A toute droite parallèle à l'un des axes correspond une droite parallèle à cet axe ; A un plan quelconque correspond un plan coupant les axes aux mêmes points; ( 245 ) / A un plan parallèle à un axe (ou aux deux axes) cor- respond un plan parallèle au même axe (ou aux deux axes). Les droites qui joignent les points d'une droite d'un des systèmes aux points correspondants de l'autre sont les génératrices d'un hypeiboloïde à une nappe dont la droite donnée, sa correspondante et les deux axes appar- tiennent à l'autre système de génératrices de l'iiyperbo- ioïde-, donc, à un liyperboloïde passant par les deux axes correspond riiyperboloïde lui-même -, et tandis que, dans l'homologie ordinaire, une droite est projetée par un plan, elle l'est ici par un liypcrboloïde. Seulement, lorsque l'une des droites correspondantes, et par consé- quent l'autre aussi, coupent l'un des axes, l'hyperboloïde devient un plan. Les figures planes correspondantes quelconques ne sont pas la perspective l'une de l'autre; il ne faut pas les confondre non plus avec les figures obtenues par la pro- jection gauche (*), avec lesquelles elles ont toutefois quelque analogie. 7. Si A=: — 1 , 1 homologieàdeux axes pourra s'appeler liarnionique. Les deuxplans limites doïncideront alors en un plan unique, qui sera situé à égale distance de chacun des axes. Les éléments des deux systèmes auront une double correspondance, c'est-à-dire que, si à un point a du premier correspond un point a! du second, au point a' considéré comme appartenant au premier correspondra A dans le second. Les points correspondants, qui seront sur une droite quelconque coupant les deux axes, for- meront ici une involution du second ordre. Les objets réels et les objets qu'on voit lorsqu'on re- (* ) JSoinicIïci Annules de iHut/icniutii/urs, 2* série, t. IV, p. 385; i865. ( 246 ) garde dans un pseudoscope de Wheatstone consli tuent deux systèmes liomologi(|ues harmoniques à deux axes, cl les axes sont à angle droit. C'est en établissant la théorie de cet instrument que j'ai été conduit aux théo- rèmes qui forment l'objet de celte Note. 8. Si l'un des axes, X par exemple, est infiniment éloigné, comme une droite à l'infini détermine l'orien- tation d'un système de plans parallèles, les droites sur lesquelles se trouvent les couples des points correspon- dants seront parallèles à un même plan, dont X sera la droite de l'infini, et qu'on pourra appeler plan direc- teur. Dans ce cas, les droites sont projetées par des pa- raboloïdes, et les plans limites coïncident avec le plan de Cinfiui- et comme (NM«a') devient ici (co IM^a'), on aura A=: — : c'est-à-dire crue les distances de l'axe Y «M' * à deux points correspondants, comptées sur la droite aa', seront dans un rapport constant. Le cas actuel est donc analogue, soit à l'homolhétie, soit à la similitude homo- logique; car tout plan passant par Y coupe les deux sys- tèmes suivant deux systèmes plans homologiquement semblables, et tout plan parallèle au plan directeur, suivant deux figures homothéticjues ayant leur centre sur Y. Si A = — I, on a a'M = Ma, et les deux sys- tèmes sont symétriques par rapport à Y; symétrie oblique ou orthogonale, suivant l'angle que fait Y avec le plan directeur. On doit remarquer que la similitude horaologique par rapport à un plan ou à un point, la symétrie par rapport à un plan ou à un point, sont des cas pirliculiers de l'ho- mologie ordinaire; mais on ne peut pas en déduire la symétrie de deux systèmes solides par rapport à un axe. L'homologie à doux axrs comble cette lacune. ( 247 ) 9. L'homologie à deux axes peut aussi être envisagée d'une autre manière. Que l'on prenne, sur une droite Y, deux points quelconques L et M, et que l'on forme le sys- tème 2, horaologique à un système donné 2i, en prenant L pour centre d'homologie centrale, le plan XM pour plan d'homologie (X étant une autre dioite donnée), et un rapport anharmonique constant A : soit «^ le point de 2, correspondant à un pointai de S^ 5 puis que l'on construise le système S3 homologiqueà S2,en prenant M pour centre, XL pour plan d'homologie et toujours A pour rapport caractéristique : soit a^ le point de S3 qui correspond à «21 j"^ flis que les systèmes Si et Sj forment une homoiogie à deux axes, ayant pour axes X et Y, et pour rapport anharmonique A. Soient, en effet, LJN, MN les intersections des plans XL et XM avec le plan Y«i, R le point où l^a^a^ coupe MN, S celui où Ma^a^ coupe LN 5 on aura [LB. a^ a^) = [MS a^a^) = A. Les deux faisceaux M(LRrtia2), c'est-à-dire formé des droites ML, MR, Mfl,,]Ma2, etL{MSrt2 «3) seront donc projectifs-, et comme ML est un rayon qui coïncide avec son correspondant, les autres couples de rayons cor- respondants se couperont sur une même ligne droite. Les points N, aj, ^3 sont donc en ligne droite, ou, ce qui est la même chose, le point a^ est sur la droite qui passe par aj et s'appuie sur X et Y. Soit T le point où cette droite rencontre Y. En outre, les points T,N, rti,«3 peuvent être considérés comme les projections des points M, S, a^^ aj, faites de L sur NT 5 donc (TNaifl3)=:A. Ainsi les systèmes Si et Ss forment une homoiogie à deux axes ayant pour rapport A. Pour ibrmer ce rapport A = (TN ciia^)^ on doit commencer par le point T qui appartient à celle des deux droites X et Y sur laquelle on a choisi les deux points M et N. Si l'on avait pris pour M le point à l'infini sur Y, on 1 248 ) aurait obtenu -— ^ =■ A. Si A= — i et si M e.st à l'iu- fini, on passe de 2, à S3 à Taide de deux transforma- tions, l'une homologique, l'autre symétrique. 10. Du tliéorème qui précède, ou déduit aisément le suivant : Prenons quatre points î\îi, M^, M3, M^, qui ne soient pas dans un même plan ; soit a^ un point d'un sys- tème donné Sj. Construisons le svstètne 2^, homologique à Si, avec Mj pour centre d'homologie, ^1,^13^14 pour plan d'homologie et A pour rapport caractéristique 5 soit a, lepoint de E, qui correspond à aj . Formons de même le système Ss homologique à S,, en prenant Mg pour centre, M3M4M1 pour plan d'homologie et A pour rapport; soit «3 le point de Sj qui correspond à a,- En vertu du théorème précédent, les points «3 et a^ seront sur une même droite NT qui rencontrera les droites M3IM4 et Mj Mg en N et T, et (TN«i «3) sera égal à A. Formons de même le système S4 homologique à Ej, en prenant M3 pour centre, M4 Mi M, pour plan et A pour rapport d'homologie 5 soit «4 le point de S4 qui corres- pond à «3. Formons enfin le système Zg homologique à ^4, avec M4 pour centre, MjMgMg pour plan d'homo- logie, et toujours A pour rapport caractéristique; je dis que Sg n'est que le système primitif Si. En effet, soit, pour un moment, a^ le point de E5 qui correspond h a^. Les point? a^ eta^, en vertu du théorème précédent, doi- vent se trouver sur une même droite qui rencontre M3 M4 et M) M, ; rtj sera donc sur ]NT. On doit aussi avoir (]\Ta3 «3) = A: mais (TNaj «3) = (NTagai) = A; donc «3 coïncide avec «i et E3 avec Ej. On peut énoncer ce théorème de la manière suivante : Etant donné un système quelconque, si l'on construit successivement les systèmes homologiques, aucc les sommets d'un te- ( 249 ) traètlre, /fris dans un ordre que/conque^ pour centres d'homologie, les plans des faces opposées pour plans d'honwlogie, et un rapport anharnionique caractéris- tique constant, on retombe sur le système primitif. Si un, deux, ou trois des points M,, Ma, M3, Mv sont infiniment éloignés, on obtient trois théorèmes faciles à énoncer. Si M-, et «j sont dans le plan Mj Mj M3, on ar- rive à un théorème relatif au triangle dans le plan, ana- logue au théorème que je viens de démontrer pour le tétraèdre dans l'espace. Tous les théorèmes qui précèdent peuvent s'établir par l'Analyse. Mais je renvoie pour cela le lecteur au Mémoire original. THÉORIE DES INDICES-, Par m. FAURE, Chef d'escadrons d'Artillerie. [suite (*).] Surfaces homofocales . 114. Théorème. — Lorsque deux plans E, E' sont conjugués par rapport à deux homofocales ^ ils sont rectangulaires et conjugués à toutes les homofocales du système. Désignant par p le paramètre de l'homofocale de la surface S, qui est conjuguée aux deux plans E, E', on a (0-4) cosfE, E'i Iee' = p \ • (*) Noiiveljes Annales, 2* série. 1. XV, |i. '^ôi . >9->, 339, ^l^'i •'l'^'> 5-".)' l'I l. XVI, p. 5, 160, ig'.i. ( 200 ) SI ces deux plans sont conjugués à la surface S, Iee'= "i il faut donc aussi que cosEE'= o. Les deux plans sont donc rectangulaires, et cela quelle que soit la valeur du j^aramètre p. 115. Deux surfaces homofocales se coupent à angle droit. Soit m un point commun aux homofocales p et p' de la surface S, menons les plans tangents en ce point aux deux surfaces. Ces plans sont conjugués par rapport aux deux homofocales, puisque chacun d'eux passe par le point de contact de l'autre. Ils sont donc rectangu- laires (114). 116 > Lorsque deux homofocales touchent une même droite, les plans tangents menés par cette droite aux deux surfaces sont rectangulaires . Soient ///, m' les points de contact des homofocales p, p' avec la droite a-, menons par cette droite les plans tangents aux deux surfaces. Ces plans sont conjugués par rapport aux deux homofocales, puisque chacun d'eux passe par le point de contact de l'autre. Ils sont donc rectangulaires. 117. Le lieu du pôle d\in plan fixe M par rapport à un système de surfaces homofocales est une droite per- pendiculaire au plan. Soit m le pôle du plan M par rapport'à la surface S; menons riiomofocale p qui touche le plan M, et soit/? le point de contact. Joignons pm, et par cette droite ima- ginons un plan quelconque N. Les plans M et N sont conjugués aux surfaces S et p, ils sont donc rectangu- laires*, et, puis(jue le plan N est quelconque, il laut cjue pm soit perpendiculaire au plan ]\î. ( -^51 ) 118. Trouver la distnncp rVun plan tangent, à une surface au pôle de ce plan par rapport à une honiofo- cale de cette surface. Soient D un plan qui touche l'homofocale p de la sur- face S et ^ le pôle de ce plan par rapport à S. Par défî- T o,Vi{d,{i] . j Pi nUion,ly= Mais on a avissi \^=^ —-^ il en ésulte y.D)= o, D] Remarque. — Si le plan D touchait la surface S et que d fût sou pôle par rapport à l'homofocale p, on aurait ? y,D) = - o, d; 119. D'après le n" o4, les indices pris par rapport à la surface S s'expriment à l'aide des paramètres des homo- focales de cette surface, d'où il suit que tout théorème l'elatif aux indices en donne immédiatement un autre relatif aux paramètres des homofocales. Psous ne cite- rons que les plus simples, déduits des théorèmes énoncés au n° 83. D'après y'^ : Si par une droite v on mène deux plans conjugués à la surface S, le produit des paramètres des homofocales qui touchent les plans est égal au carré du sinus de V angle de ces plans multiplié par le pro- duit des paramètres des deux homofocales qui louchent la droite y. D après 9" : Lorsqu un angle trièdre est conjugué à la surface 6\ le produit des paramètres des homofo- cales qui touchent ses faces, pris en signe contraire , est égal au produit des paramètres des trois hom.ofo- cales qui passent par son sonnnet, midtiplié par le carré ( 252 ) (lu sinus de l'angle solide formé par des normales à ses jaces. D'après i4° -.Lorsqu'un tétraèdre est conjugué à la surface S, le produit des paramètres des homofocales qui touchent ses faces^ pris en signe contraire, est égal au produit des carrés des demi-axes de la surface S, multiplié par la sixième puissance du sextuple de son 'volume, divisé par quatre fois le produit des carrés des aires de ses faces. D'après 25° : Lorsqu un tétraèdre est conjugué à la surface S, la somme des iîiverses des paramètres des homofocales qui touchent ses faces, prise en signe con- traire, est égale à la somme des carrés des inverses des dend-axes de la surface S'. D'après 3o° : Un tétraèdre étant conjugué à la sur- face S, si Ton désigne par p^, jOg, pci Pa ^^^ paramètres des homofocales qui touchent ses faces A, B, C, D, et par e un point quelconque., la somme [e, AY , [e,BY . (e, C? , [e,DY f'A pB Pc pD pj'ise en signe contraire^ est égale au produit des para- mètres des trois homofocales qui passent au point e, divisé par tt'. D'après 34'' • Un trièdre <^(A, B, C) étant conjugué à la surface S, si par son sommet d on mène une droite arbitraire e. et si l'on désigne par p^, |0g, p^^ les para- mètres des homofocales qui touchent ses faces , la somme sin-sA sin^îB sin-eC \ 1 pA Pb pr. est égale et de signe contraire au produit des para- mètres des deux homofocales qui touchent la droite e. t/nisf^ f)rii /f proftinf îles jtnrtuiictici des trois hoinojo- ralcs qui passr-nl par h; soinmrl d . De CM ihéorèrne ou du prcccdcul ou pcuu.ojicluit; rjuc, SI If point, ri est le sommet (Vun câriff circonscrit à Li surjace S^ et r/(AliC) un trièdre conjugué à cette sur- face, Véquation (le ce cône sera, c étant un quelconque fie ses points^ pA pu Pc D'après 3^" : Si par le sommet d'un irièdre d{)ji.v)j conjuf>uê à la surface S, on mime un plan (pu-lconqur V. et qiu; l'on désigne par ç^ le paramètre de riiomo- focale qui touche ce plan , •in'XE sin'wE sin'vK pKt pm Pc étant I/is paramètres da homofocales qui touchent les plans /iiv, vX, /a ou A, H, C. Lorsque le y\zn E louche la surface S, c^ = o. D'après 36" : //// dièdre Ali étant conjugmi à la sur- face S, î/ par son arête on mène un plan M, on a Niri' AB c,^ ^= tin'EB f/^^ -+- sin'EA pu- D'après 37' : Un angle '/(j. étant conjugué à la sur- face S, si l on mène pnr son sommet et dans son plan In droite r,'/i drsignanl par /î^, ^,, ^^ /c.f produits des paramètres des couples d ' liomojocales qui touchent h s droites e, À, //. 'riiéoBRMR. — Lorsqu'une droite touche deux homo- focales dr la surface S. son indiie par rappoit à S r Eq élaiil le demi-diamètre de la surface S, parallèle à rélément de la ligne de courbure au point a. 125. D'après le n° o2 on a ce théorème : Etant données deux homofocales S et p, si l'on mène un plan tangent à p et que Von désigne par E le produit des demi-axes de la section faite dans S, par Eq l<' produit des demi-axes de la section diamétrale pa- rallèle à la section, le rapport — est constant et égal En particulier, on voit ({ue, si par le centre de S on mène des plans tangents au cône asymptote de l'homo- focale (0, ces plans déterminent dans S des coniques (jui ont le produit de leurs axes constant. 126. D'après le cor(dIaire du n" 81, lorstruc lr< is plans A, B, Csont rectangulaires, of— S; Iv-i-I,H-I(:= H-' ^/ étant le point d'intcisection de ces trois plans, S^ la somme des cai-rés des demi-axes de S. Or, si ces plans y4nu. de Maihéinat., •.•*= sci io, t. XVI. Juin rS';^.) 1^ ( 258 ) louchent respectivement les homofocales p^i Pbî Pc. '^" aura 1a — — ' Ah — — , ' h: — —•' n- ~- 7t- de sorte que ?x -i- f'B + Pc, = 0(1- — S] , ce qui montre que le lieu clu sommet d'un trièdre tri- rectangle , dont les faces louchent trois homofocah's Pu, Pu-, Pc fl<^ s, est une sphère dont le rayon od est donné par la relation od- ==: û^ -j- pi; -\- p,; -i- SI A suivre. ' FACULTÉ DE PARIS. QUESTION DE LICENCE (1872; SOLUTION DE M, BOURGUET. Étant donnés un cône circulaire droit dont V axe est vertical, et dirigé de haut en bas, et une poulie homo- gène de niasse et de rayon connus, située dans un plan méridien du cône et tournant autour d^un axe perpen- diculaire à ce plan, un Jil flexible et inextensible est enroulé sur la poulie ^ un des bras du jil passe dans une ouverture infiniment petite , pratiquée au sommet du cône, et à son extrémité est attaché un point pesant de masse m assujetti à glisser sans frottement sur la sui- face du cône ,• Vautre brin descend librement suivant la 'Verticale et porte à son extrémité un point pesant de masse ni'. Trouver le mouvement de ce système, en ( 2^9 ) supposant que lu vitesse itiiliale du point tu soit liorlzon- taîe, et celle du point vi! nulle. On néglige le poids du fil. Je représente par ni la masse du corps qui glisse le long du cône ; / sa distance au sommet \ X la quantité dont il est descendu, à un moment quel- conque ; // sa vitesse horizontale -, /// la masse de l'autre corps ; tJ. la masse de la poulie. Je suppose le centre de gravité de la poulie sur son axe. Le principe des forces vives appliqué au système donne \ [ m -\- m H- - 1 -T— -+- m u- dx- 'd?- \ = T-gx [ m cos a — m' ■ , et le principe des aires, appliqué au point nu donne ( 2 ) [ / -4- jr j « = /«„ . L'équation fi) devient, par substitution, , , y-\ ^'-^^ m ~ 2,/ dr- X , , ;; 1 ^.•^T '" t^<^s a — m j i l -i- .r ■ i- />! ?. / -h X i" m cos a — ni'^ o. .r prend des valeurs positives de plus en plus grandes, le mobile m s'éloigne; indéfiniment du sommet du cône. a" in cos a — ni' <^ o. 2gl^ [nicosv. — ni' j -{- ilniul ^ o. Le trinôme dn second degré a une racine positive Jq et une racine né- gative. X vqrie de 7,éro ;i .î„ : l<' mnnvcment «'sl oscilla- loi rc, dans le seii'^ vertical. ( afin ) 3° igl'~ [ni cosa — til) -\- 'i.linu\ = o. j: = o, le mobile m décrit un parallèle. 4° "i-gl^ [Tiicosx — m' j H- ilmul <^ o. Le trinôme devient successivement négatif, positif, négatif, pour x égal à zéro, — /, — 0.I -^ il admet donc une racine négative, — -^o^ — ^ '•> x varie entre zéro et — Xfi'.Xe mouvement est oscillatoire. Dans aucun cas ?7i ne peut remonter jusqu'au sommet du cône. Il est curieux de remarquer que la masse /n, quelque petite qu'elle soit, et quelle que soit sa vitesse initiale, pourra faire remonter le mobile m' quelque grand qu'il soit : c'est comme pour le levier. Pour une valeur quelconque de x, t s'obtient par une quadrature. L'équation de la courbe sur la surface du cône, se ramène aussi à une quadrature. QUESTIONS PROPOSEES PAU M. BOIRGIET ( voir ^' série, t. XV, p. 281 ); SOLUTIONS DE M. LEZ. Représentant par ni et n les deux demi-cordes nor- males et perpendiculaires d\ine conique; /j>^, q'^ les pro- duits des rayons vecteurs des pieds de ces normales ; /•, s les normales arrêtées à l axe focal; /', s' les nor- males arrêtées à l'autre axe; t, u les rayons de coiu- bure, démontrer les relations suivantes : I I I I ^ — = 1 ;, «' 0' p- q- \ I / I I I \ I inab p \a- b- p'^j pq'^ 6i _L.^i(l+_L_-!.WJ-, P ,'/ " , ^ i =^7-1 » ni non p'-q''- p a a h q =z '—'- , i- -h - — 7- M- - » mn = tu ; ah tuba r s mr = ns, mr = ns , - =: — , / s s h'^ r s' a- H =iH 5 1 =1+—, n a^ m n h' s' (a ty l^a)- ( BoURGtET.) Au point M (u, v) d'une ellipse b~ x- -h a-j^ =:a^b-, la normale a pour équation j — v = — — [x — |^t) ; elle rencontre la courbe en INl' ayant pour coordonnées [{a' — ii.'){a- — O-'V — a'h*]ij. a^ -+• 6* p,^ — a* f/.^ ,_[pi=(a*— •^2j2_^6j^ Par suite, on trouve que, eu fonction de l'abscisse /jï, la corde normale IMM' égale I 2 m = ■ — !^ —^ • ^ ' a" -i- b* p.' — fi* pt' La tangente au même point M a pour équation ^y -''< = - -^^''-^■'^ elle coupe en deux points P, P' le cercle concentrique x* + ) ' -^ rt^ + ft% lieu du sommet d un angle droit ( 262 ) circonscrit à J'ellipse. Ces points ont pour coordonnées AS' + b*u} * La tangente à l'ellipse, menée par le point P, peut donc être représentée par ^ ^/S'-f- /S'Y" ~ rt^. V"^ fl'v' + /*«;^- ou plutôt par b'^ l>-r = a^^x — Y(i"v- -I- />'*jU.-'; elle touche la courbe au point N, dont l'abscisse y est en fonction de p.. A l'aide de la formule (i), on a NN' = 2 « = — î^ '-~ . Maintenant ou sait que le produit des rayons vecteurs _ , a^ -\- b- a'' — cru.' FM . F'M = fl= — c' p= = "-. = p' ; de même -!- b'^i».'— a^^' Quant aux normales arrêtées à l'axe focal, elles sont FN .F'N =1 a' — c'f- = \ — ^ ^ ' ' = (/' en M, — ( a* + i\v.' — «'f/-') = f\ a- 1 F- en K, /;= -,- — ^ , ( 263 ) les mêmes normales arrêtées à l'autre axe ont pour lon- gueurs - «' -h b- y.- — rt ■ iz- ' ' = / , b /a* -{- h^u.- —a^u.^\ ' \„6 -r- //a-— ^/^v.-' / Knlln les rayons de courbure sont n^ -"- IP ' = — h^ . ( 264 ) QlIESTIOi\S PROPOSÉES Al) COXCOIRS D'ADMISSIBILITÉ A L'ÉCOLE POLYTECHMQIE (1876). SOLUTIOINS DE M. MORET-BLAKC. Première question. — Expliquer la recherche du lieu des milieux des cordes parallèles à la droite qui joint Vorigine au point dont les coordonnées sont X z:^ 2, y = — I, z := i, pow la surface représentée par r équation ( I ) .r^ + o j2 — 3 3^ -j- 2 j:j + 5 .r + z = o. Nota. — L'explication doit être faite sur les données numériques qui ont été indiquées et non avec des relations générales littérales. SOLUTION. Les équations de la droite joignant l'origine an point (x = 7.^ y =^ — I, ^ = i) sont ( a; = 5 2, I j-= — z, ei celles cTune corde parallèle à cette droite sont .r z:= 22 + «1 y-——z^ p, a et (i étant des paramètres variables d'une corde h l'autre. Les équations (i) et (2) déterminent les coordonnées des points d'intersection de la corde et de la surface. En reportant dans l'équation (i) les valeurs de x cl > ( ^-65 ) données par l'équation (u), on obtient l'équation z' — ( 2 a + I I ) 3 + a^ -t- 2 y.p + ?, [i^ -1- 5 a =1 O. I,a coordonnée z du milieu de la corde est la demi- somme des racines de celte équation. On a donc z ■=- a. -\-- 5,5, puis X=: 3a -4- I I , j = !î-a-5,5. Telles sont les coordonnées du milieu de la corde dé- finie par les valeurs a et (3. Si donc on élimine a et ,6 entre ces trois équations, ou simplement a entre les deux premières qui ne contiennent pas jS, on aura la relation qui doit exister entre les coordonnées d'un point pour qu'il soit le milieu d'une corde parallèle à la droite donnée (a), c'est-à-dire l'équation du lieu des milieux de ces cordes, ce qui donne X — Zz -^ 5,5 = o, équation du plan diamétral des cordes parallèles à la direction donnée. Deuxième question. — On demande de trouver les limites entre lesquelles doit, 'varier le coefficient a pour que V équation Zx* — 4'* ' — 1 2.r' + a = o ait ses quatre racines réelles. On sait ( théorème de Rolle) qu'entre deux racines réelles de l'équation proposée est comprise, au moins, une racine réelle de l'équation dérivée i2x' — i2.t- — 24^ = 0, ou / X f .7' — .r — 21 =: 0 . { '266 ) Les racines de celle-ci sont, par ordre de grandeur I, o, 2. Il faut qu'en substituant à x, dans l'équation propo- sée, — «3 1 • — I, o, 2, H- oo , on ait des résultats alter- nativement positifs et négatifs iinbres subs ititués. Résultats, — co -'r- 00 — I a ~5 o H- a 1 a — 3?. -!- 00 4- GO a doit donc être compris entre zéro et 5, les limites étant admissibles. Sia =7 0, l'équation a deux racines nulles; si a = 5, deux racines sont égales à — i . Nota. — Les quatre racines étant réelles, la plus petite est comprisi; entre — 2 et — i, et la plus grande entre a et 3. QlESTiO^ PROPOSÉE Al i^O^COlRS D'ADMISSION A L'ÉCOLE POLYTECIINIQIE (1870). SOLUTION DE M. MORET-BLANC. On considère une hyperbole équilutère Jixe et une infinité de cercles concentriqxies à cette courbe. A cha- cun de ces cercles, on mène des tangentes qui soient en même temps normales à l'hyperbole. On prend le milieu de la distance qui sépare le point de contact du cercle variable du point d'incidence su/' l'hyperbole fixe. On demande le lieu géométrique de ces milieux. { '^67 ) Sil^équaùon se présente sous une forme irralionnellc, on aura à la rendre rationnelle. En second lieu, on exprimera en Jonction du rayon du cercle les coordonnées du point d'incidence , en s^ attachant à spécifier les solutions réelles distinctes. So'ii x^ — - j- z= a'' l'équalion de l'hyperbole équilalère rapportée à ses axes. Les équations de la normale au point (x', > ') et de la pcrpendiculairi' abaissée du centre sur celte normale sont respectivement J-' X -t- x'r = ix' y' , ^■' ■'T — y' y= o; d'où l'on lire pour les coordonnées de leur point d'in- tersection, point de contact de la normale avec la circon- térence tangente concentrique à l'hyperbole, 2.r'_j''- o.x- y' Ji= -71 -T-,- Le rayon du cercle, ou la distance du centre à la nor- male, est "y.x y' En appelant x et y les coordonnées du milieu de la distance du point de contact de la normale avec le cercle à son point d'incidence sur l'hyperbole, on a , o.x y'^ x''-V-'6xy"^ 2 X H-- X -\ ; ,' = ; iz 5 { 268 ) En combinant ces équations par addition et soustrac- tion, on obtient le système équivalent 2 ; .T -\- y .r 2 -h J ' •>, (.r ~ y)z=z —j^ ou, en posant, pour abréger, x' -\~ y' ^= a, x' — y' = (3, .T. — r = 5 ap = a^ On obtiendra l'équalion du lieu demandé en éliminant a et |3 entre ces trois équations. En multipliant membre à membre les deux premières, et ayant égard à la troisième, on a ■^ ~^'~ (a^4- p2,.— ^^.^ ^2^:' d'où x' — y' équation qui peut remplacer la troisième. Les deux pre- mières donnent ensuite rj} =z a- 1 {■^■ -y. 1' {.r — r' 1^ d'où ( ■-^6.9 ) En égalani les deux valeurs de a- -f- j!i% et uiullipliaiit par(a:* — J>'*)" pour chasser les dénominaleurs, il vioni équation du lieu demandé, qu'il faut rendre rationnelle. En élevant les deux membres au cube, il vient (:rî — j»)^|2(^=+j») 4-3(x-^ — j')^[(.r + j;^ + (a: — jf Jl = - 1 et, en lemplacant [-V-\-jy^ -j- [x — ) j ' par sa valeur ( X- — y^ ' [ 2t ! .r- + JK - , 4- 3a ' cr^ — y^ ^ s J _- ^.i^ OU ± ( 2 ) 9. ' X- -h J^ 1 ( J^' — V' ' '= a^ — 3 (7 -r- — y- ' , et, en élevant au carré et transportant tous les termes dans le premier membre, équation du sixième degré, qui, ne contenant que les puissances paires de j: et de y, est réductible au troisième. Mais il faut remarquer que cette équation est plus générale que l'équation ( 2 ). En efl'et, dans la relation a--f- p-= p, (.c* — j^ )'^ est nécessairement positif, el, par suite, il en \_ est de même de [x^ — J")" dans l'équaiion (i), et de [x^ — y^ y dans l'équation (2). Or l'équation (3) com- ' j_ prend égalemeni le cas où [x- — y^Y serait négalif. l 270 ) En résolvant l'équalion (3) par rapport A y', il uv faudra donc prendre que les valeurs pour lesquelles on a rt" — 3 rt ( ./■■' — 7^ ^ ^ G ou n- D'ailleurs l'équation (3) montre que Ton doit avoir On voit immédiatement que la courbe, symétrique par rapport aux axes de l'hyperbole, a deux sommets sur l'axe des x aux points x ^^^ zh -■> qu'elle est comprise entre l'hyperbole et ses asymptotes, dont elle s'approche indéfinimeut, ce qui donne une idée assez nette de sa forme. On peut aussi les construire au moyen de l'équation (y) transformée en coordonnées polaires, qui devient 2 ' ^ y' ces 2 9 -f- 3ar^ ces 2 ô — «' == o . On a vu que le rayon du cercle tangent à la normale au point [x',y') de l'hyperbole est On a d'ailleurs x'- — y'- =:= «-'; d'où Ton tire, en éliminant y'', 4 -c'" — (2 /■'■' -^- 4 *■'' ' -^''^ + <"'" '" :^= o, ,,^_ ^ et ( ^7' ) Les signes inférieurs, donnant une valeur négative pour y'^^ doivent être rejeiés 5 on a donc, en se bornant aux solutions réelles, 4 ■ ou ,/.> ±^ Vr'H- '2rt'H- y/H 4- 4 «S .} ' = ± ^ V'' — ■■'• «' -♦- v'' + 4 "' • On voit que, pour chaque valeur de t\ il existe quatre points d'incidence de la normale, symétriques par rap- port aux deux axes de l'hyperbole. Ce résultat était évident a priori j car, le pied de la normale se déplaçant sur une branche de la courbe de- puis le sommet jusqu'à l'infini, la dislance du centre à la normale, ou le rayon du cercle tangent à cette normale, croît de zéro à l'infini, et, par suite de la symétrie pai- rapport aux deux axes, chaque cercle est touché par quatre normales à l'hyperbole, sauf le cercle de rayon nul. Nota. — Autres solutions (Je MM. Tourelles; Gainbey; A. Desbovcs. professeur de IMatliéinatiques au collège de Paniiers; Edouard Guillet, soldat au 38* d'infauterio; Louis Goulin, élève au lycée Corneille a Rouen. ( ^7'^ ) FOUMATIO\ D'HIV CUBE ENTIER Qîl SOIT ÉG4L A LA SOMME DE QUATRE CUBES ENTIERS; Par m. Elokne REBOUT. 1 . On a idenliquemenl rt + è H- <:)3 = «' + ^' -f- r' -+- 3a^è + 3«-f -f- 3 /^^« + 'ib'^c. + 3c- , c et ajoulant membre à membre les idenlitésqui en résultent, il vient \^b -\- c — « )•' + 1^ c + « — è )^ H- I « -'r- Z< — c'f = «3 + b' -\- c'-h 3a'b -h 3r/2c -h 3 //-c H- 3b-a -^ 3/-'-'c-l- 3c'6 — iSabc d'où , , i ( û + é + c )■" = ( ^ H- r — o :3 _,_ , f H- rt — //•■' I 2 ) < , 's ( H- (« + 6 — c)3 H- 9.^ abc. Et, si l'on donne à «, ^, c des valeurs telles que ^abc soit un cube , on aura formé un cube i^a -[- b -+- c)'\ égal à la somme de quatre autres cubes. 2. Par exemple, on a, pour a = 3, b = /\^ c = 6, 132 — 12-^ -f- 7' -(- 53 + V' et, pour rt = 18, ^ = 20, c = 9.5, 63' = 60' -!- 27^ -f- 23^ -1- i3'. Si, dans cette dernière identité, on remplace i3"' par la ( ^-73 ) somme des quatre cubes de l'exemple précédent, on aura 6V — 60=" -j- 27' -i- 23' + 12' + 7' 4- 5' -4- i^ 3. Peut-être n'est-il pas inutile de faire remarquer que la somme des trois nombres ( b -h c — a) , (c -+- a — b) , [a -\- b — c) est égale au nombre proposé ( a -}- ^ H- c) , et que r>.^abc est égal à trois fois le produit qu'on obtient en multipliant les sommes, deux à deux, de ces trois nombres. CORRESPONDANCE. Lettre de 31. Lagoiit. — Monsieur, vous avez publié en tête de votre Revue (numéro d'octobre 1870) une cri- tique de la Tachymétrie par M. Casimir Rey, critique dans laquelle sont citées plusieurs de mes publications étrangères aux sciences et même aux Mathématiques des candidats aux Ecoles Polytechnique et Normale. Par contre, le livre fondamental de ma méthode, ap- pelé le CaTiier d\in soldai du_ Gré/iie, qui était à sa 4^ édition, n'est même pas désigné. Dans ma méthode, il y a le fonds qui renferme les principes nécessaires, et l'accessoire, tels (jue le langage conventionnel, les comparaisons, les procédés méca- niques, etc Mon contradicteur n'est pas philosophe, il ne connaît pas les devoirs du critique : In nercssnriis unitiis. In dubiis libcrtas. Il a cherché des imperfections dans l'accessoire d'un Ànii. de Matlirmnt .. ■.>'" sorip, t. XVI. (.lilin 1877.) 'o ( '-^^4 ) livre d'essai (*), et n'a pas voulu s'occuper du principe nécessaire, ni dans le livre d'essai, ni dans le livre fon- damental, qu'il a oublié de citer et négligé de lire. Mais ce qu'il y a de plus étrange, c'est que, après cinq pages écrites du ton léger que voici : « Ministres, évêques, généraux, recteurs, maires, con- seillers généraux ou municipaux, M. Lagoul emploie toutes les personnes ayant, non pas autorité en Géomé- trie, mais bien autorité par la loi, pour imposer aux écoles, aux régiments, aux collèges, urbi et orbi ses boites tachymétriques et son enseignement de la Géomé- trie en trois leçons. » Après cinq pages, dis-je, écrites dans ce style, M. Ca- simir Rey croit qu'il vient de terminer un Mémoire pour l'Académie des Sciences, et il en tire le corollaire suivant sous forme d'antithèse que l'on aimera à retenir: La Géométrie est la science qui apprend à raisonner juste, même sur des figures qui sont fausses; tandis que la Tacliymétrie est un art qui apprend à raisonner faux , même sur des figures qui sont justes. » J'ai deux réponses sommaires à faire ici à M. Casimir Rey: l*"^ RÉPOWSE : Je n emploie personne, je soumets respectueusement mon travail aux professeurs et aux ingénieurs qui ont autorité en Géométrie ; tels étaient : i*' Au Conseil académique de Clermont, en 1872, le Recteur, des Inspecteurs d'Académie, les deux profes- seurs de Mathématiques du lycée, appelés par le Rec- (*) Le Panorama de la Géométrie, 4^édit. épuisée, qui, cependant, a donné lieu au remarquable Mémoire de M. Paget à l'Académie des Sciences morales et politiques, Mémoire inséré dans le Prompt savoir. ; 27^ ) leur à la Commission du Conseil académique, laquelle a assisté à plusieurs conférences d'initiation et a constaté les résultais par un examen i 2*^ Les Ingénieurs professeurs de recelé des Ponts et Chaussées ; 3° Le Directeur de TEcole des maîtres mineurs d'Alais, Ingénieur en chef des Mines (sorti le premier de l'Ecole Polytechnique) ; 4^ Le Conseil de l'Ecole des Mines, qui m'a admis à l'honneur d'exposer ma méthode aux élèves, en vue de l'instruction technique des maîtres mineurs. Partout la méthode a été agréée et admise à être vul- garisée. M. Rey a donc émis une assertion inexacte quant à l'autorité de mes juges. Voici, par surcroît, une circulaire aux ingénieurs, appuyée sur des documents d'une grande autorité en Géométrie (*). 2*^ RÉPONSE : Je crois que la dignité de la Revue savante s'oppose à ce qu'on y discute sur le ton choisi par M. Rey. Cette réserve faite, je suis prêt à soutenir une polémique contre mon contradicteur sur ce qu'il nomme l^^s J'atix raisonnements de la Tac hymé trie. Ma réfutation paraîtra tardive; j'ai attendu que plu- sieurs faits se fussent produits : i** L'épuisement de la 4*^ édition de l'opuscule cri- tiqué, le Panorama de la Géométrie, dont le texte scien- tifique sera conservé intact, mais dont les acci-ssoires indépendants seront, grâce à M. Rey, refondus ou sup- primés; ') f'oii p. 2-jfi. i8. ( ^7« ) 2° Le Cahier du soldat du Génie, qui était à son qua- trième tirage, est arrivé au neuvième; 3° II est publié en anglais, par la maison Collins de Londres, sous le nom àe Livre fondamental de Tachy- métj'ie, et se vend trois fois plus cher qu'en France (na- tion pratique!) ; 4° Le traducteur anglais désire que V Algèbre tachj- métricjue en trois leçons paraisse en même temps à Londres qu'à Paris. Circulaire du Ministre aux Ingénieurs des Ponts et Chaussées. — « Versailles, le i5 février iSyy. Mon- sieur, M. Lagout, ingénieur des Ponts et Chaussées, est l'inventeur d'une nouvelle méthode dite Tachyntétrie ou prompt mesurage, au moyen de laquelle le premier venu peut obtenir le cube des solides aussi vite que par les procédés usités jusqu'à présent dans la pratique. » La Commission des inventions instituée à l'Ecole des Ponts et Chaussées a été appelée à donner son avis sur le mérite du système de M. Lagout. Ce système se ré- sume dans la décomposition effective des divei's volumes à évaluer, suivie d'un groupement différent des parties ainsi obtenues, de manière à rendre intuitive la règle qu'un novice aurait peine à déduire de la longue suite des raisonnements en usage. M. Lagout, dit le Rapport de la Commission, démontre pour ainsi dire physique- ment les propriétés du carré de l'hypoténuse et des triangles semblables: il fait l'application de sa méthode à la mesure du cercle et à celle de la sphère. Raisonnant sur le polyèdre dont la forme est celle d'un tas de cail- loux destinés à l'empierrement des routes, il n'a pas de peine à mettre en évidence, par de simples déplacements de figure, l'inexactitude de la règle empirique qui con- ( 277 ) siste à multiplier la moyenne des bases par la hauteur; il déduit de là la correction à faire subir à cette mesure pour la rendre tout à fait rigoureuse. » La Commission a donc reconnu que l'application du procédé de M. Lagout peut être fort utile pour mettre rapidement au courant de certaines règles de Géométrie les agents qui nont fait aucune étude, et elle a émis l'avis qu'il y avait intérêt à propager la méthode de cet ingénieur. » J'ai appris en outre que, dans un grand nombre de villes et d'établissements publics, M. Lagout a fait des conférences de Tachymétrie 5 partout on a constaté les excellents résultats de son enseignement, particulière- ment à l'École des maîtres mineurs d'Alais, M. le Direc- teur de l'école, ingénieur en chef des Mines, déclare que la nouvelle méthode a été très-appréciée du public admis aux conférences, et il la considère comme étant appelée à produire une véritable révolution pédagogique dans l'enseignement des Sciences exactes. » En présence des appréciations qui précèdent, il m'a paru, Monsieur, qu'il convenait de divulguer le plus possible le procédé dont il s'agit parmi les agents infé- rieurs des Ponts et Chaussées. Pour parvenir à ce but, j'ai décidé qu'il serait envoyé à tous les ingénieurs en chef et d'arrondissement du service ordinaire les bro- chures de M. Lagout intitulées : Le prompt savoir et Cahier cï un soldat du Génie, avec le guidon mé- trique qui accompagne celte dernière. Dès que vous aurez reçu cet envoi, vous voudrez bien, avec le con- cours de MM. les ingénieurs ordinaires, prendre les mesures nécessaires pour initier autant que possible le personnel placé sous vos ordres à la connaissance de la Tachymétrie. » Je vous prie de m'accnser réception de la présenlc ( =^7« ) circulaire, dont j'adresse directement une auipliatiou à iMM. les ingénieurs ordinaires. )) Recevez, Motjsieur, l'assurance de ma considération très-distinguée. Le Ministre des Travaux publics^ Signé : Albert Christophle. Extrait cVune lettre de M. Desboves. — Comme je m'occupe en ce moment d'études de Géométrie ancienne, l'idée m'est venue de lire le Traité des fluxions de Ma- claurin et j'ai été fort surpris de rencontrer, sous une forme équivalente, le théorème que j'avais communiqué à plusieurs personnes, comme étant de moi, dès les pre- miers jours d'octobre. Il ne peut donc plus dès lors y avoir aucune question de priorité relative au théorème en question. Note. — La question 1221 [voir "p. 235) a été résolue par MM. Moret- Blanc ; Pisani; Klug, à Presbourg. La question du concours à l'École normale supérieure (p. 218), par M. Lez et M. Jules Chambon, élève au lycée de Bordeaux. La question 1223 (p. -238), par M. Henri Picart, du Ivcée de Grenoble. PUBLICATIONS RECENTES. La Théorie hugodécimale, ou la base scientifique et définitive de V Arithmo-logistique universelle; par le Comte Léopold. Hugo, avec cette épigraphe : Urbi et orbi. Hic tandem triumphaliter fulget regularitasl La pan-iinaginarilé hugomathique : continuitasl continui- tasl tricontinuitas! Brochure de 32 pages. Paris, en vente chez tous les libraires. 1877. M. le Comte Léopold Hugo est, sans contredit, dans le domaine des sciences, l'un des plus actifs novateurs de ( ^79 ) l'époque. On lui doit, maintenant, onze théories nou- velles [voir p. 7 de la présente brochure) : Théorie élémejitaire de VÈquidoinoïde, ou Hugodo- moïde préarcïnmédien ,- Théorie générale des cristalloïdes géométriques [Géo- métrie t Transformiste) ,• Tliéorie philosophique des stéréo-imaginaires , ou de l'éyanescence géométrique ; Théorie de la polygonisation des figures dans V es- pace. Théorie hugodécimale [Stupéfaction! on a peine à le croire!)^ etc., etc. La théorie hugodécimale a principalement pour objet de faire connaître : La hase scientifique et dé/înitiwe de P arithmo-logi- stique mwerselle, découverte par l'auteur, en 1875, et annoncée en ces termes dans la Géométrie hugodo- moïdale : 1. La numération habituelle dans le monde civilise sera désormais réputée avoir pour base mathématique le nombre des corps géométriques constituant le groupe de la sphère et des polyèdres réguliers. 2. Les polyèdres réguliers comprendront^ à ce point de vue, les étoiles aussi bien que les convexes, ce qui donnera le nombre infranchissable et éternel de dix, pour le groupe entier, y compris la sphère. Il était difficile de penser, a priori, que V utilisation théorique du groupe bizarre des réguliers géométriques fût si simple à déterminer, et pût se rattacher à une ques- tion aussi fondamentale que la base arithmo-logistique. Aujourd'hui, l'auteur se propose : De travailler à inilgariser et à répandre dans les di- verses régions civilisées de V ancien et du nouveau monde... celte h s.isrv. doctrine philosophique qui, dans ( 28o ) sa concision, mérite assurément une place aux premiers rangs de la philosophie scientifique (p. 6"). L'avertissement contient, de plus (p. 9), une lettre adressée par M. Hugo à un Membre du Bureau des Lon- gitudes, et dans laquelle on lit : « Veuillez me permettre de vous offrir un certain nombre de mes Publications et Mémoires : sans entrer dans le détail, vous verrez, Monsieur, avec quelle har- diesse et quelle liberté philosophiques je remanie les choses et ] agrandis la Science, travail désintéressé et rôle souvent ingrat. » D'ailleurs je me suis vu contraint de donner pleine carrière à toute mon originalité dans la forme ; ce n'est ({u'à cette condition, je l'ai constaté, que j'ai pu attirer, dans notre pays encore un peu engourdi scientifique- ment, quelque attention sur mes idées, mes anciens pa- trons de l'Ecole des Mines, de la Monnaie (et de l'Ar- chitecture), Delaunay, Ebelmen, Senarmont, Pelouze, INeveu et les autres, ayant disparu depuis longtemps — Écrasons les pan-routiniers I quils tremblent , blottis dans leur petite science, devant l'ouragan hugoma- thiquel » Mon avis est qu'il ne faut écraser personne, et que les philosophes réformateurs doivent se garder de prendre l'exaltation des idées pour le sublime des idées. Ce n'est pas sans danger qu'on se lance dans la voie des réformes avec un enthousiasme qui, dans sa marche ascendante, pourrait s'élever jusqu'au délire. (^0 Traité de Sténométrie, ou Petit Essai de Qéométrie pratique à V usage des écoles primaires supérieures ; des écoles professionnelles ,• des institutions de demoiselles ; des ateliers, etc., par J,-P.-A. Bergcron, docteur es ( -8i ) sciences, ingénieur honoraire des Elals-Unis de Colom- bie, etc. Nous avons lu avec beaucoup d'intérêt ce Traité de Sténométrie et nous le croyons appelé à un grand succès auprèsdespersonnesqui s'occupentdeGéométrie usuelle. On y trouve d'ingénieuses dénionstralions, la plupart ori- ginales, simples, mises à la portée des commençants, et facilitant l'étude d'une Géométrie plus complète. M. Bergeroii a eu le soin de donner, dans un appen- dice complémentaire, la description et l'usage d'un in- strument dû à M. le capitaine Peigné, et d'une grande utilité pour le levé des plans (*). SOLUTIONS DE QIESTIOKS PROPOSÉES DANS LES NOUVELLES ANNALES. Question 1062 ( voir 7." série, t. XI , p. i|6 ); Par m. es car y. Démontrer V identité \l — 7.' a -^ b -^ c -r- . . . ■>: -^ (i -\- 1} -r- c ^ . . . rt A' + A li- -}- fC" -H . . . ; ] ^ — WV... "'^^'"' Àmt.L^^ z! fi ! 7 !.. . ■..'■'+.^+ï+- • • ■^ r/.r''+?+ï+ (*) Cet instrument, nommé alidade autnrvcluciricc, a pour objet de donner, par une simple lecture, la dislance de deux points visibles ainsi que leul- diiïërence de niveau. ( 282 ) les sommations s'étendant à toufes les valeurs entières et positives de a^ j3, y, et cf. ! étant supposé dei^enir égal à I quand a = o. (F. Didon.) Si l'on considère l'équalion du second degré u=zx-h - i«-^— AM + -(«^ — B=) +-(^i2_ CM +. .., 2 2. 2 dont les racines sont I ±Ji — 2(a + Â-+-CH- ...)x-f-(a-+-é + c+ . ..)(«A'-1- 6B'-i-cC=-+- .. ;< = 1 i i >— ±1 . a -h f' -h c -i-. . . on voit que le développement, par la formule de La- grange, de la plus petite de ces racines, fournit la dé- monstration de l'identité qu'il s'agit d'établir -, car on a successivement [i — lia -{- b -h c -h . . .).T + [a -h b -h c -h . . ,) [a A' ■+ bB^ + cO -h . . .]] " = " f/« -f.r' — A=] H-- (x^ — Bn +-(.r- — C^) -+-... X^lL^ ^ "2. J a'^b'^ct X r/«+P+v+ • • • ( ^2 — A' ) » ( .7.-= — B' ) ^ ( .r' — C ) ••' , . en ayant égard à la valeur du développement d'une puis- sance entière d'nn polynôme et observant que, pour Z> = o, c = o, . . . et A" = I, on doit retomber sur les fonctions X„ de l.egendre, ce qui exige que les a, (3, 7, ... soient les mêmes comme indices de dilféren- liation et comme exposants. ( 9.83 ) Question 122ii ( voir 2* série, t. XV, p. ly,); Vkr m. Armand BERTRAND, Propriétaire à Azillanet (Hérault). On donne siw un plan un point A et un cercle de rayon variable^ mais dont le centre est fixe- on mène à ce cercle deux tangentes AMj, AM, et la corde des contacts MiMg. A quelles valeurs du rayon variable correspond le maximum : i° du périmètre du triangle AMjMg,- 2° de Vaire de ce triangle; S*' de la corde des contacts? (Harkema.) Posons, pour simplifier, AMj = AM» = f, MjO = ;•, M1M2 = 2m, AP = p, kO = 2K. 1° Maximum du périmètre i[t -\- m). — Nous pou- vons considérer seulement le demi-périmètre t -+- m-, les deux triangles AMiO, AMjP donnent v4K^-,% m=—: on a donc V/4K' — H(2K-t-^^ (2K— r)M2K + rV- 2K 2K On voit facilement que la somme des facteurs est con- stante, et, par suite, que le maximum aura lieu pour la valeur de ;■ satisfaisant h la relation 2K-f-/- _ oK — r _4R ' 3 ~ i ~T' d'où 2" Maximum de faire pm. — Les deux triangles A M, O, A M, P donnent /' tr { 284 ) on a donc _ t^r _ [t^Y [r^y ^"' ~ 4K^ ~~ 4k7~ * Or le triangle AMi O donne (i) ?^ + r^ r= 4K.'(n"antité constante); le maximum aura donc lieu pour la valeur de /• satisfai- sant à t- _r^ __^\\.^ d'où /• = K. 3** Maxiinuîti de la corde iin. — Nous pouvons con- sidérer seulement la demi -corde /tz; nous avons trouvé précédemment tr [t'r'Y m = = • 2K 2lv fja relation (i ) nous montre que le maximum aura lieu pour t' = r^, c'est-à-dire, en vertu de la même relation, pour /•- = 2K^ ou /• = K^2. Remarque. — On peut encore trouver ce dernier maximum par deux autres méthodes : i" En posant OP =■- q^ on a m"- = pq ; or, J) ~\- q est constant et égal à 2K: donc le maximum aura lieu pour p = q = ¥>,=^m, et, par suite, poixr r = Ky/a, en vertu de la relation r^ = m'' ~\- Y% donnée parle triangle M) PO, qui devient /•' = 2 K'. ( 285 ) a" Les angles AMjO, A MaO étant droits, le lieu des points M,, Ma est la ciiconféreiice décrite sur AO comme diamètre-, la corde Mj Ma sera donc maximum quand elle sera précisément l'un des diamètres du lieu, et, par suite, lorsque le triangle MiPO donnera la relation /•' = 2K% et que l'on aura par conséquent r = K v^'â. Nota. — La même question a été résolue par MM. Pisani, professeur (Italie); Droz, ingénieur à Zurich; Lez; Sondât: E. Flanquembergue, maître répétiteur au lycée de Saint-Quentin; Cauboue, Berthomieu, Barthe, Dussoudeix, élèves au lycée de Bordeaux; Bertaux (Léon), élève à l'athénée de Mons (classe de M. Cambier); Rousselot, élève au lycée de Saint-Brieuc; Bietle, élève au lycée du Havre; A. Venard, du lycée de Clermont; Tarraud (Gabriel), élève en Mathématiques élé- mentaires au lycée de Châteauroux (classe de M. Escary); Henri Picat. du lycée de Grenoble; Georges Lambiotte. M. Tarraud a donné les solutions des questions analogues, relatives k une sphère et au cône circonscrit. Question 1226 (voir 2' série, t. XYI, p. igz); Par m. J. de VIRIEU, Professeur à Lyon. Enokcé. Rendre calculable par logarithmes %\wa -4- sin h Sm .r r= : — - • I H- 'iina sm h SOLUTION. L'expression proposée donne I -f- smr I — sin.r zrr. I H- sino) (i -4- sin il I H- sinrt sin/> I — sin«"t (i — sine) I -4- siiu/ siii // ou ( 286 ) I + sinj: /i+sin«\ /i-i-sin^ hTb) I — sin,r \ I ^ — sin«/ \ I — sit lang (Ira + i^-) = ± tang (7^ -4- 7^) lang {\zy -h-^^]. Nota. — Autres solutionsde MM. Jamet; Moret-Blanc; Auguste Morel; Gustave Choquet, maître répétiteur au lycée de Lille; Bai-the; Dessou- deix ; Berthoniieu, élèves au lycée de Bordeaux; Ferdinando Pisani : Joseph Bardelli, à Milan; Sondât, à Annecy. QUESTIONS. 1235. On donne une ellipse de centre O. Prenons un point 171 de cette courbe et appelons [x le centre de cour- bure de l'ellipse correspondant à m. Menons la droite fj.O et désignons par t le point où elle rencontre la tangente en m à l'ellipse. On demande : 1° Quel est le lieu décrit par t lorsque m parcourt l'ellipse ; 2° De démontrer que la tangente en f à ce lieu ren- contre niii en un point /' tel que ira- = —^ • (Mawnheim). 1236. On donne un tétraèdre ABCD et deux points E, F; on construit deux autres tétraèdres EABC, FABC. Les faces de FABC coupent les arêtes de EABC aux points G,H,I. On détermine sur ces mêmes arêtes trois autres points KjL, M tels, qu'on ait EG AG EH BH El CI I Elv * AK ~ EL ' BL ~ EiM ■ CM ^ 2 Prouver : i" Que les quatre plans analogues à KLM passent par un même point 5 ( ^8; ) a" Que ce point décrit un plan langent au cùne pas- sant par les cinq droites KA, EH, . . . , le long de la géné- ratrice EF, lorsque les cinq points A, B, C, D, F dé- crivent arbitrairement ces mêmes droites. (BOURGUET.) 1237. A-yant posé, pour abréger, P — ? 2 a' 4- P' -f- 7» + ^' H- a — p H- 7 -(- à^ Q = a^ -+- P' -+- 7^ -I- ^' + a H- p + 7 — <î b:=: ■ — — ; où a,[3,y, ^ sont des entiers donnés, on propose de dé- composer, au moyen de formules directes, l'expres- sion P' -t- Q^ -I- R' + S^ en deux facteurs représentés, chacun, par une somme de quatre carrés entiers. (S. Realis.) 1238. A chaque racine réelle A de l'équation à coef- ficients réels y -t- (4/» + 1)7 -f- 87 = o, correspond une racine appartenant à l'équation x^ -h px -h q :=o, / — 1 / H- I et comprise entre et (S. Realis. ( 288 ) 1239. L'équalion x^ — 6 a!3.r — 3 y.^ a -+- ^\ — o, dans laquelle a et |3 sont des entiers quelconques qui n'annulent pas le dernier ternie, n'a pas de racine en- tière. (S. Realis.) 1240, L'équalion x' — (P — 7).r + ay = o, dans laquelle c/. et y sont des entiers plus grands que zéro, et j3 est un entier satisfaisant à la condition a=>p>(a-i)% OU bien à la condition a au moins une racine réelle incommensurable. (S. Realis.) 124'1. Trouver l'enveloppe d'un plan passant par les extrémités de trois diamètres conjugués d'un ellip- soïde. Montrer que ce lieu est le même que celui du centre de la section faite dans la surface par le plan va- riable. (Genty.) 12-42. On donne, dans un plan, un triangle, une conique circonscrite et une droite quelconque. On prend le milieu (toujours réel) de la droite, considérée comme corde de la conique, et les symétriques, par rapport à ce milieu, des trois points où la droite rencontre les côtés du triangle. Démontrer que les trois droites obtenues en joignant ces symétriques aux sommets opposés du triangle vont concourir sur la conique. ( J.-J.-A. Mathieu.) ->89 THEORIE DES INOICES; Par m. FAURE, ('.hp( d'escadrons d'Arlillorio. ■ SUITE (*).] Surfaces honiocy cliques. 127 . Soit ( a — q)x" ^ [h — p)f- -}- { r? — p ) s- = I l'équalion d'une famille de surfaces concentriques à la surface (S) ax^- -r- hy^ -f- es' = i, et ayant les mêmes sections circulaires qu'elle. La constaute p sera le para- mètre (le \ ho mocy clique. En suivant la marche adoptée pour les homofocales (S4), nous établirons les trois re- lations suivantes : L^iiifUce du système des deux points e, e' par rap- port à la surface S est égal au paramètre de Vliomo- cy clique conjuguée aux points e, e', multiplié par le produit des distances du centre o aux points e, e' et par les cosinus de V angle eoe' I,j/ = p, oi: . oe' cas eoe' . L indice du système des deux droites £, t' par rap- port à la surface S est égal au produit des paraîriètres des deux liomocy clique s conjuguées aux droites f, e' multiplié par le produit des distances du centre o aux deux droites et par le cosinus de V angle des plans diamétraux E, E' menés par ces droites J..J =: p, pj ( o, £ ) ( o, s' ) ces EK' . (*) Nonvelles'Ânnales, 2^ sérip, t. XV, p. o5i, ''g-î, llç), /j.ii, '|8i, Sag, ol t. XVI, p. 5, 160, 193, 249. Aiin. de Mathrinnt., •<' série, t. XVI. (.liiillol 1S77.) If) ( ^90 ) IJ indice du sy stènie des deux plans E, YJ par rapport à S est égal au produit des paramètres des trois liomo- cycliques conjuguées aux deux plans, multiplié par le produit des distances du centre aux deux plans Ij;E' = 6, O-i ^3 [ o, E ^ ' o,E.' . 128. Comme corollaires nous voyons que rindice du point e par rapport à S est égal au paramètre de l'iiomo- cyclique qui passe au point e, multiplié par oe \ que l'indice de la droite £ par rapport à S est égal au pro- duit des paramètres des bomocycliques qui touchent la droite £, multi[)Iié par [o.z]- ^- que l'indice du plan E est égal au produit des paramètres des trois homocy- cliques qui louchent le plan E, multiplié par (o, E)'. 129. Théorème. — Lorsque deux points «, e' sont conjuguf-'s à deux homo cycliques, ils sont vus du cenir". commun o sous un angle droit t-.t sont conjugués à foutes les homocjcliques du sjslème. Ce théorème résulte de la relation \ggi ^=. o,f'c . oe' cosroe' ; il se démontre comme son correspondant (114-). On en déduit que, si un plan ou une droite touche deux homocycliques, les points de contact sont vus du centre sous un angle droit, et que si l'on prend les plans polaires d'un point m par rapport à toutes les homo- cycliques du système, tous ces plans passeront par une droite située dans le plan diamétral perpendiculaire à la droite om. 130. Des théorèmes énoncés au n° 8o, nous pouvons déduire les suivants : D'après i". Si l'oji prend sur une droite y deux points ( ^9» ) a et h conjugués à la surface S, le pi-oduit des para- mètres des honiocyclicjues qui passent par ces points est égal au produit des paramètres des deux homocycliques qui louclient la droite y, divisé par le carré du sinus de l'angle nob. D'après 8°. Si l'on prend dans un plan D trois points a, h^ a conjugués à la surface iS, le produit des paramètres des liomocyclitjues (jui passent par ces points est égal au produit des paramèires des trois homo- cycliques qui touchent le plan D, divisé par le cai'ré du sinus de l'angle solide déterminé par les diamètres oa, ob, oc. D'après ii°. Lorsqu'un tétraèdre est conjugué à la surface S, le produit des paramètres des homocycliques qui passent par ses sommets, pris en signe contraire, est égal au carré du sextuple de son volume divisé par rJ et ])ar les carrés des distances du centre aux sommets du létraèdie. D'après 21". Lorsqu'un tétraèdre est conjugué à la sui'face S, la somme des inverses des paramètres des homocycliques menées par les sommets du tétraèdre est ésrale à la somme des carrés des demi-axes de la surface S. -b' Théokème. — Lorsqnnne droite z touche deux homocycliques de la surface S, A? rapport ',-—^—^ (i une valeur constante, quelle que soit la droite s. 131. Corollaires. — Par !a drolle £ ment)ns un plan tangent à S, et soit a le point de contact y\ élanl le produit des d(,Mni-axes de la seclioii iliamélialc '9- ( 2.92 ) parallèle au plan langent A. On a donc [o, £j- A- Mais, si P est le plan mené par le point a parallèle- ment au plan diamétral mené par e, ' «, e i i o, P * et comme il eu j'ésulte i (o,A A.(o, A), Mais, d'autre part, si p et p' sont les paramètres des liomocycliques «^ui touchent la droite î, L =p .p' (o, g)', de sorte que [o,^Y =77=. p. p'. Ainsi le plan P est à une distance constante du centre. Étant flonnées trois surfaces homocyeliqnes S, p et p', si une droite s touche les surfaces p et p' et que l'on mène par celte droite un plan tangent à S, le plan P mené par le point de contact parallèlement au plan diamétral qui passe par £ sera à une distance constante du centre o. 13l2. Coupons les liomocycliques p '^t p' par un plan A tangent à S, et soit a le point de contact. Les deux coniques d'intersection ont quatre tangentes communes, et nous venons de voir que, si par le point a on mène les quatre plans P parallèles aux plans diamétraux qui con- tiennent ces tangentes, ces plans seront à la même dis- tance du centre. On peut donc dire aussi que, si dans un ( '^9^ ) plan (an^enl à la siiijace S on mène les quatre diuiles qui touchent à la fois deux honiocjctiques de S, les plans diantétiaux de cette surface conduits par ces tangentes toucheront une sphère qui a son centre au point de contact du plan tangent. Théorème. — Lorsqu un point e est situé sur une homocyclique de la surface S, le rapport z-.-. ^ «''^ ^'c-- oe leur constante. 133. Corollaires. — Soit A un plan qui touche au point a la surface S*, ce plan coupe l'hoinucyclique p de S suivant une conique, et si l'on appelle e un poini de cette conique, I^ T ^^ oe e étant le demi -diamètre de S parallèle à la tangente ae. De ces deux relations résulte ae sin aoe s? .ne s'- sin oae pour un autre point e' de la section, on aurait pareille- ment t' sin oae Voici quelques conséquences de ces égalités : I** Si les trois points e, , C. on a (S2) ^ Ia - In r I, = >m — s: ( 298 ) et. par conséquent, Mêlant le plan langent au point ni^ sin MA sin MB sin MC , S,] — oni \ 1 =[o, M Y • Ka Ru Rc ' ^' Si le plan C est fixe, on déduit de là que, si par une droite fixe on mène deux plans rectangulaires A et B, la somme sin' MB RiT e-it constante quels que soient ces deux plans. Lorsque le plan C se confond avec le plan tangent M, 1 I , V S^ — om — -H-- = (o,M)3^ . ' de sorte que, si A et B sont les sections principales, et en ayant égard à la valeur du produit Ra f^B ^^^ l'ayons de courbure principaux, on tronvera, pour la somme de ces deux rayons, S\ — oin ^•^+^"'=i^^:Mr* 137. Puisque l'indice d'un plan par rapport à S peut s'exprimer à l'aide du paramètre de l'homofocale de S qui touche ce plan, le rayon de courbure en un point de la section de cette surface par un plan D pourra s'expi^mer à l'aide du paramètre de l'homofocale de S qui louclie le plan D. Ainsi la relation employée ci- dessus peut s'écrire sin ABIf, sin AE sin BE Remplaçons le produit I^îii pai' !a valeur sinAB 7r-(o, M)=sin À M ( 299 ) 1^ par -^î iy par —■, en désignant par pj^, Cj. les paraujèlrcs des hoinofocales de S qui louelienl les plans A et 13, et ^ . sin^MR entin Ir par -, ■> nous aurons sin ME , , / sin KA = \ o, M , Lorsque les plans A et B sont les sections principales re- latives au point /?/, ' , ,. N 1 sin KA sin EU == (o, M n ! , ^E \ Pa Pb / de sorte que les rayons de courbure principaux relatifs an point m ont pour valeurs Pa . n __ PB Ra^-^'^^, r« = - Or, si l'on a éi^ard à l'expression donnée (118) pour la distance d'un plan tangent à une homofocale de S au pôle de ce plan par rapport à S, on verra que les centres de courbure principaux relatifs au point ni de la sur- face S sont les pôles du plan tangent M en ce point par rapport aux deux hornofocales de S qui passent par le point ni . Lignes^ géodésiques. 138. Appelons a cl b deux points de la surface S, A et B les plans tangents en ces points. Si nous prenons sur l'intersection ^ de ces plans un point c, tel que les droites «c, Z>c soient également inclinées sur C(n>e inter- section, le chemin acb sera le plus court pour allei- de a en /' en traversant les deux plans. Soient K le plan acb. ( 3oo ) A el a les dcjni-diamètres de la suiface S, parallèles aux langeâtes ac el bc\ nous avons (33) sin EA. ■ sin EB Ie = — Les droiles ca, ch déterminant un cône droit dont l'axe est la droite o, le plan E est également incliné sur les plans A et B qui passent par l'axe. Si l'on suppose que les points a et Z> se rapprochent indéfiniment, les lignes ac el ch deviennent deux élé- ments consécutifs de la ligne géodésique tracée sur la surface S par les points a et /?, le plan abc est le plan osculateur de la géodésique au point a\ en même temps les angles EA, EB, qui n'ont pas cessé d'être égaux, de- viennent droits. Ainsi le plan osculateur^ d'une ligne géodésique tracée sur la surface S par le point a est normal à la surjace en ce point, et son indice {par rapport à S) a pour valeur T I If=- A étant le denii-dianiètre de la surface S parallèle à Vêlement de la géodésique au point a, A le plan tan- gent de S en ce point, a le deun-diainètre parallèle à r élément consécutif, B le plan langent à l'extrémité de cet élément. Il suit de là que l'indice du plan osculateur a la même valeur en tous les points d'une même géodésique. 139. Si l'on considère sur la surjace S toutes les géodésiques tangentes à une même ligne de courbure, les plans osculateurs de ces géodésiques ont le même indice par rapport, à S; ces plans touchent une même honiojocdlc de la surface S. ( 3oi ) Soit ab l'élémenl commun à la ligne de couibiire el à la géodésique qui louche celle ligne de courbure: le plan osculaleur de la géodésique au point «, étant normal à S, est déterminé par ab et la normale au point a\ ce plan touche par conséquent l'homofocale p, <|ui, par son intersection avec S, donne la ligne de courbure considérée. Ainsi au point a l'indice du plan osculaleur de la géodésique a pour valeur — (Si) : Il a donc la môme valeur pour toutes les géodésiques tan- gentes à la ligne de courbure, el par suite ils louchent tous l'horaofocale p. 140. Toutes les tan génies à une géodési(jiie tracée sur la surface S touchent une homofocale de S, et cette homofocale est la inéme pour toutes les géodésiques qui louchent la même ligne de courbure. Car a et b étant deux points pris sur la géodésique, les plans osculateurs en ces points touchent une homo- focale p de S. Lorsque les points a el b sont consé- cutifs, l'intersection des plans osculateurs devient la tangente à la géodésique, el cette intersection touche la surface p. 141. Considérons en particulier les géodésiques qui passent par un ombilic de la surface S (dont les demi- axes sont a, [j, y). l>a distance (o, A) du centre au plan langent en un ombilic étant égale à -—■> le demi-diamètre 1 élani égal r à |3, nous voyons que l'indice d'un plan osculaleur E d'une géodésique passant par un ombilic- a pour valeur ( 302 ) mais, si p est le paramètre de Thomofocale (jui louche le plan E, on a aussi Tj, = — • En égalant ces deux expres- sioiis de Ie, il en résulte p= — (S^, de sorte que les plans osculatenrs des aéodésiques qui passent par les ombilics touchent l'homofocale «. - (i^ t - r- c'est riiyperbole focale. Les tangentes à toutes ces géo- désiques doivent donc couper cette hyperbole. 142. Nous avons vu (119) qu'un angle 1^ étant con- jugué à la surface S, si l'on mène par son sommet et dans son plan la droite e, sin^)ivp; =z sin-£ap). -+- sin''î).pa, en désignant par p,, p\-, p^^ les produits des paramètres des couples d'hoaiofocales qui louchent les droites £, À, fX. Considérons le cas particulier dans lequel les droites X, p. touchent deux lignes de courbure de la surface S <;t la droite e, une géodésique tracée par le pgint Kp.. Les droites e, X, p. touchent la surface S, l'angle / 17. est droit, et, si Ton appelle i l'angle, sa, e, X, p. les demi- axes majeurs des secondes homofocales qui touchent les droites s, X, a, on a £• — y? ^= sin^/ ().- — a') -f- cr)s^/(p.- — a*) ou £■ = V sin- i H- y} cos' / : c'est l'équation connue des ligues géodésiques. ( A sit/crr. ] ( 3o3 ) DÉiMO!\STRATION A^ALYTIQIK DE QIELQUES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SURFACES DU SECOND ORDRE ; Par m. V. HIOUX, Professeur au lycée de Rennes. Le troisième paragraphe du Mémoire sur Thomogra- phie [Aperçu hi-^torique) est intitulé ainsi : Lieu géométiique tin point de rencontre de trois plans tangents à une surface du second degré, assujettis à certaine condition. jNous démontrerons d'abord le lliéorènie suivar.t, qui est le deuxième du paragraphe : Si l'on a dans V espace une surface du second degré et une conique, et que, par trois droites prises dans le plan de cette courbe, de manière que le pôle de chacune d^elles, par rapport à la courbe, soit le point de con- cours des deux autres, on mène trois plans tangents à la surface; leur point rl'intcrsection aura pour lieu géo- métrique une surface du second degré, passant par la conique, et telle, que le cône qui lui serait circonsciit suivant celte courbe aurait pour sommet le pôle du plan de cette courbe, j)ris par rapport à la surface proposée. Prenons pour surlace du second ordre un ellipsoïde rapporté à trois diamètres conjugués dont Tun Oz soit conjugué du plan P de la conique C. L'ellipsoïde a pour équation a- b- c- et la conique C sera représentée par les deux é([ualions V = z— d=zo, C =r A x' + •?. lî J'J ^- C y' H- ?. Dx -f- 9. Ej + 1—0. ( 3«4 ) Dans le plan P, considérons trois dioilcs /, /', l" déliiiirs par les couples d'équations z — d = o, inx -\- ny + p ■=■ o\ ( z- — d = o, il'] ' f ni' X + II' Y H- // =^ o ; \ z — ■" p" ' = I , ^mn-+- J.' m' n' -f- ^" nt" n" = B, u./7?^ -»- ' -\- ^." n" p" 3:^ E. Si l'on ajoute les trois é(|uations précédentes, après les avoir multipliées respectivement pai- p., a' et /:/", on trouve l'équation AL 4- CM -f- N -i- 2BP+2DQ-i-2ER-=o. Anu. de MathémaC, '«^ si-iio, t. \VI. (Juillet 1 S77.) 20 ( 3o6 ) Celle equalioii esl du second degré en a, jS, y, et repré- sente, par conséquent, une surface du second ordre S, En remplaçant a, /3, y para:, 7 , z, et L, M, N, . . . par les quantités correspondantes, celle équation peut s'écrire ainsi : 2 =z A ( c- — r/' ) .r= + C ( c' — r/2 ) j' H- c^ — s- H- ?,B(c' — c/2).rj + 2 Dx ( c= — rfz ) -}- 2 E >■ (c^^ — c?s ) =0. La surface 2 passe par la conique donnée C, car si dans celle équation on fait z = d, on a [c' — r/')(Ax-+ 2B.Î-J + Cj= -H 2D.r-4- 2 E j -<- i) = o, et si le facteur c^ — d^ estdiflérent de zéro, on retrouve, en annulant l'autre facteur, l'équalion dans son plan de la conique donnée. Soit S f a: :=: o, j .:= o, 2; = - I le pôle du plan P par rapport à l'ellipsoïde. On trouve aisément que le plan polaire de S par rapport à 2 a pour équation [(A.= + Cè= — i)^ — r/(Aa2+Cè2) [z — d) = o. ou Donc le plan P a même pôle par rapport à E et à S, ce cjui revient à dire que le cône de sommet S esl circonscril à 2 suivant la conique donnée. Les trois parties du théorème sont ainsi démontrées. Corollaire. — Supposons d = c, alors le plan donné esl langent à l'ellipsoïde proposé. L'équation de Z de- ( :^o7 ) vient [z — c][[ Art' 4- C ^' + 1 I ( ~ + '• ' + ?.r ( D.r + Ky )] = o. Le lieu se compose du ]>lan P lui-même et d'un deuxième plan passant par le diamètre d'intersection des 'leux plans z-{-cz=o, D.7:H-Ex=o. On a donc ce théorème : Étant données une suijace du second degré et une conique située dans un plan tangentà la surface : si par les trois côtés d'un triangle conjugué par rapport à la conique on mène trois plans tangents à la surface, leur point de rencontre décrit un plan. Extension du théorème précédent. Appelons A la première surface donnée et coDcevons (jue par la conique C on fasse passer une deuxième sur- face B du second degré. Soit T le pôle du plan fixe Ppris par rapport à B. Considéions un tétraèdre de sommet T conjugué par rapport à B, il sera coupé par le plan P suivant trois droites /, /', /" qui formeront un triangle conjugué par rapport à la conique C d'intersection de la surface B et du plan P. Si le tétraèdre conjugué en ques- tion tourne, en se modifiant, autour de son sommet T et que par les trois côtés /, /', /" de sa base on mène trois plans tangents à la première surface A, le point de ren- contre de ces trois plans décrira une surface du second ordre S; on a donc le théorème général du paragraphe cité, que l'on peut énoncer ainsi : Étant données deux surfaces du second ordre A et B, si un tétraèdre conjugué par rapport à B tourne en se modifiant, autour d'un de ses sommets T, supposé fixe, et si par les trois arêtes de la hase on mène trois plans ( 3o8 ) tangents à la surface A, leur point de rencontre aura pour lieu géométrique une surface du second ordre S. Cette surface passera par la conique C d^ intersection de la surface B et du plan polaire deT pris par rapport à B, et en outre le plan de la conique C aura même pôle S par rapport à la surface Y, et à la première sur- face donjiée A. Corollaire. — On voit que la surface S et la surface B ont deux sections planes communes, ce qui signifie qu'elles sont doublement tangentes. Si le sommet fixe T du tétraèdre considéré coïncide avec le centre de la sur- face B, le plan P est rejeté à l'infini; l'une des sections planes communes à BetàSestdonc r.ejetée à l'infini: ces deux surfaces sontdevenuesliomothéliques. D'autre part, les trois arêtes du tétraèdre issues du sommet fixe T sont devenues trois diamètres conjugués de B, et comme les droites /, l' et l" sont à l'infini, on a ce théorème : Si Von mène à une surface du second ordre A trois plans tangents parallèles à trois plans diamétraux con- jugués d'une autre surface du second ordre B, leur point de rencontre décrit une troisième surface du second ordre S, homothétique ô B. Cette proposition, donnée sous forme de problème au concours général en 1860, peut se démontrer directement comme il suit : Prenons pour première surface un ellipsoïde rapporté à trois diamètres conjugués, et, puisqu'il n'y a lieu de considérer que le parallélisme des plans, faisons coïnci- der les centres des deux surfaces. Elles auront pour équa- tions A . - + -^+--1 = 0, a- b^ c^ ( B ) A JT- + A'j^' + A" s= 4- •?. Brz -+- ?- B' .n -+- 9. ^" xy — i = o. ( 3o9 ) Désignons maintenant par K =: w! X -\- n y + p z = o, K'= m' X -h n' y -\- p' z = o, K"= m"x + n"y -f- p" z = o trois plans diamétraux de B, et soit M (a, (3, y) le point de rencontre des trois plans tangents à A menés paral- lèlement aux premiers. Un plan parallèle à K = o, mené par M, a pour équa- tion n/x -+- ny + pz — [nnx -\- «^ + p'^) =: O. En exprimant que ce plan et les deux autres analogues sont tangents à la surface A, on a les trois équations de condition — 2 Py np — ?. ay rnp — 2 y.^nin = o, — i^-^/n'p' — i(f.-jm' p' — -xy.^ni' n' =z o, («»— a= ) m"' -t- ( /;' — .8'- ) n"' + ( c' — f)p"' — l^'in"p" — -y.a-im" p" — ■xoi.^m"n" = o. D'autre part, puisque K, K'et K"sont, parliypoihèse, trois plans diamétraux conjugués de B, on a l'identité fxK^H-p'K"-l-a"K'"— I = Ax*-h A'j» H- A"z» + 2B>'3 -h 2B'.'.z+ o,B"xy — i , d'où l'on déduit les six relations fiw'H- u.'m'--+- ^" m"^=. A, yrip -+- fx'// //+ u." n" p" =z B, y n- -1- u' «'' H- p" «"' =: A' , fx w/? -t- fi' «/ // H- •/ m" p" = B', p/7' 4- v//?'' ^ fxV" = A", pw/i-i- fx' /«'//' 4- p" ///"«"= B". Ajoutons membre à membre les équations précédenles ( 3io ) resptctiveineul multipliées par a, u! ol a", et nous obte- nons A u^ -\- A' b- + A" c' = Au'-hA'P'-\- A"r + 2 B|37 + ?. B' av + 2 B" af5. Le lieu du point M est donc une surface du second ordre homoihétique à la surface B. Cas de deux coniques. — Si l'on substitue aux sur- faces A et B deux coniques que nous désignerons aussi par A et B, on aura des lliéorèmes analogues aux précé- dents. Supposons d'abord c|ue les deux coniques aient leurs plans parallèles et faisons c = o dans l'équation 2, le lieu sera représenté par l'équation — [Aa-+Cb^)[z — dY = o. L'expression entre crochets est le premier membre de l'équation d'un cône passant par la conique B et dont le sommet est au centre de la conique A. Le lieu est donc une surface du second ordre inscrite dans ce cône suivant la conique B. Supposons maintenant que les deux conic[ues n'aient pas leurs plans parallèles; prenons pour axe des ) une droite menée par le centre de A parallèlement à l'inier- section des deux plans, pour axe des x la direction con- juguée de cette droite dans le plan de A, et pour axe des z la direction conjuguée de la même droite dans le plan de la conique B. Les deux coniques seront défi- nies par les deux couples d'équations 3 - = 0 ■) X' (l- 4- .J- 6-' ! z-h d = t), \ A r ' -i- Cs- -;- 2 D/ -4- ?. E 3 -h I =: o. ( 3ii ) En appliquant le même procédé de calcul que pour deux surfaces, les droites /, /', l" s'appliquent à la co- nique B : on trouve pour lieu une surface du second ordre passant par B et inscrite suivant cette courbe dans un cône ayant pour sommet un point S, pôle de la droite d'intersection des deux plans de A et de B, pris par rap- port à A. On trouve, en eiïet, pour l'équation du lieti Ab^[x-\-dY+ [a-'- — d^)[ky" + Cz') + «' — .r' + 2 ( «- + dx) ( Dj H- Ez) = o. Cette surface S passe par la conicjue B; le plan polaire du point S ( )^ =r o, r: = o, a: = r ) 5 pris par rapport V " J à !ïl, a pour équation [x -\- d)\kb^d—"- [Xb- ~ i]\=.o ou x+dz=zo. On a donc ce lliéorème : Etant données dans l'espace deux coniques quelcon- ques A ef B, etc. Si l'on suppose d = — a, la suiface S est un système de deux plans dont l'un est celui de la conique B. Si l'on suppose d = o, la conique B est une conique diamétrale de 2, dont l'équation est alors (AA'— i) jr- + rt'(Aj54-C2'+ 2Dj -4- aEz 4- i) = o. ( 3l2 ) PROBLÈiUE DE MÉCANIQUE RATIONIVELLE ; SOLUTIOIV MODIFIÉE Par m. V. HIOUX. Il s'agit de la queslion donnée au concours d'agréga- tion de 1873. La première partie de la solution, publiée dans le numéro des Nouvelles Annales du mois de no- vembre 1874, doit être modifiée comme il suit : Soit B l'angle formé à répof|ue ? par le plan de l'an- neau avec la partie inférieure OB de l'axe vertical BB', autour duquel s'elieciue le mouvement d'entraînement de vitesse constante w. La cliarnière AA' demeure hori- zontale et l'anneau possède un mouvement relatif autour de cette charnière. Soit N un point quelconque de l'anneau, i\e masse dm. Menons NP=7' perpendiculaire sur la charnière, NQ perpendiculaire au plan A0I3 et traçons PQ; l'angle NPQ est égal à B. Traçons encoie QF parallèle à OA jusqu'à sa rencontre avec OB au point F, et enfin me- •_ 3i3 ) lions la droite FjS. Cette droite FN, perpendicularrr^ sur OB, est le rayon du cercle que décrirait le point JN si, à l'époque f, l'anneau se trouvait en lepos relatif. Observons maintenant que la trajectoire relative du point N est une circonférence D, de rayon constant égal a PN, dont le plan est peipendiculaire à la cliarnière AA'. Une seule force eiïective agit sur le point N, c'est son poids p = gdm, dont la projection sur la tangente INT à la trajectoire relative a pour eflet de diminuer l'angle Q. si le point N est pris sur la demi-circonférence ACA'. D'autre part, à cause de la rotation d'entraînement, on doit considérer le point JN comme soumis à 1 action de deux forces apparentes : 1° La force cetitrifuge . — La projection de cette force sur le plan de la circonférence D est /= dm w^FN ^ = ^//i w'KQ, ou enfin y = dniovrsm 9. Elle a pour effet d'augmenter l'angle 0. 2° La force centrifuge composée. — Cette force n'in- flue pas sur le mouvement relatif du point jN, car on sait (ju'elle est perpendiculaire à la tangente NT, direction de la vitesse relative. On j)ouria, par conséquent, se placer dans les condi- tions d'un mouvement absolu en considérant cliacun des éléments dm de l'anneau comme soumis à l'action des deux forces p 7= g dm et y = dm w' /sin 0 . Le mouvement de rotation de l'anneau autour de la charnière AA' est défini [)ar l'écjualion u ■ ij dt' ^ ' (3x4) Calcul de SQ<:/. — La somme des moments des forces/? par rapport à la charnière se réduit à — Mffg sinQ, puisque les points de l'anneau sont symétriques, deux à deux, par rapport à l'axe AA'. La somme des moments des forces^ est 2 dm r- cr sin 9 cos 9 . L'équation différentielle du mouvement est donc Iflrn r- —— = — M paswx 9 + 1dm r' w'- sin 9 cos Ô. dl^ ^ Le rayon de l'anneau est désigné par a. Calcul de "^ dm. r"^ . — Dans cette expression, U y a une première partie égale à Mrt^, puisque la masse addition- nelle M est à une distance OC = « de l'axe AA'. Désignons la deuxième partie par mK^; nous avons à déterminer le rayon de gyratlon K d'une circonférence homogène, par rapport à un de ses diamètres. Soit NJN' = <^5-, menons IN'P' perpendiculaire sur AA' et NI perpendiculaire sur N'P', de manière à former un triangleinfinlmentpetit INIJN' semblable autîlangle OPIS'. Pour déterminer K^, on peut remplacer m et dm par des quantités proportionnelles iTia et ds^ en supposant l'an- neau formé d'une matière continue. On a, par suite, 2 TT « K^ =: Jds /•'■' , rinlégration s'étendant à la circoniérence entière. Les deux triangles semblables JNIiN', OPN donnent di a d'où { 3i5 ) On a, par suite, fds. r-z=aj'r. PP' = « X îra-, d'où résulte immédiatement K'= — 2 Dansée caleul, on a négligé, selon l'usage, les infini- ment petits d'ordre supérieur au premier. La valeur de Hdnii'^ est donc (-™) L'é(|uation différentielle du mouvement est donc fina- lement M + — la^ • — = — Ms'flsinQ -h (M 4- — ) ^j^w'sinG cos9. 2 / clt- \ 1 J Si l'on pose, comme l'indique IM. Gilbert, dans le nu- meio du mois d avril 1077, /= — : — «, la suite du ^ ^ 2 INI problème peut subsister sans modification. OliESTIO^S PROPOSÉES PAU M. S. RÉALIS ( Toir 7.* série, l. XV, p. i;^); SOLUTIONS DE M. MOREAU, Capitaine d'Artillerie. Considérons le développement fin.-":] m'w — I ) , V / -■rr: | — /H (p I X j H ç ' .r ' «p ( ,r -f- 1 — I . •->, m 'm — \]^. . . \iii — / -h I ; If • .r (j» X -H I j . , . '^ r H- / — I I .2 ( 3i6 ) On a aussi /(/// — i,x [m ~ }][///— 1] I .2 (w ' ) ('" "2 ] . . . [/// X :)çp(x+l).. .(i)(a--f-X-— Ijzp. . ., ~ 1 . 2 ... A- et l'on en lire, par soustraction, f[m,x)—f[m — l,.7;) =-?W[»-('«-0?i-^+')+ j^;^^ ^y(.r+ij,p(.r-4-2)-...J OU bien f[m,x]r=Lf[m — j, x) — y(jr)/(/;j — i,.r + i). Comme, d'ailleurs, on a évidemment /(o, j:) = I, la relation précédente permettra, dans certains cas, d'obtenir, sous une forme simple, la valeur de ^^(frz, or) lorsque m est un nombre entier positif. Soit, par exemple, a.r-Arp on a f[m, x] =fyin — \yx) —- /[fil— i,x -h 1 avec la condition iniiia]ey^(o, .r) = i. De là, on déduit successivement r/ \ (ix-\-r f[l,X]z=.l — ax -h (/ (IX -\- f/ /(2,J^] /(3,^] ( 3i7 ) ax -\r p <7 — p a.T-\-(j ax -\- q n\x -\- \^ -\- q [n — p)\H — P -^ <^) ^ [nx -^ q] [ax + !- q -]- -y.n) La loi de formation des valeurs de^ (m, x) est évi- dente; il est facile de voir, en outre, que, si elle est vraie pour m, elle est vraie aussi pour m -}- i 5 on peut donc écrire y /^^ _^l _ [g — p)[q — P -^ u) -..[g — p -\- [m — i)a] [ax-\-q][ax -{- q + a)...[ax -irq ->r-[m — l)a'\ Pour simplifier, faisons maintenant a: = o, ce qui ne diminue en rien la généralité de la formule obtenue, et nous pourrons dire que l'expression [g — p)[q — P + a) • . .\q — P ^ [m — lU] 9 ( r/ H- a ) . . . [<■/ H- ( /« — i j « J (ians laquelle m est un entier positif et ;>, ^, a sont des nombres quelconques, se développe dans la suite ter- minée P p\p -î- fi] m[m — 1 g g [g ~^ "1 ' • ^• p[p -\- a) [p -+- r>.n] m [m — i)[m — 2 ] y ( r/ H- rt ) ( y -h 2« ) \ .1.6 Les trois (jnostions proposées sont des conséquences ( 3i8 ) de cette propriété. Il faut prendre respectivement Première question «' = 2 j) = i (7 = /?+i Deii.r.ièmc question .... a = "X p :=^ n q :=z n -\- \ Troisième question .... n =: i p =z n «y rr^ /? + 2 Note. — Autres solutions de iMiM. Kourguet, de ^'irieii, Moret- Blanc. OIESTION PROPOSÉE PAU M. BOIIRGIET ( voir 2' série, t. XVI, p. iSi ); SOLUTION DE M. A. MUFFAT, Elève en Mathématiques spéciales au lycée de I.yon. Ti'ouK'er les racines rie l'équation 1 .r .T'v — i j 2 j: -+- I (.r 4- i] [jr -f- 2' xi.T ï] Ix 1) Lt -h l]{.r -h 9.]{x -+- 3) f^ Réduisons ensemble les deux premiers termes, il vient X — I xix — r ] 2 ( .r H- I 1 ^ .r -t- I H j; -}- 2 ) L'équaiion admet donc évidemment la racine i. Si nous divisons par .r — 1 pour supprimer celte racine, et si nous multiplions par .r + i, ce qui n'introduit aucune racine étrangère à Téqualion, nous avons, en changeant les signes, I X x^yX — i;-) 2 X -^- 7. (.r + 2) (07+ 3) x[x — 2 ] ( .r — 3 ) I .<■ -i- 2 n :*• -4- 3 I ^ .r -t- 4 ; ( 3i9 ) Réduisons encore ensemble les deux premiers termes, on a 9, .r{.T — 2 2 ( j: -h 2 ) ( .^: H- 2 ) ( .r H- 3 ) L'équation admet, par suite, la racine 2. Il est facile de démontrer que cette équation admet tous les nombres entiers pour racines : supposons que les n — i pre- miers nombres aient été trouvés pour racines en simpli- fiant chaque fois l'équation, on arrivera à 1 .r xi a: — ;? ) O -— • -h : -. ^ 2 X -\- n [X -\~ n j [.T -+- /i -+ ij .t{ X — n] \x — in — • I il ^ ■ ^ h . . . , yx -Jr fi)[.T -\- n + I j ( ^ H- « -h 2 ) et, en opérant comme plus haut, X — n :r \ X — n ] l[x ~r- n] [x -\- n 'j [X -\- n -\- i 'i Ainsi X = n est encore racine. Nous avons vu que I et 2 étaient racines, donc 3, 4? • • • sont aussi racines, et, par suite, l'équation proposée admet pour racines tous les nombres entiers positifs. C0\C01RS ft'ADMISSiO^ A L'ECOLE SPÉCIALE MILITAIRE •1877); Mathématiques (3 heures. Peemièrf. qukstion. — Calcul Ingnritlimirjue. Dans le triangle ABC on donne; A = 1 28"47'35", AB=:= 8344"',27, AC= 5862"'.35, et l'on demande de calculer les an{.^les \S et C^ et la hauteur abaissée du sommet A .^ur le côlé R(]. ( 320 ) DEUXIÈME QUESTION. Résoudre l'équation x -f- \ja- — x- =^ Z>, dans laquelle les quantités données a et h sont supposées réelles et positives. Donner la condition de réalité des racines et, en la supposant remplie, examiner si les racines satisfont toutes à l'équation. TROISIÈME QUESTION. On donne un demi-cercle construit sur AB comme diamètre et Ton mène la tangente BT au point B. Cela posé, on demande de mener par le point A la sécante AJVIN (M et N étant les points oti elle coupe la demi- circonférence et la tangente BT), telle que si Ton fait tourner la figure autour de AB, le volume engendré par la portion de cercle AMB soit équivalent au volume en- gendré par la surface MNB qui est limitée par les droites MN, NB et l'arc de cercle MB. Épure (2'^3o'"). On donne un point S dans l'espace, sltué^ à 45 milli- mètres au-dessus du plan horizontal et à 60 millimètres en avant du plan vertical de projection. Ce point est le sommet de deux cônes droits à base circulaire. Le pre- mier de ces deux cônes repose par sa base sur le plan horizontal de projection : son axe est en conséquence vertical; le second cône a son axe perpendiculaire au plan vertical de projection contre lequel il s'appuie par sa base. Le rayon de base de chacun de ces deux cônes est de 36 millimètres. On donne aussi un point O situé sur l'axe du second concentre la base et le sommet S et à 17 millimètres de ce sommet. ( 321 ) Cela posé, ou demande : i" De construire les projections de l'ensemble des deux corps ; 2" De mener, par le point O, un plan vertical faisant un angle de 4^ degrés avec le plan vertical de projection, et de construire les projections des sections faites dans les deux cônes par ce plan 5 3" De mener par l'un des points où la trace hori- zontale du plan sécant rencontre la base du premier cône un plan tangent à ce premier cône^ 4° Enfin de mener un plan tangent au second cône perpendiculairement à ce premier plan tangent. PIBLICATIONS RECENTES. 1 . Tegria dei flochi belle conicue (Geometria proiettiva), dettata agli alunni dell' Istituto tecnico di Girgenti, neir anno scolastico 1 8^5-^6 5 pcr Fcràinando Pisani, professore di Materna tiche superiori e Geometria descrittiva. — Napoli, stabilimenlo tipografico dell' Unione. Strada Nuova Pizzofalcone, 3 (1877). 2. DlMOSTRAZIOIVl GEOMETRICHE DELLE PRIKCIPALl FOR- MOLE DI Trigonometria 5 per Fernando Pisani^ pro- fessore di Matematiche superiori e Geometria descrit- tiva, presso gli Istituti tecnici. — Napoli, stabilimenlo tipografico dell' Unione. Strada Nuova Pizzofalconc, 3 (1877). 3. Formole empiricbe per Tldraulica sperimentalc, nuove formolç per le porlate del Po e del Tevere. Ap- pendice air Idraulica matematica c pratira dell' inge- ^Inn.dtr Mot/icmat., 1* ^crie,l. \VI. (.luillpt 1S7;.) ?• I ( 322 ) guvve Ildebrando JVazzani, professore nella R. Scuola superioie délie Minieie di Palermo. — Palermo , Luigi Pedone-Lauricl, edilore (187^). — Pr( zzo : lire; ire. BIBLIOGRAPHIE. Traité d'Algèbre élémentaire, rédigé confornié- ment aux Programmes officiels 5 par II. Signol, profes- seur de Malhématiques , à Paris, i volume in-8, de 336 pages. Prix : 4 ^^- 5o- Ce qui frappe tout d'abord en ouvrant ce livre, c'est l'ordre et la disposition des matières, leur aménagement pour ainsi parler. Cet ordre méthodique et la clarté qui en résulte ont élé l'objet constant de la préoccupation de l'auteur, comme il If- dit lui-même dans les premières lignes iif\.[x, y, a) = o. 2° Soit R la valeur donnée du rayon de courbure; on obtiendi-a le lieu des points où il a celle valeur en élimi- nant a entre l'équation (i) et dy-\ ' dx' d-Y 7Ix^ = R, où -~ et — - ont les valeurs déduites de l'équation (i). application aux paraboles du même axe et de même sommet. Les équations sont alors ( 1 ) r^ — ^.y.x = (), (2) ni y — a = o, (3) ±(i^^±:I^::=R. c/.' L'élimination de a entre les deux premières donne y ( V — 2/».r) =; O. La solution } = o correspondau cas limite où, \v, para- mètre devenant nul, la parabole se réduit à deux droites coïncidenlesy- :i=:o, que toute droite coupe en deux points coïncidents. La solulion^rr: 'imx correspond aux vraies paraboles. ( 328 ) Ce résultat pouvait être prévu sans calcul : en effet, les paraboles de même axe et de même sommet sontho- motliétiques, et le sommet est le centre dliomotliétie; les points homologues, où les tangentes sont parallèles, sont donc sur une droite passant par le sommet, et dont le coefficient angulaire est double de celui des tangentes, puisque la sous-tangente est double de l'abscisse. L'élimination de « entre les équations (i) et (3) donne ou, en coordonnées polaires, /•^ ( I -H 3 cos^ 6 ) ' = R'sin' 2 Q, équation du lieu des points où le rayon de courbure est égal à R, La couxbe étant symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées rectangulaires, il suffit de considérer R sin iQ ' — 1' (i4- 3cos^9)' en faisant varier 0 de zéro à -• 7' s'annule pour 6 = o et pour Q = ~. En égalant sa dé- rivée à zéro, on obtient, pour déterminer la valeur de 0, qui rend le rayon vecteur maximum, tang* 9—6 tang^Q — 4 ^ o> d'où tang20=3-}- v/i3, 9 =68" 44' 23". La valeur maximum de /• est sensiblement /•= o, 4iR. La courbe est donc une rosace à quatre feuilles dis- posées symétriquement par rapport aux axes, mais non symétriques par rapport au ravon vecteur maximum. ( 3^9 ) yt/pplicalion aux ellipses ayant un axe commun. Les équations sont, dans ce cas, I - + -,-1 = 0, a- 7/ (2] _ + ,,,_:=0, ^^) — ^^"^^^ — -^- L'élirninaiion de a. enlre les deux premières donne xj — m ,r ' + rua- :=: o. Cette équation, étant indépendante du signe de b^, con- vient aussi aux hyperboles ayant pour axe transverse l'axe donné. C'est une hyperbole ayant pour asym- ptotes les droites x = o, y= mx. La partie de la courbe comprise entre les abscisses x ^:^ -\- a al x =:: — a cor- respond aux ellipses, et le reste de la courbe aux hyper- boles. Si l'on élimine a entre les équations (i) et (3), on obtient équation du lieu des points des ellipses et des hyperboles — zh i = o, où le rayon de courbure est ésral à R. C'est une courbe symétrique par rapport aux axes. L'équation développée est du troisième degré en y^x l'une des lacines est néga- tive, sauf pour .r* = a*, où les trois valeurs de r" sont ( 33o ; nulles : les extrémités tie l'axe dont)é sont donc des points sextuples. Pour X -■= o, les trois valeurs de y~ sont a' — , -1--^, -co. Ainsi, x'- croissant à partir de zéro, deux racines se- ront positives et ne pourront devenir imaginaires qu'en devenant d'abord égales. Posons ( rt- — .r' ] - -1- X- 7' = Il . Les valeurs de y" seront réelles, ou égales en même temps que celles de u. L'équation devient te ^ ^- u H !^ L — o. x- :r- La condition de réalité des racines est Lorsque x varie de zéro à «, la valeur maximum de l'jx' [o^ — x~Y est 4^-^'-^ donc si R<^r/, le premier membre de la relation piécédente s'anjiulera pour deux valeurs de x comprises entre zéro et r/, et pour une troi- sième valeur plus grande que a. Soient Xi, x.,, JTg ces trois valeurs ; ji, /«iJTs ^cs valeurs correspondantes de j. A raison de la double symétrie, il suffit d'étudier la partie de la courbe située dans l'angle des coordonnées positives. Une brandie coupe l'axe desj^ au point j}=—-? s en écarte jusqu'au ])oint (xi,7'i), puis s'en rapproche in- définiment en avant cet axe pour asymptote. Entre les abscisses x*, et x^, il n'v a aucun point de la courbe. Au ( 33i ) point (Xo,y\) commence une boucle cjui va se fermer au point X = a,y =: o; ])nis une nouvelle boucle, plus pe- tit(' que la première, commence à ce point et va se fermer au point (x-i^js) : l'abscisse x^ limite la courbe. Si l'on a R^rt, les boucles intérieures se réunissent à la partie centrale, et il n'y a plus de solution de con- tinuité. Dans le cas particulier où R= o, l'équation (4) se dé- composent en deux autres : x^ -{- r ' — f/-= o, .t"}-* 4- far' — a- ; ''2.r' — 3«' ' x* y- -\- [x^ — a^]^^= o. La première représente le cercle de rayon <7, solution évidente a priori. Pour X- Ac, Ka sont égales entre elles, comme étant les projections de deux diamètres du cercle, faites sous des angles égaux à a ('•'). Note. — Autre solution géométrique par M. Th. Franohy, maître répé- titeur au lycée de Moulins. Solutions analytiques par MM. Morel-Blanc; Lez; Pisani; Sondât; Jules Freson; Georges Lanibiotte; Louis Thuillier, du lyc^e d'Amiens; Cauboue; Paul Souverain. Question 1229 (voir p. s39); Par m. Ch. RRUNOT, Élève en Mathématiques spéciales au lycée de Dijon. u Si les trois racines de l'équation x^ — "iqx -\- r = o sont réelles, chacune d'elles est moindre que ^sjq'i mais, si une seule de ces racines est réelle, sa ualeur surpasse 2 \!q. n (R.-W. Genèse.) i" En siipposant 1rs tiois racines réelles, on a — 47^-1- /^er- Ijcndiculairc sur a A, en son milieu S : donc PA = Va = PD. La circon- férence décrite du point P, comme centre, avec P« pour rayon, passe aux points a, A, K, C, D. Le quadrilatère «BCD inscrit dans le cercle est un carré. L'angle I5AC est droit. Les droites AB, AC font, avec l'axe A a de la parabole, des angles de f\b degrés. (*) Les points b, c sont les projections de B, C sur la directrice AD de la parabole, qui forme des angles de /|'i degrés avec les côtés AB, AC de l'angle di'oit du triangle BAC. On a f>c = BC cos«. Le point n est le centre du carrQ construit sur l'hyiiOténusc BC du triangle BAC, et Art := oD cns« ^-. BC ros<7 : donc A a r— hc. ( 334 ) ou [r—iq ^(]){r-\- 27 sj <{ } < o, ce qui donne /• — 27V7 les bissectrices des angles d'un triangle, opposés aux côtés rt, Z>, c\ démontrer (jue / B A C c I i>n cos — -f- inn cos pin cos — . / A C B\ b iiin cos — h pm cos pn cos — = \ 2 2 2/ / B C A\ a I np cos h pin cos pn cos — j = nui p. 1245. Toute corde menée par le loyer d'une pa- rabole est égale au quadruple du rayon vecteur du point de contact de la tangente parallèle à cette corde. (P. Sondât.) 4246. Théorème. — a. h, c^ . . ., A étant des quan- tités inégales, on a I ^ .[" — ^)H'^ — ^Y[" — /■)' Soient, pai- exemple, a '-=: 2, />=5, rr-j, li — ( 336 l'égal i lé (A ) de vient I 1 1 \ / I I I \ / I H -T - 2 bj \ 9.4. 36 I I I -+- 1 — 1 5 2 4/ \25.4 . it) I I 1 \ / I 9 ti ' 4/ \t)i .36. (6^ (Catalan.) 1247. Dan'S les surfaces du second ordre à centre unique, ce centre pouvant d'ailleurs élve situé à dis- tance finie ou infinie, le lieu des points tels que les gé- nératrices rectilignes, réelles ou imaginaires, soient orthogonales, est donné par l'intersection, réelle ou imaginaire, de la surface considérée, avec la sphère de Monge, relative à cette même surface. (Escary.) 124'8. Démontrer que yy est égal à la limite du l'ap- port des deux séries •i ^ -r- . . . , dans lesquelles chacun des dénominateurs est donné par la relation D,,^, = 3D„+, — D„. (E. Lucas.) Rectifications. — Page 219, ligne i3 : att lieu de l'axe des paraboles, Usez l'une des paraboles. n 1- 7- j v^B'— aC Page 2'i2, ligne 2 : an lieu de — — 5 il laut 2v/B» — aC I 1 l 1 I I I -H "r T -^ 7, + ■ . . , et — - - 7 + — I 2 5 10 I 4 1 1 ( 337) CÉXÉRATION DE CERTA1^ES SURFACES PAR LEURS LIGNES DE COIRRIRE; Par m. E. AMIGUES, Professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Nice. 1. Les trois équations (2) f,{x,f,z]=v, (3) fiy-,-') =0 contiennent, outre les variables x, y, z, les variables auxiliaires ^ et v, que l'on pourrait éliminer. Le sys- tème de CCS trois équations représente Jonc une sur- face A. L'équalion (i) représente une famille de surfaces, l'é- quation (2) une autre famille, et pour tout système de valeurs de p. et de v, qui est solution de l'équation (3), l'ensemble des équations (1) et ( 2) représente une courbe tracée sur la surface A. On peut regarder cette surface A comme engendrée par ces diverses courbes. 2. L'équalion de la surface A en coordonnées recti- lignes est évidemment Le plan tangent en un point X) z de celle surface a donc pour équation yittii. de Malhéinnt., x" séiie, t. XVI. (\oiU 1S77.) 11 ( 338 ) Par le point xjz passe une des courbes génératrices, qui est rintersection des surfaces (5) /{•r,r,^':=y-., (6) /■ (-^.J, -; =--'l- Les plans tangents menés en ce point à ces deux sur- faces sont représentés par les équations (7) (x-«)|-^(Y-r)|+(z-=)f = o, (8) (X-.)|+(Y-^)| + (Z-.)|=o. Considérons les trois plans tangents (4), (7), (S) qui contiennent tous trois la tangente au point xjz de la ligne d'intersection des surfaces (5) et (6). Soient d'ailleurs X, Y, Z les coordonnées d'un point du plan tangent (4)- En désignant par p el pi les distances de ce point avec deux autres plans tangents, nous avons P = P^ = fr-(fy--(f D'après ces valeurs, l'équation (4) devient 'h , / (^fV , ('IfV , (''fV p —L t / , , , , . 1 ( 339 d'où l'on tire Il peut arriver que le rapport d.r qui est inde'pendant de X, Y, Z, soit en outre le même tout le long de la courbe considérée, c'est-à-dire que, si l'on tire x el y des équations (5) el (6) pour porter dans ce rapport, la variable z disparaisse d'elle-même. Dans ce cas-là on a PI 3. Imaginons que toute courbe (fij, v, ) tracée sur la surface A soit ligne de courbure sur la suiface [j.^ et aussi sur la surface Vi. Alors ces deux surfaces f/i et Vi se coupent sous un angle constant tout le long de cette ligne de courbure commune. Si, en outre, le rapport 2(iy cesse de contenir z dès que l'on y porte les valeurs de x et de / tirées des équations (i) et (2), le rapport - Pi est constant le long de chacune de ces courbes généra- trices. D'où il faut conclure que la surface A, tout le 22. (34o) long (le chacune de ces courbes génératrices, coupe sous un angle constant chacune des deux surfaces dont celte génératrice est rinterscclion -, et, par conséquent, que ces courbes génératrices forment une série de lignes de courbure sur la surface A. La conclusion de ce qui précède est facile à tirer. Toutes les fois que l'on aura trouvé deux familles de surfaces (9) fi--^,!, z]'-^y-, (10) /("C, j, 2) =v, telles que l'intersection de toute surface de la première famille par toute surface de la seconde soit une ligne de courbure commune, et telles eu outre cjue le rapport ■'A clx ne contienne plus z dès qu'on y portera les valeurs de x et àe y tirées des équations (9) et (10), alors toute équa- tion représentera, quelle que soit la fonction cp, une surface engendrée par ses propres ligues de courbure. 1. Soit un système triplement orthogonal J\[x,y,z] = r,^, Supposons que ce système satisfasse à celte condition ( 34i ) que le rapport V -^ \ d.r 'If. dx ne dépende pas de p, quand on y remplace x^y, z par leurs valeurs en fonction de p, pi, p,* S'il en est ainsi, toute équation telle que (p(p, p, j =o représente une surface dans la(juelle les lignes de cour- bure de la première série sont les intersections de sui'- facey^avec des surfacesyi. La seconde série est alors facile à trouver-, car toute surface /s est perpendiculaire à toute ligne de courbure de la première série, et par conséquent coupe la sur- face cp suivant une ligne de courbure de la seconde série. On voit combien il y a intérêt à cbercber les systèmes orthogonaux qui satisfont à la condition précédente. Adoptant les notations de M. Lamé, nous écrirons ds-' = H-dp' ^- ïi\dp] -+- Uldpl. Les formules élémentaires de la lliéorie des systèmes orlliogonaux nous donnent jLi\d.v 1 11 f ^\dx) 11= Il s'agit donc de chercher les systèmes orthogonaux pour lesquels le rapport — - ne dépend pas de p^. Soit G une fonclion de p et de p^ ne contenant pas ^o,, on a (m) H = H, g. Considérons alors avec M. Darboux les six quantités ( 342 ) définies par la formule suivanle, où j est dillérent de i: D'après cette définition, on a c'est-à-dire, en difïérentianl réqualiou (i i), et, par suite, (i3) pv„ = Gp„. Or M. Darboux a justement étudié les systèmes qui satisfont à la condition (i3), et il a fait voir que leur reclierche se ramène à celle d'une fonction V des trois variables p, pi, p^, fonction qui est déQnie par l'équation dilTérentielle suivante : dans laquelle P el Q sont des fonctions de p et pi seule- ment et ne contiennent pas p^. 5. Soit f(r y z]= (•^-^,r-+-(j-^)'+(z-r.)^-R^ Considérant alors les deux familles de splières ( 343 ) on obtient sans difficulté [dfy _ (A^ -H B=+ C^)p2H-4(A« + Bé + Ce H- D;,fxH-4R' 2^\dx \dxj (Ajth-Bj + C^H-D)' et, par conséquent, ^\d.rj _ (A^+ B^+ C')v'+ 4(Afl, +B^>, + Cr, +D!vH-4R^ d/y~ (A^ + B' H-C';(x' + 4;a« -f-B6 + cc+ D ^c^- 4 R'^' Ce rapport ne dépend que de ^i et v. Comme, d'ail- leurs, deux sphères se coupent suivant une ligne de courbure commune, si l'on représente par (j' une fonction quelconque, Téquation flfi^fX, z)^ /. l-^, J, z)] = o représente une surface engendrée par ses propres lignes de courbure. En laissant la fonction <^ arbitraire, on a toute une famille de surfaces analogues. Nous allons étudier cette famille ç. Toute splièrey passe par un cercle fixe situé dans le plan Ax-h Bj-t- Cz + D = o. Toute splière f^ passe par un' autre cercle fixe situé dans le même plan. Ces deux cercles, situés dans un même plan, se coupent en deux points A et B réels ou imaginaires con- jugués. La courbe génératrice, intersection d'une splière J et d'une splière /i, est un cercle variable assujetti à passer par deux points fixes A et B réels ou imaginaires conjugués.. Pour ce motif, nous appellerons toute sur- face o une gyrocyclide. Le tore est la plus simple de ( 344 ) toutes. On voit tout de suite que, si l'équation \X X ou encore (20) Y[x,y) = o. Si l'équation d'une gyrocyclide est donnée sous la forme (i8) ou (19), le lieu des centres s'obtient sans difficulté. On n'a qu'à remplacer dans l'équation (iS) p et V par leurs valeurs (16). L'équation polaire du lieu des centres est ainsi / on \ ^ \ =* ' cosw/ et son équation rectiligne (ai) 'f[-'— ^ ^J=- L'équation (21) prouve que, pour avoir le lieu des centres, il suffit, dans l'équation (19) de la gyrocyclide, de remplacer z par zéro, et — K par x^- -+- y^. L'équation (21) fait voir aussi que, si la gyrocyclide est algébrique, la courbe lieu des centres est algébrique et du même degré. Si Téquation de la gyrocyclide est donnée sous la forme (20), pour avoir le lieu des centres, on rem- placera aussi dans l'équation ('-o) z par zéro, et — K par x^ -+-J^^ Le problème est donc complètement résolu. (348 ) Traitons la question inverse. On donne le lien des centres dans le plan des xy et les deux points A et B sur l'axe des z équidistanls de l'origine. On veut trouver l'équation de la gyrocyclide. Le lieu des centres est donné en coordonnées rec- lilignes. On passe aux coordonnées polaires ii et w. Por- tant alors dans cette équation les valeurs de ii et w tirées des formules (i6), on obtient une équation entre u et v, qui est l'équation (i8) de la gyi'ocyclide. Remplaçant p. et V par les valeurs de la formule (17), on aura l'é- quation de la gyrocyclide sous la forme (19). Ainsi, pour le tore, l'équation polaire du lieu des centres des cercles générateurs est (22) n' = d-; or des équations (16) on tire 4(1 -+-p.^) Portant celte valeur dans l'équation (22), on a pour équation du tore ou encore . [x- + j- -+- z- — K )- = 4 ''^^ ( ^^ ~t- y^ ) • 8. La construction de la surface se ramène sans difli- culté à celle de la courbe lieu des centres des cercles générateurs. Soit en elfet /• le rayon du cercle générateur L On a /•= =z u- -i- K. Si donc on suppose la courbe lieu des centres déjà tracée, on aura sans peine la surface en construisant le cercle 7- pour chaque point I de cette courbe. ( 349 ) Si K ^ o, les points A et B sont réels et l'on a Dans le cas contraire, posons alors r- = u- — b^ ; sur a comme diamètre on décrira un cercle, et du point O comme centre avec b pour rayon on décrira un second cercle coupant le premier en FI. IH sera le rayon du cercle générateur. 9. Dans le cas où les points A et B sont imaginaires, Firr. 3. le volume limité par une gyrocyclide se met sous la forme d'une intégrale simple OA' = K = — ^=; b représente la longueur de la tangente menée du point O au cercle, car on a /•- = li- — b-. De celle relation on lire rdr = u (lu , dr u - = -, (/u r ( 35o ) c'est-à-dire que dr^dii. Alors le volume limité par la gyrocyclide et par deux plans voisins menés par AB, et faisant entre eux un angle Ao), est compris entre deux fractions de tore, de telle façon qu'en désignant ce volume par AV on a TT/-^ . 27T« — <; A V <; TT ( /■ 4- A/- - 2 7r M -H Am î d'où Ton conclut dy ^ t: r^u dot = tt ( «' — è^ ] « r/w . Le volume compris entre deux plans menés par AB est donc Si la courbe lieu des centres est simple, on calcule aisément cette intégrale. Cela arrive en parliculier si cette courbe est une spirale. 10. Nous avons constaté qu'on pouvait circonscrire une splière à la gyrocyclide le long de chaque cerclf générateur. Il en résulte que toute gyrocyclide peut être envisagée comme l'enveloppe d'une splière va- riable. Nous allons étudier la surface à ce nouveau point de vue. Deux cercles générateurs quelconques sont sur une même sphère bi tangente à la surface aux points A et B. Si leurs plans se confondent, cette sphère bitangente devient tangente à la surface tout le long du cercle générateur. De là une nouvelle démonstration de ce fait que les cercles générateurs forment une première série de lignes de courbure, et aussi que l'on peut trouver une sphère tangente à la surface le long de chaque cercle gêné- ( 35i ) rateur, remarque qui donne aussitôt les lignes de cour- bure de la seconde série. Les sphères tangentes à la surface le long de chaque cercle générateur passent toutes par les points A et B réels ou imaginaires et ont pour lieu de leurs centres une courbe située dans un plan perpendiculaire au milieu de AB. Soit I le centre de l'un des cercles. La sphère tan- gente à la surface le long de ce cercle aura son centre G Fig. 4. sur une perpendiculaire menée par I au plan du cercle. Le carré du rayon de cette sphère sera GA ou bien GO-f-K. Si l'on imagine une sphère ayant pour centre O, et pour carré du rayon — K, cette sphère sera évidem- ment orthogonale à la précédente. Elle sera imaginaire si les points A et B sont réels, et réelle si les points A et B sont imaginaires. Ainsi, la gyrocyclide est l'enveloppe d'une sphère dont le centre décrit une courbe plane et qui passe en outre par deux points fixes réels ou imagin^iires con- jugués, symétriques par rapport au plan de cette courbe. ■ Ou bien encore la gyrocyclide est l'enveloppe d'une ( 352 ) sphère dont le centre décrit une courbe plane et qui reste oriliogonale à une sphère réelle ou imaginaire dont le centre est dans le plan de la courbe. 11. Désignons par (B) la courbe lieu des points I, centres des cercles générateurs, et par (C) la courbe lieu des points G, ceulrcs des sphères enveloppées. Fisï. 5. Soient G et Gj deux points voisins de la courbe (C). Ces deux points sont les centres de deux sphères. Ces deux sphères se coupent suivant un cercle dont le plan est perpendiculaire à GGj et dont le centre est sur GGj. Comme, d'autre part, le plan de ce cercle passe par A et par B, aussi bien que les sphères, son centre doit être le pied I de la perpendiculaire abaissée du point O sur GGj. Si alors on considère que GG, est une tangente à la courbe (C ), on voit que la courbe (B), lieu du point I, est la podaire de la courbe (C) par rapport au point O. Si donc la courbe (C) est de classe /:>, la couibe (B) sera en général d'ordre -ip. Si la courbe (C) est une conique, la courbe (B) et la surface seront en général du quatrième ordre. 12. Etudions à ce propos quelques propriétés des podaires. Soit G un point quelconque de la courbe (C) et la ( 353 ) tangente en ce point. Du point fixe O abaissons une perpendiculaire 01 sur cette tangente : le lieu des points I est la courbe (B), podaire de la courbe (C ). Fig. G. 0 Soient u = 01 et w l'angle de 01 avec une droite fixe , L'é(juation polaire de la courbe (B) est une relation entre u et o:», et il est clair que GI est une fonction de u et de w. On trouve sans peine GI = -r-- Il n'y a pour ^ doi '' '■ cela qu'à considérer la courbe (C) comme l'enveloppe des droites IG, obtenues comme il suit. On joint le point O aux divers points I de la courbe (B), et par chaque point I on élève à 01 une perpendiculaire. Cette formule simple GI du doi peut s'interpréter géométriquement de bien des ma- nières. Soit V l'angle du rayon vecteur 01 avec la tangente en I à la courbe (B). Soient, en outre, On sait que OG = w,, OGI tangV V., u du Ain.de Miit/iiinac., 2" sci\e, . XVI. (Aoiit 1S77.) ( 354 ) D'autre part, le triangle lOG donne tangV. = £. On conclut de là V = Vj. Ainsi aux points correspondants des deux courbes la tangente fait le même angle avec le rayon vecteur. On peut dire encore cjue la longueur IG est la sous- normale de la courbe (B) au point I5 d'où la construc- tion suivante pour le point G. On mène ON et IG, per- pendiculaires à 01, ainsi que la normale IN au point I de la courbe. On complète le rectangle lONG. Le som- met opposé au point O est le point G. On peut encore traduire autrement la formule car soient ds et <^5, les longueurs de deux arcs infini- ment petits en I et en G, on a c/u r= ds COSV , du, = f/^iCOsV,, et, comme V = Vj, du ds du 1 di'i 13. La section normale faite dans la gyrocyclide par le plan TiMG {f§- 4) ^st une section principale. En appliquant le lliéorème de Meunier au cercle généra- teur, on voit que MG est le rayon de courbure de celle section principale. La valeur de MG, qui est aussi le rayon de la sphère enveloppée, se calcule d'ailleurs sans peine : = , , fdu ( 355 ) ou encore En désignant par w l'angle GMI, on a évidemment du dùi tang«'r= -— :^ \liû + K L'équation qui carariérise les gyrocydidcs pour les- quelles cet angle -w est constant est, d'après cela, (lu = A rt w , d'où l'on lire V' «' -i- K C K 2 2C C étant une constante arbitraire et a étant égal à e^. Cette équation définit les gyrocyclides considérées. 14. Les gyrocyclides du quatrième ordre sont des enveloppes de sphères dont les centres sont sur une conique et qui restent orlliogonales à une sphère fixe ayant son centre dans le plan de la conique, et dont le carré du rayon est — K. Prenons pour axes de coordonnées les axes de la conique et une droite menée par son centre perpendi- culairement à son plan. La conique est représentée alors par les équations Nous supposerons A — B ^ O, et aussi A ^ O, et nous appellerons y/A le demi-grand axe. Le centre de la sphère donnée a pour coordonnées 23. ( 356 ) Dans ces conditions, on trouve facllemeut l'équation de l'enveloppe des sphères. Cette équation est ■y- -h z^ — a- — h' — Kj- \'i La seconde série de lignes de courbure se compose de cycliques. 15. Pour h = o, la surface a un second plan de sy- métrie, et son équation devient (23) {x'-\-j' + z^ — «= — K)= =4A(x — a]- -f-4Bj=. Il est naturel de chercher si, dans certains cas, ces deux plans de symétrie ne jouent pas le môme rôle. Re- marquons à cet effet que l'équation précédente peut s'écrire [x- -h y^ -\~ c* — rt'— K — 2B) = 4A-(-^ — «)' +4bj-' — 4B(.r'-+-j'4- z'—a' — K] -h^B', OU bien - l {x^^ y'+ z-' — a' — K — 2BY (24) I =4(A — B).r= — 8A«.r ( +4(A +B)rt'+4KB + 4B^ — 4B3^ y et z n'auront fait que changer de rôle dans les équa- tions (23) et (24)5 si le second membre de cette der- nière, abstraction faite du terme en 2% est un carré parfait en x, c'est-à-dire si l'on a (25) B«' = (A — B)(B + K). Il est facile de traduire cette condition géométrique- ment : elle signifie que la sphère donnée est bilangente (357 ) à la conique donnée; la corde des contacts a pour équa- tions (26) 2 = 0, ^ = ^^:z-^' Pour la valeur de K, fournie par l'équation (aS), l'équation (24) s'écrit = 4 A — BlL ce qui prouve que la gyrocylide est aussi l'enveloppe de sphères dont les centres sont sur la conique réelle y A — 15 B et qui restent orthogonales à une sphère fixe ayant pour centre ka x=^— ^, y=o, 3 = 0, et dont le carré du rayon est facile à trouver. Consi- dérons pour cela l'équation (23), où le carré du rayon s'obtient en prenant la partie constante qui est dans la parenthèse du premier membre, et en lui ajoutant le carré de l'abscisse du centre a. Opérant de même dans l'équation (27), c'est-à-dire ajoutant à la partie constante qui est dans la parenthèse du premier membre le carré de l'abscisse du centre ■) on obtient pour carré du rayon de la sphère fixe A — B '■ -^ '^ A — B (A — B]' / Remarquons que le cenlre de la seconde sphère est ( 358 ) sur la corde des contacts de la première conique et de la première splière. On voit ainsi que la surface, pour la valeur de K donnée par l'équation (aS), est susceptible d'un second mode de génération absolument analogue au premier. La seconde série de lignes de courbure se compose donc de cercles générateurs coupant tous aux mêmes points la droite Aa o, X = c'est-à-dire la corde des contacts de la première conique et de la première splière. Les points fixes de ces nou- veaux cercles sont d'ailleurs les points de contact. En d'autres termes, pour la valeur de K donnée par l'équation (23), on a la surface de Charles Dupin. On pourrait l'appeler la digyrocjclide. On s'assurera aisément que, dans la digyrocyclide, la première conique et la première splière d'une part, et d'autre part la deuxième conique et la deuxième sphère, jouent absolument un rôle réciproque. Ainsi les foyers de l'une des coniques sont les sommets de l'autre. 16. Si, au lieu de supposer Z> = o, on avait supposé a = o, on serait arrivé au même résultat, mais la deuxième conique eût élé imaginaire. Si l'on suppose « = Z» = o, les résultats précédents subsistent, mais ils deviennent un peu plus simples. Enfin, si l'on a en même temps a = b ^ o et A = B, on obtient ce qui est le tore. ( 359 ) 17. Examinons un autre cas iuléressaDt : soit la conique fixe 2 = 0, — + — = r . Posons, comme d'habitude, ar — b'- ^= c% soit a le rayon de la sphère fixe, que l'on suppose réelle, et soient j: = c, / = o, z = o les coordonnées de son centre. La gyrocyclide enveloppe a dès lors pour équation La podaire de la conique, lieu des centres des cercles générateurs, est, dans ce cas, très-simple. C'est le cercle x'' +/'•' = a'. Transportant l'origine au centre de la sphère fixe, et transformant en polaires, on a pour équation de ce cercle (28) «- H- 2 (ccosw)« — ^' = 0. Le volume de la gyrocyclide étant désigné par V, on sait que l'on a IV = / («■•• — «')««/«. Faisant le changement de variable indiqué par l'é- quation ('28), on a Ja-C \J['?CU + i= — m')(2C«— i= + t/=) Ainsi le volume dépend d'une intégrale elliptique. Transformons homographiquement cette gyrocyclide { 36o ) en posant ■r = /»X-f-«Y + /?Z + <7, y = w,X -f- /7,Y + piZ ■+- gt, z = m^H -+- /hY -+- /?jZ + 72- Nous avons ainsi une nouvelle surface du quatrième ordre, qui est une des surfaces étudiées par M. Kumrner [Journal de Crelle). Tous les plans représentés par l'équation suivante : w,X H- n^Y -\- p^Z-\- 7, =X (/«X + «Y H-/>Z -h 7) . coupent celte surface suivant deux coniques, et toutes ces coniques coupent en deux points indépendants de 1 la droite représentée par les équations suivantes : W|X-+-/?|Y+/^iZ + 7,r=o, /«X-4-« Y-l-^Z-1-7 =0. Le volume limité par celle nouvelle surface s'obtient en combinant la formule (29) avec une formule que nous avons donnée dans un travail antérieur [Noui^elles annales de Mathématiques, iS^S). On obtient ainsi m 71 p ni 2 JI2 Pi u^ — a?)[u''-\-b^]du na-^ c Ja — c \^/[2CU -\- b^ — U^] [iCU — b^ ■+■ Il ERRATUM. Question 1244, p. 335, ligne 7, au lieu de m, n, p, il faut p, m, n. ( 36i ) THÉORIE ÉlÉMEmmE DES FONCTIONS ELLIPTIQIES5 Par m. h. LAURENT. [SCITE (*).] THÉORÈMES DE CALXHY ET DE LAURENT. Nous terminerons ces considérations préliminaires en donnant, d'après Caucliy et le commandant Laurent, une nouvelle forme au théorème de Maclaurin. Soit f [x] une fonction finie continue niojiodrome et jnonogène à l'intérieur d^un cercle de rayon R décrit de l'origine comme centre. Elle sera déi^eloppable par Informulé de Maclaurin pour toute valeur de x coin- prise à r intérieur du cercle en question. En effet, si Ton décrit un cercle de rayon R' un peu plus petit que R de l'origine comme centre, on aura, en intégrant le long de ce cercle, 1 7r y/ — \ J ^ ^ pourvu que le point x soit situé dans son intérieur \ alors le module de z sera plus grand que celui de x et, ^ étant développé suivant les puissances de x, on aura (') Nouvelles Annales, 2* série, t. XVI, p. 78, 211 . ( 362 ) Or on sait que f"{o] 2 TT Y II/ ^ dz I . 2.3. . .« ,. y on aura donc /(-)=/(o) + y/'{o)+...+:^-£-^/"(o) + ...-, ce qu'il fallait prouver. Si la fonction f[x) est finie, continue, nionodrome et monogène à V intérieur d'une couronne circulaire de rayons R et R', ayant son centre à Vorigine, elle sera développable pour toutes les valeurs de x comprises dans celte courofine en une double série procédant sui- vant les puissances entières ascendantes et descen- dantes de X. En effet, soit y un signe d'intégration indiquant que la variable reste sur un cercle de rayon A décrit de l'ori- gine comme centre, soit ;" un peu plus petit que R, et /■' un peu plus grand que R', la somme sera égale à l'intégrale | — ^-^ (i^: prise le long d'un cercle de rayon très-petit décrit autour du point x intérieur à la couronne 5 en sorte que, si l'on observe que celle-ci est égale à 1% y — \f{^x)^ on aura / dz — / dz = 2 rr V — I / 1 -^ , , ou bien, en observant que raod.s^mod.x" et que ( 363 ) txxoà.z' <^mod.a:, ce qui démonlre le théorème. Exemples . — log(i -h x) est développableàrintérieu d'un cercle de rayon i décrit de l'origine comme centre, mais il cesse d'èlre développable au delà comme l'on sait, et, en effet, pour x = — i , le logariilime de i -h J? est infini. Le point critique de (i — x)'" est x === i, c'est ce qui explique pourquoi la formule du binôme cesse d'avoir lieu quand le module de x est supérieur à l'unité, etc. REMARQUE CONCERNANT LES FONCTIONS PÉPiIODIQUES. Une fonctiony^(x) possède la période w quand on a et, par suite, Ji étant entier, f{x + « w' =/[x], e" possède évidemment la période w ; quand on donne une valeur particulière à e " , il en résulte pour x une série de valeurs de la forme j^u -h n'j), /t désignant un entier et Xq un nombre bien déterminé. Si donc on con- sidère une fonction^ (x) monodrome quelconque possé- dant la période w, elle pourra être considérée comme fonc- ûon de j = a >" et, si l'on se donncj , x ayantlesva ( 364) leurs Xo -h ntù,f[x) prendra les valeurs f[x, + n<^)z=f[x<,). Ainsi, y étant donné, y(x) aura une valeur unique et bien déterminée 5 il en résulte que ^'(j:) est fonction monodrome de y. Il résulte de là que toute fonction périodique mono- drome possédant la période w pourra se développer suis^ant les puissances ascendantes et descendantes de e ai intérieur de certaines couronnes circu- laires. Mais quand e <■ décrit un cercle, son module reste constant 5 or, si l'on pose X il se réduit à ;^/— I, w^g' + Z^y/— I, e ^ désignant une fonction linéaire de a et [j, et pour que cette expression reste constante, fx doit rester con- stant; X décrit donc une droite, de direction fixe d'ail- leurs, quand on fait varier le module de e <> . Ainsi c'est entre deux droites parallèles que le développement de f{x) sera possible, l'une de ces droites ou même toutes les deux pouvant s'éloigner à l'infini. Ce lliéorème nous servira à jeter les fondements de la théorie des fonctions elliptiques. NOTIONS SUR LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. Une fonction y, définie par une équation de la forme /(j,.r) = o, ( 365 ) oùf[x,j) désigne un polynôme entier en x et j, qui n'admet pas de diviseur entier, est ce que l'on appelle une fo fiction algébrique. L'équation qui la définit est dite irréductible. Une fonction ainsi définie est susceptible d'autant de valeurs pour une même valeur de x qu'il y a d'unités dans le degré de ^ pris relativement aj-^ mais ces va- leurs ne peuvent pas être séparées les unes des autres et ne constituent qu'une seule et même fonction, ainsi que Ta démontré M. Puiseux. i*^ Une fonction algébrique ne peut s'annuler que si le dernier terme de l'équation qui la définit s'annule, et, par suite, elle n'a qu'un nombre limité de zéros. est défini par une équation algébrique que l'on sait former et n'admet, par suite, qu'un nombre limité de zéros 5 donc y n'admet qu'un nombre limité d'infinis qui sont les racines de l'équation obtenue en égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance de j^ dans l'équation qui sert à le définir. 2° Nous admettrons que jy soit une fonction continue de X, excepté pour les points où j devient infini ou ac- quiert des valeurs telles que l'on ait à la fois /(.r,j) = o, j^ = o; encore en ces points n'y a-t-il pas, à proprement parler, discontinuité, mais simplement indétermination d'une certaine espèce dont nous parlerons plus loin ; nous don- nerons à ces points le nom de points critiques. Nous supposons ce théorème connu du lecteur, et, en réalité, il est supposé connu de toutes les personnes qui s'occupent de Calcul ditTérentiel; il est impossible de prendre la dérivée d'une fonction implici le sans l'admettre. ( 366 ) 3'' La fonction algébrique^ admet une dérivée bien déterminée en tout point qui n'est pas critique : cela ré- sulte de la règle de la différentiation des fonctions im- plicites, et l'on a ^ ^ _ d/ . d/^ dx àx ' dj^ expression finie et déterminée si — n'est pas nul, 4° La fonction algébrique j^ est monodrome à l'inté- rieur de tout contour ne contenant pas de point critique. Considérons, en effet, un contour fermé C ne contenant aucun point critique 5 supposons que la variable x dé- crive un certain chemin continu à l'intérieur de C, en partant du point x^ pour y revenir. Soient S ce chemin, j^Q la valeur de y en 0:0 ^^ départ, el^i la valeur que prend y quand x revient en Xq. Si l'on n'a pasj^i =Jot Yi ne pourra être qu'une des valeurs dej^ Cela posé, dé- formons le chemin S en le réduisant à des dimensions de plus en plus petites. Quand ce chemin se sera, dans toutes ses parties, suffisamment rapproché de Xq^ les valeurs de j'" le long du contour S seront, en vertu de la conti- nuité dej)'", aussi peu différentes que l'on voudia dej-'o, et, par suite, différeront de j'j d'une quantité finie, puisque, à l'intérieur du contour C dans lequel nous che- minons, les valeurs de j)'" sont nettement distinctes*, donc, quand le contour S sera devenu suffisamment petit, y re- viendra en Xo avec sa valeur initiale jj'^o- Mais, s'il n'en est pas toujours ainsi, il est clair que, pendant que le con- tour S se déforme, il arrive un moment où y revient encore en Xq avec la valeur fi^ différente de y^, tandis qu'un moment après il reviendra avec la valeur primi- tive yo. Soient donc deux contours Sq et Si, infiniment voisins, ramenant y l'un avec la valeur jy, l'autre avec la valeur y^ 5 considérons deux mobiles parcourant ( 367 ) ces contours en restant toujours infiniment voisins l'un de l'autre : en deux points infiniment voisins, y ne pourra avoir que des valeurs infiniment peu diffé- rentes. En effet, si l'on considère, à chaque instant, la différence des valeurs de y en deux points cor- respondants, cette différence, d'abord infiniment petite, restera telle, car elle varie d'une manière continue comme y^ et elle ne saurait devenir finie que si l'on con- sidère deux racines distinctes deréquation/(x,j') = 05 mais, pour passer d'une valeur à une autre, y serait obligé de rompre la continuité, à moins que l'on ne soit précisément dans le voisinage d'un point critique où deux valeurs distinctes de }' sont susceptibles de différer infiniment peu l'une de l'autre pour une même valeur de X. Ainsi donc, j^ revient toujours en jro) avec la même valeur jo? si l'on ne sort pas du contour C. c. o. f. d. DiSCUSSIOIV DE LA. FONCTIOIV \/x Cl. Il est intéressant d'étuJier la manière dont les fonc- tions algébriques permutent leuis valeurs les unes dans les autres autour des points critiques: nous 1 enverrons, pour cet objet, le lecteur à un Mémoire de ÎNI. Puiseux, inséré au t, XV du Journal de M. Lioiiville. Il sullira, en effet, pour le but que nous avons en vue, de discuter les fonctions de la forme y/ X, où X représente un poly- nôme entier en x. Commençons par la fonction j^ = y/jc — a, dans la- quelle a est une constante. Celte fonction a deux valeurs -h y/.r — (l et — \x — c/, en chaque point égales et de signes contraires. ]Nous n'avons à considérer qu'u'.i seul point critique, le point rt ( 368 ) pour lequel les deux valeurs de j deviennent égales à zéro. La fonction y ne cesse donc d'être monodrome qu'à l'intérieur d'un contour contenant le point a. Posons a; = a -\- re , 7'e ~' sera représenté par la droite qui va du point a au point X (la résultante de deux droites représentant, il ne faut pas l'oublier, la somme des imaginaires repré- sentées par ces droites); on aura ,- ■ 2 2' Y .r — a = r e Si le point x décrit un contour fermé contenant le point a, la droite re ~' joignant le point a au point x tournera en décrivant un angle total égal à 2 ?:; la fonction \x — a z= r e' reviendra alors, quand x reviendra au point de dépari correspondant à 9 = 605 avec la valeur — 1 (^=K-- — y.r — a ■=: r e Ainsi l'effet d'une rotation autour du point a est de changer le signe de la fonction y. DISCUSSION DE LA FONCTION yA(^ — a] [x — b) [x — c] ... [x — /]. Quand le point x tournera autour du point a, \lx — a changera de signe-, ainsi : Quand la variable décrira un contour fermé conte- nant une des quantités a, b, ..., l, la fonction re- viendra au point de drpart auec un changement de sisne. ( 369 ) Quand la variable décrira un contour ferme conte- nant un nombre pair de points critiques, un nombre pair de facteurs \Jx — «, \]x — ^, ... changeront de signes, et la fonction reviendra au point de départ avec sa valeur initiale; ce sera l'inverse quand le contour contiendra un nombre impair de points critiques. Au lieu de décrire un contour formé d'un contour simple, la variable peut tourner plusieurs fois autour d'un ou de plusieurs points critiques; mais ce cas com- plexe ne présentera aucune difficulté et se ramènera aux précédents. Je suppose, par exemple, un contour ayant son ori- gine en o et présentant la forme ci-dessous : quand la Fig. 6. variable a suivi le chemin 0/7/5, la fonction arrive en s avec une valeur que j'appellerai } ,, et quand x par- court le chemin sqrs^ y revient en s avec la valeur — j'^, en sorte que l'on pourrait supprimer la boucle sqrs et partir de o avec la valeur — > 0 *, on pourrait de même supprimer la boucle uptu en partant avec la valeur initiale -h ) 0 ; il reste alors le chemin optsqruo qui con- tient le point a et l'on revient en o avec la valeur — y\,. [A suivre.) A nu. df "Waihémnt ., >" sérif, t. X.VI. ( Aoi'it 1^77.) '4 ( 370 ) SIJR LES CHIFFRES Ql! TERMINENT LES PlISSANCES DES NOMBRES ENTIERS; Par U. Désiré ANDRÉ. I. Théorème. — Quels que soient les nombres entiers A, B, /., n, si A et B sont terminés par les mêmes k derniers chiffres^ il en est de même de A" et B". En effet, par hypothèse, la différence des deux nombres A et B est terminée par h: zéros. Il en est de même de Li différence des deux nombres A" et B", puis- que cette seconde différence est divisible par la pre- mière. Corollaire. — Les A" derniers chiffi'es de la puissance /z'^'"" d'un nombre quelconque ne dépendent que des h derniers chitïres de ce nombre. Corollaire . — Dans la suite indéfinie des puissances j^ièmes ç|gg j^oinbres entiers consécutifs, les puissances, prises de lo* en lo'^, sont terminées par les mêmes A" der- niers chiffres. IL Théorème. — Quels que soient les nombres entiers A, B, A, n, si la somme des deux nombres A et B est terminée par A zéros, A^" et B"" sont terminés par les mêmes A derniers chiffres. En effet, la différence des deux nombres A"" et B^" est terminée par A zéros, puisqu'elle est divisible par la somme des deux nombres A et B. ( 371 ) Corollaire. — Dans la suite des puissances d'expo- sant 111 des lo* — I premiers nombres entiers, deux puissances quelconques, prises à égales dislances des extrêmes, sont terminéesparles mêmes A derniers chilïres. m. THÉouiiME. — Quels que soient les nombres entiers A, B, A, n, si la somme des deux nombres A ei B est terminée par A zéros, il en est de même de la somme des deux nombres h.-" '^^ et B"-" + '. On sait, en eflet, que la seconde somme est exacte- ment divisible par la première. Corollaire. — Dans la suite des puissances d'expo- sant 2 /z H- I des lo' — I premiers nombres entiers, deux puissances quelconques, prises à égales distances des extrêmes, ont une somme terminée par A zéros. IV. Les trois théorèmes précédents, ainsi que les corol- laires qui les accompagnent, sont vrais dans tous les sys- tèmes de numération. Il faut donc, dans l'énoncé de chacun d'eux, regarder \v. groupe lo comme représen- tant, non point en particulier le nombre lo, mais bien en général l'unité du second ordre du système de numé- ration cjue l'on considère, ou, en d'antres termes, la base même de ce système de numération. Si l'on nornme polynôme complet un polynôme or- donné, où la différence des exposants de la lettre ordon- natrice dans deux termes consécutifs est constamment égale à Tunilé, les trois théorèmes d'Arithmétique pré- cédents peuvent être rapprochés des trois théorèmesd'Al- 24. ( ^72 ) gèbre suivants, qui leur sont très-analogues par leurs énoncés et qui pourraient se démontrer par les mêmes moyens. Théorème. — i5/ deux poljnômes quelconques P et Q, entiers, complets et ordonnés de la même manière par rapport à la même lettre, sont tels que leurs h der- niers termes soient égaux chacun à chacun, il en est de même des k derniers termes des deux polynômes P" et Q". Théorème. — Si deux poljnômes quelconques P et Q, entiers, complets et ordonnés de la même manière par rapport à la même lettre, sont tels que leurs h der- niers termes soient respectii^ement égaux et de signes contraires , les k derniers termes des deux polynômes P^" et Q^" sont égaux chacun à chacun. Théorème. — Si deux polynômes quelconques P et Q, entiers, complets et ordonnés de la même manière par rapport à la même lettre, sont tels que leurs k der- niers termes soient respectivement égaux et de signes contraires, les k derniers termes des deux poljnômes p2H+i g^ Q2n+i gQjj^i aussi égaux et de signes contraires respectivemen t . SIR UNE APPLICATION DES UETER^II^ANTS; Par M. V. JAMET, Professeur au lycée de Saint-Brieuc. On rencontre fréquemment en Géométrie analytique l'identité suivante : = (bc' — cb' Y -f- (<•«' — flc' )' -f- \ab' — ba' ]\ ( 373 ) Je me propose de la \érificr au oîoyeii des détermi- nants. Soit (ic' — c6')*+ [C(i' — ac'Y + i/î/^' — Ija'Y abc «' b' c' bc' — cb' ca' — ac' ab' — ha A. abc a' b' c' abc Remarquons d'abord que I l,c' — cb' ) a -\- { ca' — ac')b -\- [ab' — ba')c = De même [bc — cb')a' + ca' — ac' ) b' -+- \ ab' — ba')c' =i o. Par suite, eu élevant le déterminant A au carré, il vient «' + é^ -f- c' aa' -t- bb' h- ce' o A^ = aa' -\- bb' -4- ce' a'- -{- b'- -+- c"^ o o o A d'où A = a'^ -\- b- -^ c' au' + bb' -\- ce' aa' -t- bb' -\- ce' n'- -h b'^ -+- e'- c. Q. F. n. CORRESPONDANCE. Encore la tachjviélne; par M. Casimir Rey. — Je maintiens mes appréciations relatives au Panorama de la Géométne. Son auteur me reprorlie de n'avoir pas ( 374 ) lilé sou Cahifir (Vun Soldat du génie, qu'il appelle son œuvre, fondamentale, et que je n'avais pas négligé de lire. Voici quelques extraits de ce dernier Ouvrage : Système inétiique de la Géométrie naturelle. (( D, Répétez la série des mesures métriques à partir du mètre. » R. Le mètre, c'est ia hauteur de riiommc entre le nombril et la plante des pieds. )) Le décimètre, c'est la plus grande largeur de la main avec le pouce. » Le centimèti'e, c'est la moyenne, largeur des ongles de la main sans le pouce. » Le millimètre, c'est dix épaisseurs de cheveu d'homme. » « Grand principe d'évidence de la Tachymétrie. — Les objets qui sortent du même moule sont égaux, ainsi que leurs moitiés ou leurs doubles, leurs tiers ou leurs triples (!). » Les trois formes possibles : équarris, pointus, ronds. » Le quarré parfait et le quarré long sont partout, » Le cube est le dé de l'antique jeu de l'oie. » La pyramide est un mot grec rappelant une poinie de flamme, comme si nous disions flammique^ c'est la forme d'un cornet ou d'un pointu. » Le cercle est un plan, comme serait une roue sans épaisseur. » Le cylindre est un cercle doué d'une épaisseur uni- forme. )) Le cône est une pyramide qui a pour base un cercle. M La sphère est une boule, elle a un centie et des rayons. » ( 375 ) <( Cercle et sphère ir^is en calibre. — V cure ou sur- face du cercle a pour mesure la iiioiliè du coutour par le rayon. )) Voici d<'ux beigneis d'orange égaux, divisés en tri- angles égaux dont le sommet est au centre du cercle. Ouvrez-les comme pour les manger. \ ous aurez deux images dentées pouvant s'engrener Tune dans l'autre sans vides, et composées d'un ruhan qui est le moule d'uniformisation des deux cercles réunis. 2 cercles = i ruban, i cercle = ^ ruban. » Or, je sais mesurer le ruban, donc je sais mesurer le cercle, à condition de ti'ouver dans le tour et le rayon du cercle la longueur et la largeur du ruban 5 ce qui se voit d'emblée. . . . » Le volume de la sphère est égcd au tiers du produit de son enveloppe ou surface par le rayon. » L'enveloppe delà sphère est égale à quatre fois l'aire d'un cercle que l'on tracerait au moyen d'un rayon de la sphère. Pour le prouver [on sortirait du but de ces conférences consacrées aux questions d'une utilité jour- nalière (!)], adaieltons-le ici 5 la formule de la sphère à établir est donc Sphère, vokmie =: ^j (surface s|)hèrc X rayon) = y (4 aires de cercle X rayon). )) L'enveloppe de la sphère étant égale à quatre cercles faits sur le rayon sera uniformisée par un plateau formé de quatre planches jointives égales chacune à Taire d'un cercle. Il ne restera plus qu'à uniformiser toutes les j)yramides en hérisson, et pour cela je les implante sur le plateau. Elles seront jointes par les bases et ne lais-^ seront aucun vide. Ainsi implantées, elles présentent l'aspect d'une mâchoire de crocodile sur laquelle il faul ( 376 ) hardiment meltre la main de^respril poui^ les aplatir uniformément au tiers de la hauteur. Alors la mâchoire, c'est-à-dire la sphère, est cliaugée en un plateau comme le tas de sable mis au calibre, et ce plateau a pour hau- teur le tiers du i-ayori. » « Résumé de. la Tachjmétrie. — En théorie, l'idée vibrante, la seule qui suffise à tout, c'est Yuniforniité. Donc, le but c'est l'uniformisation obtenue par la divi- sion du quarré en quatre triangles égaux, et du cube en six parties égales. » En pratique, le but, c'est 1 assimilation des formules compliquées du cercle par la tolérance ; mais la tolé- rance éclairée par la théorie, pour marcher d'un pas sur, et limitée dans ses écarts pour ne pas tomber dans de faux comptes. La tolérance est la jusie limite entre la rigueur qui complique et l'erreur qui décourage et sème la méfiance. » Une polémique sur ce livre me semblerait peu inté- ressante. Grâce à mon article d'octobre iBjS, grâce à la réponse de M. Lagout (juin 1877), les Annales ont donné une liste à peu près complète des Ouvrages de cet auteur. Donc le lecteur sait ce qu'il doit lire, s'il n'est pas suffisamment édifié sur la valeur de la Tachymétrie. Extraii d une lettre de M. Laisant. — La solution de la question 1226, donnée par M. de Virieu (même tome, p. 285), est irréprochable; mais peut-être serait- il plus pratique d'opérer tout simplement comme il suit. Ti , . 1 . 1 , . sin<7 H- sine Il s agit, on le sait, de rendre sin.r = , -. — -, I -t- sitirtsin/v calculable par logarithmes. Si l'on pose sina^ langa, sin/; = lang|3, il vient sin ( a -f- B I sin.r = — ) ^,-- cosl y. — p : ( 377 ) Exilait a une lettre 6?e M . Toubin., à Lons-le-Saul- Jiier. — Le problème dit fie la carte, qui a pour but de déterminer le point d'où deux lignes OA et OB ont été vues sous des angles a et (3, se résout ordinairement par l'intersection de deux segments. Cette solution est peu pratique-, aussi les livres spéciaux, tels que le Cours de topoi^raphie de M. Salneuve, V ^ ide-mémoire des offi- ciers d' Etat- major y substituent des tâtonnements peu matliématiques. INe serait- il pas préférable d'opérer comme suit ? Faites en O l'angle AOI = a — 90°, et élevez en A la perpendiculaire AI à OA 5 de l'autre côté, faites de même BOK = [3 — 90" et élevez BK perpendiculaire à OB, joignez IK, le pied de la perpendiculaire abaissée ).le O sur IK sera la station cherchée. En ellct, la demi-circonférence décrite sur 01 comme diamètre passe par M et A ; donc IMA = lOA et, par suite, OMA = 90 -t-IOA= a. De même de l'autre côté. Ce procédé se prête, aussi bien que la méthode ordi- naire, au calcul et à la discussion. COMPOSITIONS ÉCRITES DONNÉES A L'ÉCOLE POLYTECUNIQIE EN Î877. CoNCOUKS d'admissibilité. Composition de Mathématiques. P/etuière question. — On donne la surface (jui, pai rapport à un système de plans coordonnés rectangulaires, a pour équation 3jr' — 3>'' -t- 2- — '?.jz — ^.rz -f 8»)- — 8.r -h 6}- -f- 9.z ^r o. ( 378 ) On demande de trouver l'équation de la même surface par rapport à un système de plans principaux. On admettra comme connue l'équation générale des plans diamétraux, et Ton fera directement sur l'équa- tion donnée les raisonnements et les calculs nécessaires pour la solution de la question proposée. Seconde question, — Démontrer que dans une équa- tion à coefficients réels, qui a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre des variations du premier membre ordonné suivant les puissances de l'inconnue. On supposera démontrée la rèirle des sienes de Descaries. Tracé grapliicjue. Sphère avec trou cylindrique. Dontiées. — La sphère {0,0') est tangente aux deux plans de projection 5 son rayon est de 5o millimètres. Le cylindre est de révolution autour d'un axe (mu, ou') pa- rallèle à la ligne de terre LT; son rayon est de 42 mil- limètres; enfin il touche la sphère au point de cette surface qui est le plus éloigné du plan vertical de pro- jection. i*' Recherche de V intersection de la sphère et du cj - lindre : çspr^ sphère auxiliaire inscrite au cylindre; pq, /'A, projections horizontales des cercles communs à la sphère auxiliaire et aux surfaces données; m, projec- tion hojizontale d'un point de l'intersection ; m', pro- jection verticale obtenue au moyen du cercle de front {/irn, a' m'). Points sur le contour apparent vertical de la sphère, {a,a') ,{a, a") ,{g^ ^) ,{g, g"). Points où la tangente est horizontale, [b,b') ,{h^b") ,[d, d') ,[d,d"). 2° Projection auxiliaire sur un plan vertical Lj Tj, tel que le nouveau contour apparent vertical de la sphère ( 379 ) touche les cercles o et o' . Points sur le contour apparent de la sphère, {c,Ci) [c,Ci). Points où la tangente est horizontale, (è, Z>,),(Z», Z>,),(<7, dj),[cl, (h). Les nombres indiqués dans celte légende pour les rayons du cjdindre et de la sphère sont relatifs au croquis-modèle. Pour exécuter leur épure, les élèves augmenteront chacun de ces nombres du tiers de sa valeur; les lignes de consiruciion seront faites à lencrc rouge. Composition de Physique. \° Lois du mélange des gaz. 2" Télescope de Newton \ son grossissement. Composilio/i de Chimie. 1° Acide hvpochloreux. 2° Oxyde de carbone. 3" Analyse du l)icxvde dazoïe. CO^COt"RS DADMISSIOIV. Composition de Mathématiques. On donne l'équation '-— z= i d'une hyperbole rapportée à ses axes, et les coordonnées | et y; d'un point ]\i de son plan. Par le point M on mène deux tangentes à Ihyperbole la touchant aux points A et lî; trouver l'équation du cercle passant par les points A, B et le centre O de l'hyperbole. Ce cercle rencontre l'hyperbole en deux points C et D distinctsde A et de 13; trouver l'équation de la droite CD. Si le point. M décrit une droite du plan, aux divcises ( 38o ) positions du point M correspondront diverses positions de la droite CD : quel est le lieu des pieds des perpendi- cvilaires abaissées ducentrede l'hyperbole sur ces droites? Lavis à r encre de Chine. Faire le lavis à l'encre de Chine, d'une surface cylin- driquede lo centimètres de diamètre sur i5 centimèlres de hauteur. Ce cylindre devra se détacher sur un fond formé d'une teinte plate grise -, il reposera sur un socle dont la surface plane sera indiquée par une teinte plate d'une très-faible intensité. Le modèle de cette surface cylindrique pourra être fait à teintes fondues ou adoucies, ou bien à teintes plates superposées. On admettra que le rayon de lumière a pour projec- tions horizontale et verticale des lignes inclinées à 45 degrés sur la ligne de terre. Le cadre limitant le dessin aura 24 centimètres de haut sur 18 centimètres de large. Calcul trigonométriqiie. Etant donnés dans un triangle deux côtés et l'angle compris, savoir : a = 28319, i5 b = 37402,08 C = 28"! 5' 35", 32, trouver les deux augles A et 13, le troisième côté c et la surface S. Composition française. Apprécier ces deux vers de Marmontel : Du devoir il est beau «le ne jamais sortir, Mais plus beau d'v rentrer avec le repentir. ( 38i ) Ne pourrail-on pas dire, au contraire, qu'il est bien de rentrer dans le devoir, mais qu'il est mieux de n'en pas sortir? L'erreur de Marnioniel ne vient-elle pas de ce qu'il a dit beau au lieu de difficile ? Rien n'est plus difticile à qui s'est laissé glisser sur la pente du mal que de s'y retenir et de triompher de l'habitude, qui devient si vite une seconde nature. Mais rien n'est plus beau que de ne jamais faillir, tant les occasions, les mauvais conseils, les mauvais exemples, nos passions, nos intérêts, nous poussent à mal faire. Composition rie Qéoniétrie descn'ptii'e. On donne deux points A et B situés sur une droite verticale; le point A est à 6 centimètres au-dessus du plan horizontal de projection, et le point B à 2 centi- mètres au-dessus du point A. La verticale AB est l'axe d'un hvperboloïde de révo- lution-, le cercle de gorge a pour centre le point A et pour rayon 4 centimètres; le parallèle P, qui a pour centre le point B, a son rayon égal à 5 centimètres. On prend sur le cercle P un point C tel que le rayon BC soit incliné à 45 degrés sur le plan vertical de projec- tion; puis on décrit une sphère ayant pour centre le point C et pour rayon 8 centimètres. On demande de représenter le solide compris entre la surface de riiyperboloïde, le plan du parallèle P et le plan horizontal de projection, en supposant enlevée la partie de ce corps qui est comprise dans la sphère. ( 382 ) SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES DAXS LES NOIVELLES ANNALES. Question 454 (voir i" série, t. XVII , p. /|34); Par m. C. MO R EAU, Capitaine d'Artillerie. Dans une courbe plane du iroisième degré, les trois sommets du triangle des asymptotes et les trois sommets du triangle des tangentes aux points d'inflexion sont sur une même conique. (Faure.) Cette proposition, présentée d'une manière aussi gé- nérale, n'est pas exacte. Pour que la propriété énoncée soit vraie, il faut que la ligne droite qui joint les trois points d'inflexion considérés soit parallèle à celle qui passe par les trois points où la courbe rencontre ses asymptotes, ce qui n'a pas généralement lieu. Avec cette hypothèse, voici comment on peut faire la démonstration : Soient A = o, A'=o, A"=o les équations des trois asymptotes et L --=: o celle de la droite qui joint les points où la courbe coupe ses asymptotes, l'équation de la courbe du troisième degré considérée prendra la forme (i) F = AA'A"-!-wL = o. Soient, de même, ï=: o, T'= o, ''ï" = o les équa- tions des tangentes à trois points d'inflexion, en ligne droite, et I =: o celle de la ligne qui joint ces points, F pourra se mettre sous celle autre forme : (2) F = KTT'T" + /?r=o. ( 383 ) Supposons inainlcnanl que les lignes Li=oetI=:o soient parallèles et (pie, pour simplifier, l'axe dcsj' ail été pris parallèlement à leur direction commune, on aura F = A A' A" 4- m (x + n)z^ KTT' T" -+ /; ; x + q]\ d'où l'on tire l dF ,n. -— =r « A' A" + rt' A" A -f- n"A A' ( = K {bVV -f- b'VT + Ù"TT), rt, rt', a'\ /», b\ h" étant respectivement les coefficients de j)'^ dans les fonctions du premier degré A, A', A", T,T'etT". Cela posé, l'équation aA'A" 4- «'A"A + «"AA' = o représente une conique rpii passe par les trois sommets du triangle des asymptotes ; de même hrr' -\-b"\"T-\- b"TT = o est l'équation d'une conique passant par les trois soni- mets du triangle des tangentes aux points d'inflexion ; mais, d'après la relation (3), ces deux courbes coïncident: donc les six points en cjuesiion sont bien sur une même conique. Remarque. — Les formes (i) et (2) de l'équation géné- rale du -troisième degré, formes qui peuvent facilement être établies antérieurement à toute notion acquise sur les courbes du troisième ordre, démontrent immédiate- ment les deux propriétés suivantes, cpii sont connues et que l'on a admises dans la solution précéilenle : i'* Les trois points finis, où une courbe du troisième degré est coupée par ses asymptotes, sont en ligne droite. ( 384 ) 2° Toute droite qui passe par deux points d'inflexion d'une courbe du troisième de^ré rencontre la courbe en un autre point d'inflexion. QUESTIONS. 1249. On a la série rapidement convergente 3 — v/5 2 dans laquelle cîiacun des facteurs du dénominateur est égal au carré du précédent diminué de deux unités. (E. Li'CAs.) 1250. Recherche des lignes telles que la corde qui sous-tend leurs intersections avec les côtés d'un angle droit pivotant sur un point fixe enveloppe un cercle autour de ce point. On sait que l'ellipse, rapportée à son centre, forme un cas particulier de cette catégorie de courbes. (HaTON de la GOUPILLIÈRE.) 1251. L'expression 6.rj(3j:' -hj''), dans laquelle x et j^ sont des entiers différents de zéro, ne peut jamais représenter un cube, ni le quadruple d'un cube. (S. Realis.) ( 385 1 THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES; Par m. II. LAURENT. [suite (*).] ÉTUDES DES PREMIÈRES TRANSCEKDAJNTES QUE l'on rencontre DANS LE CALCUL INTÉGRAL. Les fonctions entières s'intègrent immédiatement, les fonctions rationnelles s'intègrent en les décomposant en fractions simples : quand ces fractions simples sont de la A forme , ■> elles s'inlèsrrent immédiatement: quand [x — a f ^ ' ^ A elles sont de la forme , elles ne s'intègrent plus au moyen de signes algébriques, ou du moins on ne sait plus les intégrer de cette façon. On rencontre aussi des fractions de la forme Mx + N [x^ -{- px + rj]"'' mais, en adoptant les imaginaires dans le calcul, ces fractions se réduisent à la forme • [X — n ," L'intégrale de est une fonction logaritlimi(|ue bien étudiée dans les éléments et bien connue; on con- çoit cependant que la découverte des logarithmes ait pu suivre celle du Calcul intégral, et il est intéressant de voir comment on aurait pu étudier les propriétés de la nouvelle fonction. (*) Nouvelles Annales, 2" série, t. XVI, p. 78, ■.ni, 36i. Ann. (le Machémac, 1*' séiic, t. XVI. (Seplembre 1 H77. 25 ( 386 ) Et d'abord il y a lieu de se demander si l'intégrale de A engendre réellement une fonction transcendante, .r — a ou seulement une fonction réductible aux fonctions al- gébriques; nous allons voir, en étudiant ses propriétés, qu'elle constitue une fonction nouvelle. D'abord, en mettant à part le facteur A constant et remplaçant x — a par x, on ramène cette intégrale à la forme J Posons .P — = \ogx. le signe log étant employé pour représenter la nouvelle fonction (nous précisons notre intégrale avec la limite i et non zéro, afin qu'elle reste finie). Nous pouvons prouver : i° que logx n'est pas mono- drome et par suite ne peut pas être rationnel 5 2° que loga: a une infinité de valeurs pour une même valeur de a:, et qu'il ne saurait alors coïncider avec une fonc- tion algébrique qui n'en a qu'un nombre limité. Pour le prouver, observons que l'on peut aller du point I au point x, soit directement par le chemin ix Fijj. 7. /;'■ I ectiligne, ce qui fournit la valeur que nous appellerons logx, soit par tout autre chemin. La valeur de Tinté- ( 38; ) grale prise le long d'un chemin qui, avec xi, forme un contour terme ne contenant pas 1 origine ou - est infini, donnerait la même valeur logx; mais si, pour aller de i à x, on suit un chemin qui enveloppe le point o, tel que celui qui est figuré en pointillé, l'inté- grale prise le long de ce contour, augmentée de l'inté- grale prise le long de xi, sera égale à l'intégrale prise le long d'un cercle de rayon très-petit décrit autour du point o^ on aura donc, en se rappelant t[ue cette der- nière est égale à ±27:^/ — i , 'dv f- \o^X= 2 7T \/ i; Je mets — au ^ — i , parce que l'intégrale doit être prise dans le sens rétrograde: on a donc dans ce cas r- log.r — 2 77 y' Si, au contraire, la figure avait la disposition ci-dessous, on aurait logjr -h 2 7r^ — I. f- Fig. 8. -^ Il y a plus, si, au lieu de suivre un contour simple comme les tU'ux précédents, ou suit un contour cn- tonranl 2, 3, 4i • • • ^ois l'origine, tel que celui ci- 25. ( 388 dessous qui l'entoure trois fois, il est clair que l'on aura / —log.r + 2,4,6. . .TTV' — I i Fjff- 9- dans le cas de la ûsiuve, on a = log.r + 6tt \J — I . / Ainsi la valeur générale de l'intégrale considérée est A désignant un entier, et ces valeurs de logx sont insé- parables les unes des autres; ainsi, quand le point x passe en a pour la seconde fois, l'intégrale y acquiert une valeur égale à la précédente augmentée de 27:, et cela en vertu de la continuité ; en d'autres termes, on ne pourrait assigner à logx une valeur déterminée en a qu'en rompant la continuité de cetLe fonction. Si l'on considère l'équation d.r ilv h — o. on en lire d'abord Ç-'^ d.r. P' dy const ( 389 ) ce que l'on peut écrire (i) logx + log7 = log«, a désignant une constante. Mais on en tire aussi Y de -+- -r (ly = o , ou ( 2 ) jy- = 6 , b désignant une constante. Les formules (2) devant être identiques, faisons .r = i -, (1) donnera log)'"=: loga et (2) donnera y ^= b, ce qui exige que a =^ b. Des for- mules (i) et (2) on tire alors, en remplaçant b par «, Icg.r -f-logj = l()gj:j, ce qui est la propriété fondamentale de la fonction lo- garitlimique. La fonction inverse de logx sera représentée par e[x). en sorte que, si j = log.r, on aura la propriété fondamentale des logarithmes donne la propriété fondamentale des exponentielles e[x^j)=e[a:]—c[Y), ce qui conduit à écrire e[x) = (^, et comme l'on a log.rz=j>' -4- T.kizyJ — I , y désignant l'une des valeurs d<; loga:. on a la fonction e^ est alors périodique et a pour périodi? ( 390 ) "ikT.sJ — I. De la formule r/.r X on tire dr _ dj ~~ y étant le logarithme de x, on voit que la dérivée de la fonction exponentielle e-' prise par rapport à y est cette fonction elle-même -, on est alors conduit à représenter e" au moyeu d'une série, et sa théorie s'achève comme dans les élémeuts. On voit ainsi que la découverte de Neper eût été faite par les inventeurs du Calcul infinitésimal dès les débuts du calcul inverse. DES DIVERS CHEMINS QUE PEUT SUIVRE LA VAlilABLE DANS LA RECHERCHE DES INTÉGKALES DES rOJMCTIOKS ALGÉBRIQUES. Toute fonction algébrique y étant monodrome à l'in- térieur d'un contour ne contenant pas de point cri- tique, sou intégrale sera nulle le long d'un pareil con- tour ; donc : 1° L'intégrale prise le long d'un contour quelconque XqX pourra être remplacée par l'intégrale prise le long du contour recliligne XqX^ si entre ce contour et le contour donné il n'existe pas de point critique. 2.° Si, à l'intérieur du contour C formé par le chemin rectiligne et le chemin donné, il existe un point cri- tique «, on pourra remplacer le chemin donné par un autre allant de Xq vers un point a très-voisin du point critique sans sortir du contour C, tournant ensuite le long du cercle décrit de a comme centre avec cca pour rayon, revenant en a, puis en Xq par le chemin cix„ in- ' 391 ] verse du chemin X;,y. suivi tout à l'heure, enfin allant par le chemin rectiligne de Xq à x. En efl'et, le nouveau chemin et l'ancien ne comprennent entre eux aucun point critique. Fi{j. 10. Le chemin formé d'une ligne allant de Xq au point a voisin du point critique «, tournant autour de ce point et revenant en .Tq par la route déjà suivie pour aller de x^, est ce cjue Ton appelle un lacet. Nous avons figuré ci-dessus un lacet en séparant l'aller du retour pour bien montrer comment le lacet peut se substituer au contour C. 3'^ Si, entre le contour C formé par le chemin recti- ligne et le contour donné, il existait plusieurs points critiques, on pourrait remplacer ce contour par une série de lacets suivis de la droite x^x. 4° Supposons que le contour d'intégration donné rencontre la droite x^x^ enp.q. Fig. II. On pourra remplacer le chemin xlp par une série de lacets et par la droite x,,/); on est alors ramené au ( 392 ) chemin x^^puiq^ que l'on peut remplacer par une série de lacets suivis de xq^ et ainsi de suite; donc : Théorème. — Tous les chemins que V on peut suwre pour aller de Xq en x peuvent être remplacés par une série de lacets ayant leurs origines et leurs extrémités en Xo, suivis du contour rectiligne x^x [*). Nous dirons qu'un lacet unit deux valeurs j. et j y quand ces deux valeurs de j se permutent l'une dans l'autre lorsque l'on suit ce lacet. iMais nous préciserons encore davantage : en général, en suivant un lacet, on ne permute que deux valeurs de la fonction j)^ 5 toutefois il pourra se faire qu'en suivant un même lacet plusieurs fois de suite, on obtienne une permutation circulaire des valeurs ;)'"i, ja? yz-> • • • de /•, nous considérerons comme distincts tous les lacets par- courus avec des valeurs initiales différentes de y. Ainsi, par exemple, si le point a est un point critique ordi- naire, deux racines j; et j,. se permuteront l'une dans l'autre en parcourant .ce lacet-, nous le supposerons double, mais seulement pour la commodité du langage, en sorte que, s'il est parcouru avec la valeur initiale ^,, nous le considérerons comme formant un premier lacet unissant yi à }'/,, et s'il est parcouru avec la valeur ini- tiale };;, nous le considérerons comme un second lacet distinct du premier et unissant yj. à r,-. De même, si au point a trois valeurs j'',, J-pyi se per- mutaient entre elles, on aurait à considérer le lacet cor- respondant comme triple : l'un des lacets simples unirait }/ à J y et serait parcouru avec la valeur initiale }'",-, et (*) Il va sans dire que nous supposons que le chemin rectiligne x^x ne rencontre pas de point critique. S'il en rencontrait un, ce qui n'arri- vera que dans des cas tout particuliers, il faudrait, pour l'exactitude du théorome, éviter ce point en déformant le contour rectiligne. 1 393) ainsi de suite. Ainsi, au mot lacet est attachée l'idée d'un chemin et l'idée d'une valeur initiale de y bien déterminée. DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. Dès les débuts du Calcul intégral, on est arrêté par des difficultés insurmontables quand on veut calculer la fonction dont la dérivée dépend d'un radical carré re- couvrant un polynôme du degré supérieur au second. Cette difficulté provient de ce que la fonction cherchée dépend de nouvelles transcendantes irréductibles, comme l'a prouvé M. Liouville, aux transcendantes étudiées dans les Eléments ou aux fonctions algébriques. Le- gendre, qui soupçonnait cette irréductibilité, s'est sur- tout attaché à étudier les propriétés analytiques des transcendantes les plus simples auxquelles conduit le Calcul intégral, et a créé la théorie des fonctions ellip- tiques. On donne le nom à^ intégrales elliptiques à des inté- grales de forme simple, auxquelles on peut ramener les intégrales de la forme (i) v=/F>,jy.c, où Y[x,j) désigne une fonction rationnelle de x et de y^ et où y représente un radical de la forme y — y/A.r^ -f- Bj;3 -h C.r^ -t- Dj: -t- E, A, B, C, D, E désignant des coefficients constants. Nous supposerons le polyiiôme placé sous le radical dé- composé en facteurs, et nous aurons G désignant un nombre quelconque réel ou imaginaire. ( 394 ) On simplifie la formule (i) en posant _a -\- b l on trouve alors (2) y=f'^[-i,-n)cii, <î> (^, 7]) désignant une fonction rationnelle de \ et de rj, et Y) désignant le radical y = v/G[« — a+ [b — 0L]-^\[a — ^ ^ [b — ^)'i] Les puissances paires de ^ sous le radical disparaîtront si Ton pose [a-a)[b-^)+ [a~--^)[b~a)=o, [a — y] [b — 3) -h [o. — 8) [b — y) = o; d'où l'on tire ou 7.ab — (<7+^)(a + p) + 2ap = o, Q.ab — [a -+- b) [y -\- S) -\- 27'J = o, ^^^uP(j^S)-yS{a-hf, a-]- b = a-h p —y ~ S 2aB — 27^ P Ces équations montrent que a et b sont racines d'une équation du second degré facile à former. On pourra donc toujours supposer que la quantité placée sous le radical r, ne contient que le carré et la quatrième puis- sance de la variable ^. Cette transformation semble tomber en défaut quand onaa + j3 — y — d =^ o\ mais alors on a y = s/G[x^~. (a -H p)x H-ap][jc^— (a+ 3).r:H- 7^], ( 395 et il suffîi de poser pour faire disparaître les puissances impaires de la variable. Remarque I. — Il est bon d'observer que, si le produit [x — 0!.){x — (3) (a: — y){^ — ^) 6st réel, les quan- tités a et b pourront toujours être supposées réelles; en effet, la condition de réalité des racines de l'équation du second degré qui fournit a el b est (a^ — Y(î)' — [ap(7H-5) —ySoL-i- |B:,]'>0. Le premier membre de cette égalité s'annule pour Ci = y, a.:= d, 3 = 7, j3 = cî, et l'on constate facilement qu'il est égal à (a — 7) ( « — ^){[^ — 7 ) (h — ^)- ^^ ^^^ donc réel si a, iS, 7, 0 sont réels. Il est encore réel si, ce que l'on peut supposer, a et [ù sont conjugués, et si 7 et 0 sont réels ou conjugués. Ainsi donc on peut tou- jours supposer a el b réels si est un polynôme à coeflicients réels. Reniarqiie II. — Si le polynôme placé sous le radical y n'était pas décomposé en facteurs, en remplaçant x par n I /) 'r et en annulant les coefficients de ^ et 'P sous le I H- ? ^ ^ radical, on obtiendrait la même simplification. Remarque III. — Si l'on avait j = y/ G [x — a ; ( j; — p i (x — 7 ) , en posant ' .r — tx-=^ t' ( 396 on trouverait V, :=y/G(?'+a— p;(H' 7j, ^ désignant une fonction rationnelle de ^ et de r,. Ainsi toute intégrale telle que V, dans laquelle y dé- signe un radical carré recouvrant un polynôme du troisième ou du quatrième degré, peut être ramenée à la forme V =zj^^'^x,y] clx , y désignant un radical de la forme y/G : I 4- mx''- ) (i H- nx- )', m et n désignant des constantes, et il est clair qu'en posant H = ^ y/ — /// , /r = , ni on pourra ramener le radical à la forme y' I — X- . ; I — k'x"- , . Posant alors y — v/"(T — .r2) (i — /cKv^) , les intégrales que nous nous proposons d'étudier pren- dront la forme Y = fF[x,y]dT, F désignant toujours une fonction rationnelle. Nous verrons par la suite que la quantité A', à laquelle on a donné le nom de module, peut toujours être censée réelle et moindre que l'unité. { 397 ) RÉDUCTION DES INTÉGRALES ELLIPTIOCES A DES TYPES SIMPLES. Reprenons l'intégrale (l) V=fY[x, y)d.v, dans laquelle nous avons vu que l'on pouvait supposer T->/ \ • A • 1 r ^[^i y] r[x,y) peut toujours être mis sous Ja lorrae j- — —' -,

A et a désignant des constantes, et l'intégrale U se com- posera elle-même de termes réductibles aux formes Cj--"" , r dx u = I a -r , " = I -, r J y J [.T' — a') r L'intégrale u peut encore se simplifier, et l'on peut tou- jours supposer m = o ou m = i : il suffit pour cela d'ob- servei- que l'on a a, b, c désignant des constantes que l'on déterminera en faisant les calculs indiqués; on en conclut la formule de réduction — - d.r H- h I d.v -h c l dx , J J y J y /x-'" — dx de proche en proche, quand on connaîtra /dx r.T-dr 7 " j— ' il suffira pour cela d'y faire successivement m = 2 , 3 , .... DES TRANSCENDANTES DE LEGEKDïlE ET DE JACOBI. En définitive, les intégrales de la forme /F(x,j)^.r, où F di'signe une fonction rationnelle de x et d'un ra- dical carré recouvrant un polynôme du quatrième de- ( 4oo ) gré, peuvent se calculer au moyen des fonctions algé- briques, logarithmiques, circulaires, et au moyen de trois transcendantes nouvelles : r-^ dx p" x'd.7 h dx dx -à')\l[\ — x-')[\ — k^ x^] OU dx r La première est, comme on le verra, la plus impor- tante : ce sont les trois intégrales elliptiques de pre- mière, de deuxième et de troisième espèce. Legendre pose x = ?,\no\ les trois intégrales précé- dentes deviennent alors, en prenant pour limites infé- rieures zéro, •? dx sji — /'sin^ dis r et I / i- do ï / ' ; : ; r Jq [i — a siri^o) \/i — ^'sin'o la première était pour Legendre l'intégrale de première espèce, l'intégrale i \Ji — k- s\n^ (f d'i) était l'intégrale de deuxième espèce, la troisième était l'intégrale de troi- sième espèce. L'intégrale de deuxième espèce représente l'arc d'ellipse exprimé en fonction de l'anomalie excen- trique de son extrémité. cj) est ce que Legendre appelait V amplitude des trois ( 4oi ) intégrales, k porte le nom de module, a est le para- mcire de l'intégrale de troisième espèce. Legendre, dans son Traité des fonctions elliptiques , étudie surtout les propriétés des trois intégrales quo nous venons de signaler, et indique le moyen d'en con- struire des Tables. Mais Abel et Jacobi, se plaçant à un point de vue beaucoup plus élevé, ont considéré les in- tégrales elliptiques comme des fonctions inverses; pour bien faire saisir la pensée qui a guidé ces géomètres dans leurs recherches, nous ferons observer que les loga- rithmes et les fonctions circulaires inverses pourraient être définies par les formules logx = \ — 1 arc sm.r = J ? . • . ■> J, ■'^ Jo n/i —x' et auraient certainement été étudiées avant l'exponen- tielle, le sinus, etc., si ces fonctions directes n'avaient pas été fournies par des considéradons élémentaires. Le fil de l'induction devait laisser penser que l'intégrale i dx o \l [\ — .r' I — /i^x^] ne définissait pas une fonction aussi intéressante que son inverse. 5 , « dy ÉTUDE DE L INTEGRALE Avant d'étudier la fonction elliptique, il convient, pour la commodité de l'exposition, d'étudier l'intégrale un peu plus générale Jo < dr 'o y/{r — a.){r—p)[r — y)[j~ S Ann.de MatJicm.it., i^ série, t. X.VI. (Scplcinbre i^//-) -^' ( 402 ) X est une fonctiou évidemment continue de 7-, tant que r n'est égd à aucune des quantités a, (3, y, 0, oc , et réciproquement j sera une fonction continue de x\ il y a plus, lors même que y passe par la valeur a par exemple, x reste continu. En eflet, posant x=f{^'-)^ on a ?';J-7)(J-^; cette expression est finie comme l'on sait; on a aussi ~ dy I v/_r — a v/(j — P)(r — 7)(r — «î) et, par suite, h f dy s/j— a n/(j— P)(r — 7)(r — <î) soient ÎM une quantité dont le module reste supérieur à celui de ■. f une quantité dont le v/(j-P)Lr-7)(j-^) module est au plus égal à i , on aura Jr> K -7- /i 7 _^ - = 2 M s(v'a -^h — v'a) : K V -'*'' — ^ celte quantité est bien infinimeîit petite. Ainsi : Théorème I. — La fonction x et, par suite, son in- i^erse y sont continues, excepté quand y ou x sont in- finis. Pour bien préciser le sens de la fonction x, il faut supposer que, pour j^ = o, le radical ait une valeur bien déterminée, que nous représenterons par -t- y/aSy;?, et quand je dis que, pour 7 = o, le radical a cette valeur, ( 4o3 ) j'entends par là que l'intégrale est engendrée avec cette valeur initiale du radical qui pourra prendre au point o la valeur — sjct'^yd quand la variable }" reviendra en ce point. Cela posé, Théorîdme il — La fonction y admet deux périodes. En effet, les contours que l'on peut suivre pour en- gendrer l'intégrale x peuvent se ramener : i** au con- tour rectiligne oj allant du point o au point j^ 5 1^ à ce contour précédé de contours fermés aboutissant en o et formés de lacets. Soient A, B, C, D les valeurs que prend l'intégrale autour des lacets relatifs aux points a, |3, y, 0 respec- tivement. Appelons i la valeur que prend l'intégrale x quand, le cbemin que suit la variable y est le contour recti- ligne oy, x pourra prendre les valeurs suivantes : i*^ La valeur «5 2° Les valeurs ± A — /, =t B — z, zt C — /, d= D — /. En effet, par exemple, la variable y parcourant d'a- bord le lacet A dans le sens direct ou dans le sens ré- trograde, X prend la valeur du A, le radical revient en o avec sa valeur primitive changée de signe, la variable décrivant ensuite le chemin oj-, l'intégrale prend le long de ce chemin la valeur — i, et l'intégrale totale se réduit à ± A — i. 3" En général, quel que soit le sens dans lequel on parcourt un lacet, la valeur de l'intégrale ne dépend que du signe du radical à l'entrée du lacet, et ce signe change à la sortie du lacet 5 il en résulte que, si la valeur initiale du radical est précédée du signe 4-, la valeur générale de x sera A — B + C — D-i-.. .=b/, 26. ( 4o4 ) le signe do i étant -h s'il est précédé d'un nombre pair de termes, — s'il est précédé d'un nombre impair de termes; de sorte que, si l'on pose P = w, ( A — B ) + /«, ; A — C ) H- 7/23 ( A — D) + /«4lB— C) + W5(B — D) 4-/«c(G — D), mj, mo, • . -, '"6 étant des entiers positifs ou négatifs, les valeurs de x seront de la forme (P+/, P-l-A— ?, P + B — /, ^ ' \ P + C — /, P-hD — /, que l'on peut simplifier. En elfet, si l'on intègre jv^(r-a)(j-p)(j-7)(j-^j le long d'un cercle de rayon infini décrit de l'origine comme centre, on obtient un résultat nul, mais cette intégrale est aussi égale, en vertu du théorème de Caucliy, à la somme des intégrales prises successive- ment le long des quatre lacets •, donc A — B + C — D = o, et si l'on pose A — B=:o), B — C = zj , on aura B = A — w, C = A — w — a, D=:A — B+C = A — cj, A — B=::nj, A — C = w+ct, A — D = ct, B-C=:cT, B-D = c7 — w, C — D = — w. La quantité P est donc de la forme mw-i- uns, et les diverses valeurs de a: de la forme m w H- /^ CT -i- / on m bi + /? cj H- A — / . Les quantités m et n désignant des entiers quelconques, ( 4o5 ) il résulte de là que, si l'on fait y =J[x), on aura (4 ) y ('^'w + «CT -t- /) =:f[m(,> 4- «C7 -h A — / ) =_/(/); la fonction j)'^ admet donc les deux périodes œ et u. Si nous partageons le plan en une infinité de parallé- logrammes, dont les côtés soient w et tr, ces parallélo- grammes porteront le nom de parallélogrammes des pé- riodes, et nous pourrons énoncer le théorème suivant : Théorème III. — Dans chaque parallélogramme des périodes, la fonction j prend deux fois la même valeur pour deux valeurs distinctes de x. On peut démontrer directement que la fonction j'" est monodrome dans toute l'étendue du plan. En effet, si le point j se meut dans une portion du plan qui ne con- tient pas des points critiques, x reste fonction mono- drome de }', et l'équation dy \/(j-a){r-P)(r-7)(.r-<îi fournit une série de valeurs de x comprises dans un cer- tain contour C. Réciproquement, la racine y de cette équation ne pourra cesser d'être monodrome qu'autour des points ovl y acquerrait des valeurs multiples ou au- tour desquels le premier membre de l'équation cesse- rait d'être monodrome ou fini par rapport àj^; or, la dérivée du premier membre de notre équation relative à y ne s'annule que pour j' = oo ; les seuls points où j^ pourrait cesser d'être monodrome correspondent donc à^ = a, (3, y, J et oo . Posons donc j = a + 2% ' dY dz dx dx ( 4o6 la foi mule (A) deviendra ^; zdz — .r =1: o , V'(s^"+a— p)(z' + a — 7)(^2 + a— ^1 La fonclion z ne cesse évidemment pas d'être mono- drome autour du point z = o, et, par suite, y ne cesse pas d'être monodrome autour du point a (a, /3, y sont, bien entendu, supposés diflérents les uns des autres). Si l'on veut étudier ce qui se passe autour du point j; = ^, pour lequel j= go , on posera J on aura alors, au lieu de la formule (A i dz v/(r — a3)(x — p3)(i — 7z)(i — ô^z) et, en raisonnant comme plus haut, on voit que cette équation, pour ^ = co ou pour ;; = o, ne cesse pas d'être monodrome par rapport à x. Nous verrons plus loin une démonstration lumineirse de ces résultats, mais il était nécessaire de présenter ces considérations pour faire comprendre l'esprit qui nous guide dans nos reclierches. Noire but dans ce paragraphe était de montrer com- ment on pouvait être conduit à concevoir des fonctions possédant deux périodes, {^A suivre.) ( 407 ) SIR LE CENTRE DE GRAVITÉ D'UN POLYGONE Par m. a. LAISANT. 1. Soit ABC. . .L un polygone, et soit O un point quelconque du plan. Le centre de gravité G de l'aire du polygone peut s'obtenir en plaçant aux centres de gra- vité des triangles OAB, OBC, . . ., OLA des masses proportionnelles à leurs aires respectives, et en prenant le centre de gravité de ces masses. Si donc nous posons, en général, aire OPQ = ^,,^,/, nous aurons OG aire ABC. . .L • OA + OB OB + OC OL + GA -!^ ô •'o,l> H ô ^à,c + . . . H 5 •'-•/.a •^ ^ [OA [ ;y/.„ + .v„.A ) + OB ( .v„,A + si,,c)-h . . .0L + (5i,/+^/,a)]. •Soient Si^^ H- s^^i, = a, s^^,, -f- s^^, == (3, ... les aires des quadrilatères OLAB, OABC, ... ; on a évidemment aire ABC. . .L = - a ^ S H- . . . + a), et l'expression ci-dessus devient -0G(a + S + ...-f->) = ^;0A.'y. + OB.B -f-...-F-OL.>). 2 o Si maintenant nous plaçons en A, B, C, ... des masses respectivement proportionnelles à a, /3, y, . . ., leur centre de gravité H sera doinié par la relation OH(a -^ p H- . . . H- ^) = OA. a -{- OB. p -f- . . . + OL.X ; ( 4o8 ) d'où, par comparaison, OG c^^ I OH, ce qui permet d'énoncer le théorème suivant : On joint un point jlxe à tous les sommets d'un poly- gone j à chaque sommet on place une masse proportion' nelle au quadrilatère formé par ce sommet, les deux sommets ^voisins et le point jixe. Le centre de grauité de ces masses, celui de l'aire du polygone et le point fixe sont en ligjie droite^ et cette droite est divisée au tiers par le centre de gravité de l'aire du polygOJie. 2. Si l'on applique ce qui précède au quadrilatère, en choisissant pour le point O l'intersecliou des diagonales, on voit immédiatement que r. t>0 DB OH^ I 2 [OÂ- àO ^ ob52. BD H- OC CO CA .-^ I 2 l^oc^ \ oc — OA 0D= -"OD — oBn — OB / ^ I 2 ! OC + OA -F-OD — OB) 0G=^ I 3 (OA - 4-OB - OC + OD), et ce qui donne fort simplement cette propriété connue : Lecentrede gravité de V aire d'un quadrilatère AJèCX) , dont les diagonales se coupent en O, n^est autre que celui des masses i, i, i, i, — i, placées respectivement en A, B, C, DetO. 3. Supposons maintenant que O soit le foyer d'une ellipse, et que les points A, B, C, . . ., infiniment rap- prochés, soient répartis sur le périmètre de cette ellipse, ( 4o9 ) de telle sorte que les triangles AOB, BOC, COD, . ., soient équivalents. Le point H sera évidemment à la limite le centre de gravité de la circonférence de l'ellipse, la répartition de la densité en chaque point résultant de la distribution des points A, B, C, .... Le point G ne sera autre que le centre de l'ellipse, à la limite, et nous aurons toujours d'où 5 OH-i^-OG, c'est-à-dire que le point H est à moitié distance entre le centre de l'ellipse et le second Joyer O' . Il est aisé de reconnaître que le problème que nous venons de résoudre ainsi n'est autre que celui-ci : Une planète^ dans sa révolution autour du Soleil, abandonne uniformément une quantité de matière qui se fixe sur la trajectoire. Quel est le centre de gravité de cette trajectoire matérielle, une Jois la révolution accomplie? SIR L4 RÊSOLITION Dl] SYSTÈME DES ÉQUATIONS iv- — «' := (v'^ et 2 i'- -h U' =33- m NOMRRES ENTIERS; Par m. Édouaro LUCAS. Nous observerons d'abord qu'il est facile de ramener au système proposé la résolution de l'une des équations biquadraliques 4('' — h' = 3"\V^ ou 93' — (.'^ = 8VS ( 4io ) et l'on a W = fi'z et Y z= ui>. Nous supposons u^ r, w^ z entiers et premiers entre eux; nous tirons de la première équation du système proposé w -1- u et, parles formules de résolution des triangles rectangles en nombres entiers, (A) u ^ a- — b--\-iab, <\'=za- — b- — 2.ab, i> ^= a'' -h b' ; les nombres a et b sont entiers et premiers entre eux, et ?/, w ont des signes arbitraires, afin de ne pas nuire à la généralité de la solution. En portant ces valeurs dans la seconde équation du système proposé, nous obtenons (i) 3{a'-^ b-Y-\-^ab[a'-— b')=o:^'. Cette égalité montre que le produit ab{a -r- b) [a — b] est divisible par 3', mais, puisque a et b sont premiers entre eux, on peut, à cause de la symétrie, puisque la forme de l'équation ne change pas en remplaçant res- pectivement a et b par a -{- b et a — b, supposer b=3b'. Alors l'équation (i) devient {a^—2ab'-h ^b'^') {a'-h6ab' + 27^-'^) = z=; mais z est impair, et les deux facteurs de z- sont pre- miers entre eux; on a donc a'—2ab'-h 3b" = z% a--h6ab' -h i-jb" = z\, ( 4ii ) c'est-à-dire [a-b'Y + -y.h"=z\, La décomposition en facteurs donne, pour la première équation, (2) «— è' =:d=(/-'— 2^'), b' = 2rs, et pour la seconde (3) a + 3b' =±{r''—2s'-), 3b' = -2r's'. Il nous reste à identifier les valeurs de a et de b' tirées de chacune de ces équations, ce qui conduit aux quatre cas suivants : Premier cas. — En prenant le signe -f- dans l'équa- tion (2) et le signe — dans l'équation (3), on a r^-{- 2.JS — 2^- = is'- — 2 /'y — r'^ :)rs =^ r s . Posons r' z=z 3rnr et s = ms' , nous obtenons, par l'élimination de 1^ et de 5, l'équation quadratique ^^(gr- — 2.v'-) + Qis m H- /•■ — is'- = 0. Si nous exprimons que la valeur de m est rationnelle, il vient 'iÇ,r-s'-—c^r'— /^s"= H% équation impossible suivant le module 3. Deuxième cas. — En prenant le signe — dans l'équa- tion (2), et le signe + dans ré(jualion (3 ), on se trouve encore conduit à l'impossibilité précédente. Troisième et quatnème cas. — En prenant, en même ( 4i2 ) temps, les signes supérieurs ou inférieurs dans les équa- tions (2) et (3), nous arrivons aux relations r^ -h 2.7's — 2*^ = /- — ir' s' — 2.s'^, 3 TS = r s' . En posant encore / = 3/wr et s=^ms\ nous obtenons, comme ci-dessus, l'équation 02^(9 /■'-+- 7. s'-) — Sn'm = /•-+ ■?.s"'. Pour que la valeur de m tirée de cette équation soit rationnelle, on doit avoir (3/=-f-6/';^— 32^'^ = K% et alors _ —4.rs'±K gr^ -+- 2 5^ On déduit, par la décomposition en facteurs, / = pq ; les nombres p el q sont entiers et premiers entre eux-5 on obtient ensuite, par addition et soustraction, /j^— 8r/'=±:K. La première des équations précédentes peut être mise sous la forme (jy— 3q^-''— q' = 3r\ et, par une nouvelle décomposition en facteurs, p-—-2.q' = g\ 1 [p' — '^q'= — s\ p--— ^q'=Zh\\ OU l p-"— f^q-= — ?>h\ r — gh,\ ( r=gh; ( 4i3 ) la première décomposition est impossible suivant le mo- dule 4} et la seconde conduit au système identique au système proposé. Par conséquent, on résout complètement le système des équations 2 C' lÛ =■ M'-, 2 P- H- II- = 3 ï- par les formules u = (- '■+Srs -2.0 = — ']2rKs\ v = [r' -+- irs — 2.y=)- -4- 36 r^ s-, w = [r' '■ — ^rs — 2*')^ — 72 H, V-, z = [r 'H- 2^=) [ir^ -\- 9^')> dans lesquelles r =z « z ( 2 p'' (!'• + g «- z^, s = i>iv[^uva'z db ( (»'* — 8 «' )]. Ainsi la solution immédiate Uo:=Vo = U'o = Zo ^ d= I donne ainsi ('1 = 37, M-, = 4;) «1 = 23, z, = 3xii; en prenant le signe inférieur dans la valeur de 5, on a ensuite c, = 40573, n'j:=23l83, «2 = 52487, z2=i39X323; puis la solution (' = 2536422091855129, tt = 3 58647 o33iG GggGg, fv =; 6406 72783 '.>9889, z = ( 9 X 45 97 7 77 ) ( I > X 64 33883 ) , ( 4i4 ) qui a été calculée et vérifiée par M. Alphonse Fiquet-, on observera que ces solutions croissent très-rapidement. On peut aussi résoudre le système proposé, par l'équation (i), d'une autre manière, au moyen de la dé- composition que nous avons employée autrefois ('). La solution précédente conduit encore à la proposition suivante : Théorè;me. — Le système des équations 2('' — u- z=. (v'' et 2p'+«- = 3s-, a pour solution unique u^ \^ =^w ^ z r=izhi. En effet, l'équation (A) donne, en remplaçant w par iv", a- — Ç>ab' — <^b'- ^ fr-, car on ne peut supposer le second membre égal à un carré négatif. On tire de l'équation précédente (4) « — 3Z''=±(e^+2/), ?>b' = Q.ef; identifions les valeurs de a et de b' tirées des équations (a) et (4)5 nous obtenons, en prenant en même temps les signes supérieurs, e^ + 2 ef+ iP = r^ -\- irs — 2 ^% ef^ 3 rs. Posons encore e =:: 3 mr et s = mf^ nous arrivons à l'équation /«' (g/-^ + 2/^) — ^frm -\- 2/^ — a^ = o. Pour que la valeur de ni soit rationnelle, on doit avoir l'équation 9^'- I2^y-•-4/^=R^ (*) Nouvelles Annales de Mathématiques, 2« série, t. XV, p. /|68; 1876. (4i5 ) dans laquelle on peut supposer /' et ^premiers entre eux. On en tire puis, par add ition, 3r- = ±:{g'-h 2/i') + 9.g'h-, c'est-à-dire ou bien ces deux dernières équations sont impossibles suivant le module 3 5 donc g ^::zh =o\ puisy= Z>' = o et w= ±i. En prenant les signes inférieurs dans les équations (2) et (4), on arrive aux mêmes conclusions 5 d'autre part, en prenant le signe — dans l'équation (2) et le signe -\- dans l'équation (4), on obtient c- H- 2/' = 2 s- -\- ^rs — A-, et, comme précédemment, 4/^-l2/=/^-9r^ = R', équation impossible suivant le module 4» puisque /• ne peut être pair 5 car, s'il en était autrement, a et ^ ne se- raient pas premiers entre eux, comme l'équation (2) le fait voir. Enfin, en prenant le signe -\- dans l'équation (2) et le signe — dans l'équation (4)5 on arrive aux mêmes ré- sultats. Bemarque I. — Les équations 4»'' — h' = 3(1'' et c)z'' — i\''^=z^i>* ne peuvent être vérifiées séparément que pour des va- leurs égales des indéterminées. ( 4i6 ) Remarque II. — Le sj^stème des équations a? = «-, 07 + 1 = 2 f-, 2a:+iz=3;- a pour solution unique a: = i ; en effet, ce système donne 2r'- — u-^i^ et 2P-+a- = 3s-. SIR UNE QUESTION PROPOSEE PAR M. BOIJUGIIET; Par m. catalan. La solution donnée par M. Muffat, dans le numéro de juillet des Nouvelles Annales, a reporté mon at- tention sur renoncé suivant : Trouver les racines de V équation (,\ «-1 -^"^ ^-i) __ 2 JT+I (j:+i)(^H-2) au sujet duquel je vais présenter quelques remarques. I. Quand on propose de résoudre une équation , çp(x) z= O, il est sous-entendu que <^{oc) est une fonction, sinon bien déterminée, au moins bien définie. En est- il ainsi dans le cas actuel? Autrement dit, la série (i) est- elle convergente pour toutes les valeurs positives de x? C'est là une question préliminaire sur laquelle je ne me prononce pas, faute de temps, mais que M. Bourguet doit avoir examinée et résolue. Je me bornerai à cette seule indication : si x croît indéfiniment, V équation (i) ( 4i7 ) devient à la limite I 0 = i-t-i — i-f-..., ce qui est absurde. II. Si l'on attribue à x une valeur Ji entière et positive, la série (i) se réduit à ses 11 -f- i premiers termes, sa- voir : I n nin — \] n[n — 1) . . . t 2 « -1- I (/2 -+- 1 ) (« -h 2 j [n -\- l'y^n -r- 1] . . .in M. Mufïat a prouvé que cette quantité est nulle. En conséquence, Ji étant un nombre entier quelconque, on a identiquement ri nin — ï) n ( n — i ) . . . i « -h I [n -{- ij[n -\- ij "^ ( « + I ) ( « 4- 2) . . . 2 « ; Celte proposition renaarquable est comprise dans i'un des théorèmes de Slirling [*). m. D'après la Note de M. Muffat, la question proposée admet comme solutions x ^=- 1 , x = o., jc = 3 Mais rien ne prouve que l'équation o{x) = o (**) n'ait pas de racines fractionnaires, incommensurables, imagi- naires, etc. Le problème reste donc à résoudre ou peu s'en faut. (*) liiNET, Jounxil de l'École PolrCecliniquc, XXVII» Ciihicr, p. i5'|. Il suffît, pour retrouver l'i'{;alitc (i), de changer u en — y> dans la formule de Stirlin^. (**) Encore une fois, nous admettons Icxistencc de la fonction ?{■')• Jiin. de Muchémat., -i" série, l. XVI. (Septembre 1877.) 27 ( 4i8 ) IV. Après avoir rappelé I 1 •••• 2 0 n J'appelle sur ce point l'attention de M. Bourguet. Note par le Rédacteur. — On a identiquement - := ( a, j + ( a, — a^ ) H- . . . -t- ( a„._, — a„ ) -+- a„ , de sorte que, si a„ a pour limile zéro quand n augmente indéfiniment, la série f - — a, j + (a, — «2) I sera convergente et aura pour somme -• Posons II XI X p X a„ = • • • ) 2 I + .r 2 + X p -+- X (*) Introduction à l'Aiialjse, p. iig. ( 4i9 ) il en résultera, pour l'expression du terme général X I — X p — 1 — r a„_, — a, = ■ • • • • '^ l -r- X 1 -r JC p -r- X Lj^ Quel que soit x, soit h un nombre entier immédiate- ment supérieur à sa valeur absolue 5 posons II — rr "?_ — X k — I — X 1 l + X Q. -r- X k — l -\- X le terme complémentaire «„, «dépassant A — i, pourra s'écrire k — ,r A -+- 1 — X n — X a.n'=- ^ 7 , , - - • • • — — • k-^xk-\-\+x n -^ X On voit immédiatement que, si x est négatif, chacune 'les fractions •> ■ - • •> est supérieure à l'unité, k -T- X n -i - X ^ de sorte que «„, au lieu de tendre vers zéro, va en aug- mentant : la série proposée est donc divergente. Si X est positif, il est facile de montrer que «„ a pour limite zéro. En eflet, de la formule connue / y3 \ log(i -f- r) — log (i - y) '^■- 1 ( j -i- y H- . . . ) , on conclut, j-" étant positif et plus petit que i, loK J> 2 r ou "> (?y. puisque les nombres — — - cte''' sont supérieuis à luniié. Remplaçons dans celle inégalité j'- successivement par-> 27. / + I ( 420 X -1 nous aurons n A- -h I H- T A- -i- I — .r >e A- r 71 -{- X 5- et, eu mulliplianl membre à membre, /{ -i- X /i -^ l -^ .T n -\- X 2X (7 + y-— +...-4- -) /. — .r A- -+- I — X n — X , Or l'exposant de e admet en facteur la série harmonique : donc le premier membre peut devenir supérieur à toute quantité donnée, et par suite a„ inférieur à toute quan- tité donnée 5 la série est donc convergente et a pour somme-; d'où il résulte que, pour a:^o, l'équation proposée par M. Bourguet est une identité. Si l'on désigne, comme précédemment, par A un nombre entier immédiatement supérieur à x[x'^o), par B le produit i 2 on pourra écrire, ti dépassant A — i, I — -^ I = B,,-f Tj-i-«j- Chacun des facteurs qui suit B est inférieur à l'uni lé, de sorte qu'en passant d'un produit quelconque au suivant, ( 421 ) l'expression considérée diminue ; nous allons voir qu'elle a pour limite zéro. On a, en effet, pour o < j <^ i , d'après un développe- ment connu, ^ I On en conclut X I X I :r I e" <'t, en multipliant membre à membre, '-jj['-7rrJ--\' „ ï) Or l'exposant de e admet en facteur la série harmonique \ donc le premier membre peut devenir inférieur à toute quantité donnée, et l'on a le droit d'écrire I X x[x I 2 .r -I- I ' (a: 4- 1 ) (.r H- 2j pour toute valeur positive de x. Ch. B. ( 422 ) MÉ.1101RE SIR LES TRANSFORMATIONS DIJ SECOND ORDRE DANS LES FIGIRES PLANES; Par m. E. AMIGUES, Professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Nice. PREMIERE PARTIE. 1. Les iransformalions du second ordre, bien qu'elles soient connues depuis un demi-siècle (*), n'ont pas donné dans la Géométrie supérieure les résultais qu'il était per- mis d'espérer. Peut-être n'a-t-on pas étudié avec assez de soin les ressources de celte méthode. Les rcclrerches que nous avons faites à ce sujet nous ont conduit à un certain nombre de lois, qui pourront avoir quelque in- térêt pour les géomètres. 2. Soient - et — les coordonnées cartésiennes d'un x' y' point dans un plan, -y et — ^ les coordonnées cartésiennes d'un point dans le môme plan ou dans un plan différent. Deux relations entre ces quantités-;'-? —et — défi- , z z z z nissent un mode de transformation des figures. Suppo- sons ces relations algébriques et telles qu'à tout point de chaque figure corresponde dans l'autre un point et un seul. Cette dernière condition revient à supposer que les relations sont du premier degré et homogènes, soit en a:,}', s, soit en x',j\z'. Elles sont donc de la forme sui- (*) Maosls, Nouvelle méthode pour découvrir des théorèmes en Géomé- trie (^Journal de C relie ; iS3i). { 4^3 ) vante : L^- + Mr + Nz = o, L, M, N,L', M', ÎS' étant des fonctions linéaires et ho- mogènes dex\y, z' . On peut alors les écrire ainsi : X y z MN' — NM' NL' — LN' LM' — ML' Il peut arriver que les dénominateurs se i^éduisent au premier degré. On a alors une transformation horao- graphique. Mais, en général, ces dénominateurs sont des fonctions du second degré U, V, W, et les relations prennent la forme suivante : X y z ïf ~ V ~ W* Les fonctions U, V, W ne sont pas arbitraires; car, s'il en était ainsi à tout point donné (x, j', ^) correspon- draient en général c[uaîre points (x'', j', 2') communs aux trois coniques représentées parles équations .T. y z U ^ V ~ W ' Pour qu'à un point (x,^, z) corresponde un seul point [a/^y, z'), il est indispensable que les trois coniques ci- dessus aient trois points communs qui restent invaiiables quand le point (x,j ,2) change, de telle sorte que leur qua- trième point commun corresponde seul au point (x,) ,z). Prenons ces trois points communs pour sommets d'un triangle de référence dans le plan P'qui contient le point (a/, j^, z',), et pour faciliter les interprélationsgéométri- ques, adoptons des paramètres de référence égaux à l'u- nité. Toutes les coniques ci-dessus doivent être circon- scrites au triangle de référence, en particulier les trois ( 4^4 ) coniqueb représentées par les équations U=:o, V = o, W = o, Il faut donc que Ton ait V = aY'Z' -i- bX'Z' -+-cX'Y', V = a,Y'Z' + ^,X'Z' + c.X'Y', W = a.Y'Z' -:- h.X'Z' -f- c,X'Y'. Ainsi les facteurs U, V, W ont une forme particulière, et les relations qui déflnissent la transformation devien- nent -^ y aY'Z' + bX'Z' -h cX'Y' ~ «,Y'Z' H- 6,X'Z' + c.X'Y' fljY'Z'-F6,X'Z' + c,X'Y' Multipliant les deux termes du premier rapport par /, ceux du second par //z, ceux du troisième par «, puis divisant la somme des numérateurs par celle des déno- minateurs, on obtient un rapport égal à chacun des pro- posés. Si d'ailleurs on choisit /, /?i, /i d'après les condi- tions la -Y- ma, -+- na^ ;=: o, Ib 4- mb, -i- nb-^ = o, ce rapport se réJuit à Ix -i- m y -\- nz {le -h inc^ -f- «Cj)X' Y' On trouve de même deux rapports analogues égaux, de sorte que les formules de transformation peuvent s'écrire ainsi : Ix ->r my -^ nz l^.r -^ m, y -^ n^z [le -+- me, -f- «Cj) X'Y' ~ {l,a -\- m,a, -i- n,a.,)Y'Z' l-iX -\- ni^y -4- n^z {l,b -hm.b, + n,b,)Z'^' (A suivre.) ( 4^5 ) CORRESPO^DAKCE. \. M. Realis nous a adressé une solution de la question 1229, qu'il fait suivre des remarques suivantes : « L'équation considérée est un cas particulier, le plus simple, de celles que l'on désigne sous le nom tVéqua- liojis de Moh've, et à l'égard desquelles il est facile d'éta- blir des propositions analogues à l'énoncé 1229. On peut voir, sur ces équations, un article inséré aux Nouvelles Annales, t. IV de la 2* série, p. 209 et p. 289. On y trouvera, au n° 9, des formules qui mettent en évidence l'extension à.c. la proposition ci-dessus à l'équation de Moivre du degré /î, dans le cas où toutes les racines sont réelles. Voyez aussi, pour ce dernier cas, Vlntroduc- tion qui précède le Traité du Calcul dijférentiel et du Calculintégral àe Lacroix. » AVIS. Pour éviter des rectifications assez nombreuses au sujet des énoncés des Questions proposées, nous prions les personnes qui nous adressent soit des théorèmes à démontrer, soit des formules à établir, de vouloir bien y joindre leurs démonstrations. PIBMCATIO^S RECETTES. 4. Recueil complémentaire d'exercices slr le Cal- cul 1KFINITÉSIMAL5 par iM. F. Tisserand, directeur de ^ ( 4^.6 ) l'Observatoire de Toulouse. — Paris, Gaulliier-Villars ; 1877. In-8. * 2. Recueil d'exercices sur la Mécanique ration- nelle, à l'usage des candidats à la licence et à l'agréga- tion, par M. ^. fie Saint-Germain, professeur à la Faculté des Sciences de Caen. — Paris, Gaulhier-Vil- lars-, 1877. In-8. 3. Cours d'Algèbre supérieure, par M. J.-A, Serret, membj-e de rinslitiu^ 4^ édition, t. 1". — Paris, Gau- thier-Villars; 1877. I11-8. 4. Traité de Mécanique générale, comprenant les Leçons professées à l'Ecole Polytechnique , par M. H. Resal, membre de l'Institut. — Paris, Gaulhier- Villars; 1878, 1874, 1876. 4 vol. in-8. Tome P^ — Cinématique. — Théorèmes généraux de la Mécanique. — De l'équilibre et du mouvement des corps so- lides. Tome II. — Du mouvement des systèmes matériels et de ses causes. — Thermodynamique. Tome III. — Des machines considérées au point de vue des transformations de mouvement et de la transformation du tra- vail des forces. — Application de la Mécanique à l'horlogerie. Tome IV. — Des moteurs animés. — De l'eau et du vent comme moteurs. ■ — Des machines hydrauliques et élévatoires. — Des machines à vapeur, à air chaud et à gaz. 5. Traité d'Algèbre élémentaire, à lusage des can- didats au baccalauréat et aux écoles du gouvernement, par M. E. Laiwernay , ancien élève de l'Ecole Normale, agrégé de l'Université, professeur au lycée d'Amiens. — Paris, G. Masson; 1877. In-8. ( 427 ) MEMOIRES RECEMS. 1. Naova teoria délie soluzioni singolari délie eqiia- zioni dijjerenziali di primo ovdine e seconda gvado trci due variabUi. Communicazione del professore F. Caso- rali. Estralto dal tomo III, série 2'', degli Alli dalla reale Accademia dei Lincei. 2. Sulla superficie del qidnto ordine dolata d'una cwva doppia del c/uinto ordine. Memoria presentata per la laurea all'Università di Roma da Etiore Caporali. Eslralta dagli Annali di Matematica pura ed applicato, série 2% tomo VII. 3. Sur le développenient de la fonction perturbatrice suivant la forme adoptée par Hansen dans la tJiéoric des petites planètes ; par iM. J. Hoûel^ professeur à la Faculté des Sciences de Bordeaux. Extrait de Vylrchiy mathematihy afjsilij t t. I. •4. Sur certaines conséquences de la formule électro- dynamique d'Ampère^ par Ph. Gilbert, professeur ;! l'Université de Louvain. Extrait des Annales de la So- ciété scientifique de Bruxelles, i'"^ année. o. Zur Théorie der elliplischcn Functionen, von Pro- fesser Eduard Weyr. Extrait des Comptes rendus de r ylcadémie des Sciences royale de Bohême. G. Bévisioti et extension des formules numériques de- là théoj'ie des surfaces réciproques, par M. G. Zeuthen, à Copenhague. Extrait du tome X des MathemaiiscJu- Ânnalen. ( 4^8 ) 7. Note sur les singularités des courbes planes ,- par M. G. Zeuthen, à Copenhague. Extrait du tome X des Matheinatische ^nnalen. 8. Sur les formes quadratiques positives, par M.M. ^. Korhine et G. ZolotareJJ, professeurs à l'Université de Saint-Pétersbourg. Extrait du t. XI des Matheinatische ^nnalcn. 9. Ueher das arithnietisch-geometrische Mittel ans vier FAeinenten, von C . TV. Borchardt. Aus dem Mo- natsberichte der Kôiiig schafien zu Berlin, 1876. îiatsherichte der Konigl. Akademie der TVissen- iO. Sullc soluzioni singolari délie equazioni aile de- rivate parziali. jNota del professore i^. Casorati. Eslratto dai Rendiconti del R. Istituto loinhardo di scienze e lettere, série 2*, t. IX. 11. JJeher eine geonietrische Verwandlschaft in Bezug auf Curven dritter Ordnung und dritter Classe, von D"" Karl Zahradnih^ Prof, an der K. Franz Josef- Universitât in Agram. Aus dem LXX\ Bande der Sitzh. der K. yihad. der TVi^sensch. 12. Note on the plàckerian characteristics of epi-and hypo-trochoids and allied curves, by Samuel Roherts. Extracted frora the Proceedings ofthe London malhe- niatical Societj, vol. IV, n° 63. 13. On a simplified method ofohtaining the order of nlgebraical conditions, by S. Roherts. Extracted from the Proceedings of the London mathemalical Society^ vol. VI, n°82. W. On three-hur motion in plane space^ by S. Ro- •^•Âf^l •J ( 429 ) f herts. Exiracledfrom Proceedings ofthe London inathc- matical Society, vol. \ 1, u°* 89 et 90. 15. Sopra un slstema oiiialoidico foniial o da super- ficie d'oi'dine n con un punfo [ji — i)-plo, per li. de Paolis. Eslralto dal volume XIII del Giornale di Mate- matiche. IG. Recherches surles dêveloppoïdes des divers ordres, par M. J.-N . liaton de la Goupillière. Extrait des An- nales delà Société scientijique de Bruxelles, a*^ année, 1877. [l . Sui centri di gjYiuità^ per Achille Minozzi. Es- tratlo dal volume XV del Giornale di Mateniatichc. 18. Sulla leoria del movimento d'una figura piana nel suo piano, yter Achille Minozzi. Naples, 1877. I""4*'' SOUTIOAS DE QUESTIONS PROPOSÉES DW'S LES \011VELLES ANXALES. Question 1180 (voir 2*. série, t. XIV, p. 336); Par ]M. Edouard LUCAS. Une pile de boulets à base carrée ne contient un nombre de boulets égal au carré d'un nombre entier que lorsqu'elle en contient vingt-quatre sur le côté de la base, (Edouard Lucas.) On sait, en effet, que la somme des carrés des r pre- miers nombres entiers a pour expression - • ( 43o on doit donc poser .r ( jr H- I ' •J' mais les facteurs j:, x -j- ï et ax H- i sont premiers entre eux, et l'équation précédente donne les neuf décomposi- tions suivantes : I. .. . X -Z.6 11^, .r -f- I = c^ 2.r -h I = «*'; II X =z3 u}, X + I = 2 c^, 2 jc + I = (t-' ; m. . . X = 3 II-, j7 H- I — r= 2.»; 4- I = 2(V''; IV. .. X z=. :i lû. .r+ 1=1 3<'' , 2 .r H- I =; «'2 ; V. ... .r •= 2 u"^, X '\- 1= c' 2 j: -f- I =:; 3 «'^ ; VI... X = a^, a; H- I = 6^' , 2j: -f- I = «'^; VII. X == «', a: + i= 3(^' 2 j; H- I =r: 2 tf - ; VIII. . X ---^ u^, .r + I = 2 c'- , 2 07 -1- I = 3 (v' ; IX... X = ?/% j: + I r= r'2 , 2.r -)- I r= 6fr^. Nous allons examiner successivement ces neuf liypo- ihèses. I. On a [l) W' — I = I2«', et, par suite, puisque les facteurs iv-f-i et i»' — i ont leur plus grand commun diviseur égal à 2, on en déduit, (;n admettant les valeurs négatives de w, mais, d'autre part, (3) w^-\- 1= "i-v^. Les équations (2) et (3) doivent être vérifiées en même temps. Le système de ces deux équations a été traité complètement par M. Gerono (*) ; il n'admet pour solu- (*) Voir iHÔine tome, p. 23 1. ( 43i ) lions entières que les valeurs w= dzi et iv = ± ^7. Ces valeurs vérifient d'ailleurs l'équalion (1)5 on en déduit X =■■ o et X = 24. Ainsi ,= -H 2^ + 3^4-. ..+ .4^:= ^^-^^ = 4900. II. Celte hypothèse conduit à l'équation s. c' — 3 «^ = I , impossible suivant le module 3. III. On déduit de cette décomposition l'équation 2 11'^ — 6 m- = I, impossible suivant le module 2. IV. On obtient aisément (v^ 4- I = 6c-, équation impossible suivant le module 3. V. Cette hypothèse donne l'équation 4 /f' ~ I = 3 tv-, impossible suivant le module 3 ou le module 4- \I. On trouve l'équation, impossible suivant le mo- dule 3, , 6 c^ = «- -h I . \ II. On trouve de même l'impossibilité 3.-2 =z u^-hï. VIII. Cette hypothèse ne donne que la solution x = i, d'après la remarque qui termine l'article précédent. IX. On est conduit à l'impossibilité ( 432 ) Ainsi, en résumé, la somme des carrés des x premiers nombres entiers n est jamais égale à un carré parfait, excepté pour x = 24. QUESTIONS. 1252. Soient O et XY un point et une droite fixes. Du point O, on mène jusqu'à la droite : OA quelconque ; OB perpendiculaire à OA-, OC bissectrice de l'angle droit AOB 5 OD perpendiculaire à OC. Déterminer le minimum de la somme AB-j-CD des deux hypoténuses. 12o3. On propose de résoudre les équations zy — r^ =zi A, xz — ^^ = B, xy — ?^ = C, st -— rx -^ D, tr — *J ^^ E, rs — s/ = F. (J.-Ch. Dupaipj). 1251. Démontrer la formule suivante, où C'/„ est le nombre des combinaisons de m objets n k n : ^■&a -t- (/!■ - i)cf;-'c; + (A- - 2)cfr^q a -\- b H. LAUr.EKT ERRATA Paffe 262, ligne 6, au lieu de = — — , lisez = — — a jx b' 11. A A Pase 335, lisne 11, au lieu de pn cos-j lisez nincos-- '2 2 (433 ) THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES FOXCTIONS ELLIPTIQUES; Par m. h. LAURENT. [suite (*).] ÉTUDE ET DISCUSSION DE LA FONCTION sinamj:. Considérons l'intégrale Vo si il -Y'] il -A' ■0 v/(I-J^ . qui est la plus simple de celles auxquelles se ramènent les intégrales que nous avons considérées plus liaut. Legendre posait j — sinçp, il obtenait alors la relation X = i ; -2 était ce qu'il appelait l'amplitude de l'intégrale x. Alors, en posant cj) := anix, on a y =^ sinam.r; le nom de sinama: est resté à y considéré comme fonc- tion de X. Nous adopterons la notation de Guderraann, plus simple que la précédente, due à Jacobi, et nous aurons y = sinamx = snar, ^i — 7* = cosamx = cna-, \}i — k-y- --- dn.r, y y/i— J' tangamx = tnj:. (*) IVouvcllcs Annales, 2* série, t. XVI, p. 78, 211, 36i, 385. Ann. de Mathémat., 2* série, t. XVI. (Octobre 1877.) 28 ( 434 ) Nous reviendrons d'ailleurs sur ces formules pour en préciser le sens et déterminer le signe qui convient à chaque radical. Dans ce qui va suivre, k sera quel- conque, mais, dans la pratique, A sera généralement réel et moindre que l'unité. D'après ce qu'on a vu au paragraphe précédent : 1° La fonction snx sera continue, monodrome el monogène dans toute l'étendue du plan. 2° Elle possédera deux périodes, l'une •^0 \/(i-j=)(i-/5--'j^) Jo sl{i~y'][i py. correspondant aux deux lacets successifs et relatifs aux points critiques — i et -f- i. Nous l'appellerons 4K5 nous observerons qu'elle est réelle quand k est réel, el d'ailleurs moindre que l'unité en valeur absolue, l'autre période est Jo ^ Ju A désignant, pour abréger, le radical-, on peut le repré- senter par 2 K\ — I , en posant ..^^X" Si l'on fait on trouve K' ( 435 ) h est ce que l'on appelle le nioduîej V est le module complémentaire , R est Vintégrale complète, K' est Viutégrala complète complémentaire . Ainsi les côtés du parallélogramme des périodes soûl 4K et 2K' sj'^^- 3" La fonction snx passe deux fois par la même va- leur dans le parallélogramme, el, d'après la discussion faite au paragraphe précédent, % sn 2 Iv — x] = sn^'. 4° La fonction snx s'annule en particulier deux fois dans chaque parallélogramme, et comme on a évidem- ment sno=o, les zéros de snx sont donnés par les formules o et 2K, ou, plus généralement, 4Kw +2K'rti/ — I ) , . ) ou 2K/« H- 2K « V — I . 2(2w -h i)K -(- 2K'«v/— I ) 5'' Clieiclions les infinis de snx. L'un d'eux sera donné par la formule - I — ou 2a = / Jo ^ J-^ 4 et Ton peut supposer que le contour d'intégration soit rcctiligne en laissant d'un même côté de lui-même les points critiques -4-1 et -f -, el, de 1 autre cote, — i et A" — -; mais un tel contour pcul être remplace par un demi-cercle, de rayon infini décrit sur lui-même comme diamètre, à la condition d'y adjoindre les deux lacets relatifs aux points critiques. Or le contour circulaire 28. { 436 ) donne une intégrale nulle-, on a donc et, par suite, a = K' y/"^^. Ainsi Tun des infinis de sno: est ¥J \J — i", et, comme sn(2K — x) = snx^ un autre infini sera 2K — K'y/ — i. En général, les infinis de sno: seront 4wK + (2« -^ i) K'J'^ ) ^ , ,. , ou 2K/?2+'2«-i- I K' V — !■ 2 ^2 W -^ I ) K -i- ( 2 « -r- 1 j R' V — I ) 6° On a, comme il est facile de le voir, sn.r = — sn( — x) . 7° snK'y/ — 1 étant infini, posons, dans l'équation y = ~ i X =^K' J ~ L -i- t : nous aurons d'où nous concluons, z s'annulant avec f, 3 =ii; sn^=:dzsn( — K'^ — i H-x) ==!zsn (R' y' — t -^•^)> et, par suite, sn ( R' \J — I H- .r ) = -=- , ^ ' A sn.r d'où l'on tire sn R' y — 1 = co . 8° Enfin l'on a I sn (R) = i, sn{R-^R'v/— i) ( 437 ) °^ SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. La discussion faite au paragraphe précédent nous a révélé l'existence de fonctions monodronies et mono- gènes possédant deux périodes. Ces fonctions (et les fonctions elliptiques sont les plus simples d'entre elles) jouissent de propriétés communes qui peuvent en sim- plifier l'étude ; nous commencerons par faire connaître ces propriétés. Sans doute une bonne partie de la théorie des fonc- tions elliptiques pourrait être faite, et même a élé édi- fiée avant la découverte, toute récente, de ces pro- priétés*, mais leur connaissance explique bien des méthodes d'investigation qui pourraient, sans cela, être regardées comme des artifices de calcul heureux, mais peu propres à éclairer sur la méthode d'invention. Théorème I. — IL n existe pas de fonction niono- dronie et monogène possédant deux périodes réelles et distinctes. En effet, si la fonction^ (a:) possédait les deux pé- riodes 0) et vs. on aurait /[x -H /?? w H- « cj ) ^ /( .r ) , m et n désignant deux entiers quelconques. Or, si w et cj sont commensurablcs, soit a leur plus grande commune mesure et w = /a, a =: la. Si l'on pose m/c -+■ ni :z^ I , celte équation aura toujours une solution, car A et / sont premiers entre eux. On aura donc m X -f- nie/. = a. ou /« w -4- « ci = a, ( 438 ) par suite /(.r-+-a)=:/(jr); a serait donc une période et co et cj seraient ses mul- tiples. Si oi et tJ sont incommensurables, on pourra tou- jours satisfaire à la formule /??W -i- 7213 l^ s, OÙ £ est très-petit. Il suffit, en effet, pour cela, de ré- duire — en fraction continue : soit- une réduite quel- w q concfue, — la réduite suivante: — sera compris entre ces q w ^ deux réduites dont la différence — tend vers zéro. On pourra donc poser ^ ^ , _9 W q'^ qq' et r p s n Y ma -^ np «6"| niM + nrs = (,i\ m -{- n - — y- n = w | — -\ I • L )=f[x] F - + I =. F - , F - -h r r . F - eu désignant par F f - | la fonction /"(^x) : x étant quel- conque, on aurait ¥[x -^ \]=F{x]y Y[x -hr) — ¥[x\ et la fonction F aurait les périodes réelles i et /•. TnÉORÎiME II. — Une fonction monodronie, mono- ^cne et continue ne saurait auoir plus de deux pé- riodes. En effet, soient a-^b \J — i, n'-h U y — 1 , a" -{- h" \J - i trois périodes de la fonction f{x), s'il est possible. Je (lis que l'on pourra toujours trouver trois entiers m, m', m", tels que l'on ait a'" := ma -+- m' a' -î- m" a" <^ î , b'" . - mh 4- ///' b' 4- m" b" < z , z étant un nombre si petit que l'on voudra. En effet, { 44o ) considérons la quantité a-"b" - b"'a" z= m [ah" — ba") -h m' [a' b" — b' a" ] ; on pourra toujours, comme on Ta vu dans la démon- stration du théorème précédent, choisir ni et m' de telle sorte que a!"b" — h'" a" soit moindre qu'une quantité donnée, et même de telle sorte que l'on ait „, ,,„a" ab" — ba" ,fi' h" — b' a' a"' - b'" - ou m ^„ + m' -^, < 5, c'est-à-dire en valeur absolue (l) a"'<^^-,-b"'Ç, mais ;?i et m' ayant été ainsi déterminés, on pourra tou- jours choisir ni!' de telle sorte que l'on ait en valeur absolue 2 b'" mb , b' V °" yr-^m'-- et, par conséquent, (^) '"'""<'- a". b" ^2 On pourra donc, en vertu de (i), prendre 2 [a] désignant la valeur absolue de a", ou, en définitive, ia"] . { b" ] prendre a'"< ^ — -• Or, de (2), on tire b'" <^ - — -^ ainsi on pourra prendre (4!" et b'" moindres en valeur absolue que les demi-valeurs absolues de a" et b'" . Cela étant, considérons les quantités a''' = n' a + n" a" + n'" a'" , b^^ = n' b' -{- n" b" -^ n'" b'" ; ( 44i ) on pourra choisir les entiers /z', iv\ n'" de telle sorte /// 7/// que Ton ait en valeur absolue a}^ <^ — -, h^" b^ -h b^''' y — i de module aussi petit que l'on voudrait; f[x -^ e) — f{^) = ^ aurait donc une inCnilé de racines dans un espace limité, ce qui est absurde. Il n'y aurait d'exception à cette conclusion que si l'un des nombres a, et son correspondant bi s'an- nulaient rigoureusement. Mais alors, en appelant '>>,«', w'', pour abréger, les trois périodes et en désignant par /?i, /?i', VI trois entiers, on aurait (l) w&j H- /;/w' -}- m"w" z=z o. Soient «', le plus grand commun diviseur de m et m', et p, fx' les quotients de m et m' par m\ ; si l'on pose I II ' pW -|- fi 0) ._ w I , on pourra toujours choisir n et n' de telle sorte que le déterminant y.n' — h^l' soit égal à i pour des valeurs entières de n et //'; alors co et o)' s'exprimeront en fonc- ( 442 ) lions linéaires de o/j etWj, à coefficients entiers. On aura ensuite, au lieu de (i), Divisant les deux membres de cette formule par le plus grand commun diviseur de m^ et de m'' .^ elle prend la forme p', w, H- p w =0, et si l'on prend iï\o'.' — 7i"u, = i, ce qui est possible, et si l'on pose o/ et hy' seront des multiples de oj'' . En résumé, co et w' sont fonctions linéaires et à coefficients entiers de c>/ et de Wj, c'est-à-dire de co'^ et de a)i. 11 en est de même de oo": nos trois périodes se réduisent donc à deux de la lorme p'>î\ -f- <70)i, p ei q désignant des entiers. THÉonr:.ME de m. hermite. Théorème. — L'intôgrale d'une fonction double- ment périodique prise le long d\in parallélo g ranime de périodes est nulle. Ce théorème, ou plutôt cette remarque fondamen- tale, est due à M. Hermite : elle est presque évidente. En effet, le long de deux côtés opposés, la fonction prend les mêmes valeurs, mais la différentielle de la variable y prend des valeurs égales et de signes contraires^ la somme des intégrales prises le long des côtés opposés est donc nulle, et il en est de même de l'intégrale totale. Première conséqueivce. — Une fonction doublement périodique s'annule au moins une fois et devient infinie au moins une fois dans chaque parallélogramme des pé- riodes, car sans quoi elle ne deviendrait jamais ni nulle ( 443 ) ' ^J^ ni infinie; mais le théorème de INI. Hermîte nous ap- prend que dans chaque parallélogramme il y a au moins deux infinis et deux zéros. En effet, si dans un parallélogramme il n'y avait qu'un infini, l'intégrale prise le long du parallélo- gramme serait égale au résidu relatif à cet infini multi- plié par 2 7r Y^ — i . Or ce résidu ne saurait être nul; donc il ne saurait y avoir un seul infini dans le parallé- logramme : il ne saurait non plus y avoir un seul zéro, car la fonction inverse n'aurait qu'un seul infini. Deuxième conséquence. — Dans chaque parallé- logramme, il y a autant de zéros que d'infinis. En effet, soit f [z) une fonction à deux périodes, == T77~ aura les mêmes périodes; en 1 intégrant 27ry — l /[^l ^ ' ^ le long d'un parallélogramme, on doit trouver zéro, ou la différence entre le nombre des zéros et des infinis de f{z) : cetie différence est donc nulle. Troisième conséquence. — En intégrant I ^.f'{z) 27rv/— X /i^i le long du parallélogramme des périodes, et en appe- lant w et cî les périodes, on trouve la différence entre la somme des zéros et celle des infinis contenus dans ce parallélogramme; elle est 2ns/-l L J /v = ; J />2) J La première intégrale est prise le long delà période rj, et la seconde le long de la période o); en effectuant, on a I — w log ——- h cj loi; — — I 2,rv/-iL ^ J[^) "" J[^) J 4| ( 444 ) ou [ulogr — wlogi]:^=mn3 -f-nw; 2îr^ — l celte quantilé est une période. Quatrième conséquence. — Une fonction double- ment périodique^ qui admet n infinis, ou, ce qui revient au même, n zéros dans un parallélogramme de pé- riodes, passe aussi n fois par la même valeur a à V in- térieur de ce parallélogramme . En effet, so\i f[x) une telle fonction, y (.r) — a aura aussi n inGnis et, par suiie, n zéros; àoucf[x) passe n fois par la valeur a. Une fonction doublement périodique qui possède n infinis dans un parallélogramme élémentaire est dite d" ordre n. La somme des valeurs de la variable x, pour les- quellesy^(x) prend la même valeur, est constante à des multiples des périodes près 5 en effet, d'après ce que l'on a vu (troisième conséquence), y"(^) — a est nul pour n valeurs de z qui, à un multiple des périodes près, ont une somme égale à celle des infinis àefi^x). Il n'y a pas de fonctions du premier ordre, puisque toute fonction à deux périodes a au moins deux infinis dans cbaque parallélogramme élémentaire, et les fonc- tions doublement périodiques les plus simples sont au moins du second ordre. Nous allons maintenant essayer d'établir directement l'existence des fonctions monodromes, monogènes, con- tinues et doublement périodiques. 445 REMARQUES RELATIVES AUX PRODUITS INFINIS. Nous allons bientôt avoir à considérer des produits de la forme n n - et il est bon de montrer dès à présent que la valeur du produit en question dépend de la manière dont on l'ef- fectue, c'est-à-dire, en définitive, de Tordre des facteurs. Considérons, en effet, m et n comme les coordonnées d'un point, et faisons le produit de tous les facteurs cor- respondant à des valeurs de m et n intérieures à une courbe Cj et de tous les facteurs correspondant à des va- leurs de m et n intérieures à une courbe C2 Soient P, et P2 les produits, on aura l=n a -\- ma -^ ii(ù m et n désignant les valeurs entières comprises entre les deux contours Ci et C2. On en tire l0L'P,-l0"P, = 2log( I-i ; ) =-5:- — - — >--y On voit que logPi — logP, peut être infini; mais il peut aussi être fini : c'est ce qui arrivera quand - sera fini. C'est ce qui arrivera encore ma -+- ri'j) là lorsque, ^ , étant nul, parce que les deux ( 446 ) contoui's ont pour centre l'orieine? > p- ne sera pas nul : ce cas remarquable a été examiné par M. Cayley. En désignant par A la valeur de cette somme, on aura, en négligeant des termes infiniment petits, et, par suite^ A 2' l0gP,-l0gP2 3=:-— -, L'ordre dans lequel on effectue le produit, même en pre- nant autant de termes positifs que de termes négatifs dans chaque produit partiel, peut influer sur le résultat 2 en introduisant une exponentielle de la forme e c'est ce qui nous permettra d'expliquer un paradoxe cjue nous rencontrerons plus loin. SUR LES FONCTIONS AUXILIAIRES DE JACOBI. Essayons maintenant de former directement une fonc- tion monodrome et monogène admettant les périodes 4K et 2¥JsJ — i de snx. Si l'on observe cjue l'on a sin.T = X l 1 — — 1 — - — ou ■i-n sin^ = limTT(i ^| pour « =; co , — « en supposant i '— remplacé par x, on sera toute de ( 447 poser 7.Kn? -4- aK'/? y' — i n[ ■' ==1 11 L 2Kw + (2« + i)K's/ — ij en remplaçant i par a:, ou tout au 2Ko + 2K'oy/ — 1 moins y aura-t-ll lieu de se demander si le second mem- bre de celle formule ne serait pas doublement périodique. On voit d'ailleurs que ce second membre a été formé de manière à s'annuler et à devenir infini en même temps que snx. Malheureusement, d'après ce que l'on a vu au paragraphe précédent, les deux termes du quotient que nous considérons sont divergents, et ce quotient n'est pas bien déterminé j quoi qu'il en soit, en groupant conve- nablement les termes, on peut obtenir une fonction bien définie qu'il convient d'étudier. Considérons, en particulier, le produit n(- ='1 11 V 2Kw -i-2K'«v/— 1/ OÙ 2K0 4- 2K'o V — I doit être remplacé par x. En faisant d'abord varier m seul, il devient no. K /Il H- 2 K' n \/ — I — x 2Kot-1-2K'« V^ 2K'«v/ — I — •^tt/' 2K'«\/ — I — 2K'«v'— ï V ^^^"' 11 2l\.W ou, 448 ) , I enobservant que x JT f i — - j est égal à - sinîra: sm . aK'/zi/— 7 2K. Quand n :^ o, il faut remplacer ce produit par sin — 5 et le produit cherclié peut s'écrire sm ^r- I J -^^ K -Il ^,n ' en posant, pour abréger, g K = 11 (,_,,„«.-^^")(,-,..-./-''-), \/-l ou, si l'on veut, ly^r -I- 2K' y/— l) =: \I — q-*e ' J XX' = fAYY' --= vZZ'. Si on laisse les deux triangles de référence arbitraires ainsi que les quantités A, u, v, les relations (i) sont les relations algébriques les plus générales pour lesquelles à un pointde «chaque figure correspond un point et un seul de l'autre figure, sans que néanmoins il y ait homo- graphie. Les transformations de figure définies par ces relations s'appellent transformations du second ordre. (*) Nouvelles Annales, 2° série, t. XVI, p. !\2i. 29. ( 452 ) 3. A la droite AB (Z = o) correspond le point C (X' = o,Y' =o). A une courbe de degré m ayant pour équation F :X, Y, Z) =o correspond une courbe de degré 2 m ayant pour équation I I I F 1 , , \>X' fxY' vZ' La droite AB coupe la courbe d'ordre m en m points dont chacun a pour correspondant le point C. Les points A', B', C sont donc des points multiples d'ordre m de la courbe d'ordre im. Si la première courbe passe par le point A (Y = o,Z = o), la droite B'C (X':= o) fait partie de la deuxième courbe, dont le degré s'abaisse ainsi d'une unité, en même temps que l'ordre des points B' et C Si la première courbe passe par les points A, B,C,/^g', A fois, la deuxième courbe est de degré 2W — / — g — /i , l'ordre du point A' est m — g — h, celui du point B' m—f—b, celui du point C m —f—g- En particulier, si une courbe d'ordre o-in passe m fois par chacun des points A, B, C, la courbe correspon- dante est de degré m et ne passe pas par les points A', B', C. A la droite BC correspond le point A'; à une droite ( 453 ) menée par A, une droite menée par A'; à une droite quelconque une conique circonscrite au triangle A'B'C A une conique correspond une courbe de quatrième ordre à trois points doubles; à une conique passant par A correspond uue courbe de troisième ordre ayant A' pour point double et 13', C pourpoints simples 5 à une conique passant par les sommets B et C correspond une conique passant par les sommets B' et C A deux courbes ayant un contact d'ordre K correspondent deux courbes ayant un contact de même ordre. 4. A tout point multiple correspond un point mul- tiple de même ordre; il n'y a d'exception que pour les sommets des triangle de référence qui sont des points multiples appartenant en propre à chaque courbe. Ce principe évident permet de calculer la classe de la trans- formée. Soit une courbe d'ordre m passant/, g, h fois par les points A, B;C. La transformée est d'ordre 2 m — f— g ^ h et elle a trois points multiples A', B', C, dont l'ordre est m — g — h, m —f — II, fn—f— g; soient d'ailleurs n la classe de la première courbe; x la classe de la deuxième. A parties points multiples placés aux sommets des deux triangles de référence, on sait qu'à un point multiple d'ordre K correspond un point mulliplede même ordre. Ces points nmhiples communs donnent lieu dans les deux courbes à un même abaissement de classe que nous désignerons par iv. (2) ( 454 ) Soient d'autre part j et z les abaissements de classe produits dans la première et dans la seconde courbe par les points mnltiples qu'elles possèdent en propre. On a les équations suivantes : m [m — I ) — « = a; -j- 3, {■2ni—f-- g— h) [im — /— g ~h — i) — x = iv-^z; J =f[f — I ) + g- (g- — I ) + A ( /^ — I ), z = [n-f—g){n~f—g—\)-^ [n—g — Ii]{n — g—h—\ + [n-f-h] [n-f-h-i] Eliminant w.y^z, on obtient X ^= 1111 -{- n — 2 (y -}-■ o- -f h\. Pour/=^ = A = o, X z:^ 'Xin -\- n, 5. L'un des avantages de la transformation consiste à prendre une propriété d'une courbe d'ordre m et à voir ce qu'elle devient dans la transformée, qui est une courbe d'ordre iin possédant trois points d'ordre m. Mais, pour que cette opération soit légitime, il ne faut pas employer des procédés de transformation trop particuliers, tels que celui des rayons vecteurs réciproques. On doit se borner à ceux pour lesquels toute courbe d'ordre 2 m ayant trois points multiples d'ordre m est la transformée d'une courbe d'ordre m. On voit d'après cela combien il importe de reconnaître les procédés qui ont ce privilège ^ or il n'est rien de plus facile. On a, en effet, la règle suivante : Pour qu'une courbe quelconque d'ordre 2 m possédant trois points multiples d'ordre m puisse être regardée comme la trans- formée d'une courbe d'ordre /?/, il faut et il suffit que le procédé de transformation laisse arbitraire le triangle de référence dans la figure qui contient la courbe d'ordre 2 m. { 455 ) La condition est évidemment nécessaire, et l'on voit en passant que le procédé des rayons vecteurs réciproques n'y satisfait point, puisque les trois sommets du triangle de référence sont le pôle et les points circulaires à l'in- Gni. La condition est d'ailleurs suffisante. En effet, soit une courbe d'ordre 2 m avec trois points multiples d'ordre m. Prenons ces points pour sommets du triangle de réfé- rence dans la figure qui contient la courbe d'ordre im. Pour déterminer cette courbe, il faut points. Mais les trois points d'ordre m valent 3 m [m -f- I ) 2 points simples. La courbe est donc déterminée, si l'on donne, outre les trois points d'ordre m, un nombre de points égal à "îm {ini -\- 3) 3 m {m -+- ï) m m -\- 3) A ces points, que l'on peut se donner pour déterminer la courbe, correspondent dans l'autre figure un nombre égal de points, qui définissent précisément une courbe d'ordre ni. 6. Si l'on considère toutes les courbes du quatrième ordre ayant pour points doubles les trois sommets d'un triangle, on peut imposer à ces courbes cinq conditions nouvelles. Si on leur en im[)ose (jualre, on a un sys- tème. Nous appellerons caraclcràtiques de l'un de ces systèmes les nombres [j! et v' qui indiquent combien de ( 456 ) courbes du système passent par un point donné et com- bien louchent une droite donnée. Dans rautic fii^ure, on a un système de coniques assu- jetties non aux mêmes conditions, mais aux quatre con- ditions correspondantes . On sait que Ton appelle carac- téristiques de ce système de coniques les nombres [j. et v qui expriment combien de coniques du système passent par un point donné et combien touchent une droite donnée. On sait aussi que les nombres [j. et v peuvent être obtenus par une méthode générale bien connue au- jourd'hui . Nous allons faire voir que les nombres [j! et v' se cal- culent sans difficulté en fonction des nombres p- et v. p/, nombre de courbes passant par un point, est égal au nombre de coniques passant par le point correspon- dant, c'est-à-dire à u.. On a donc (4) ?■' = F- v\ nombre de courbes tangentes à une droite, est égal au nombre des coniques tangentes à la conique qui sert de transformée à cette droite, c'est-à-dire au nombre des coniques d'un système (y., y) tangentes à une co- nique donnée. Ce nombre est égal à 2(7. -f- v (*). On a donc v'-=2(|x + v), ce qui prouve que le nombre v' est nécessairement pair. Reste à montrer comment les propriétés d'un système [[jf, v') s'expriment en fonction de ses caractéristiques. (*) Le nombre des coniques d'un système (/y., v), tangentes à une courbe d'ordre m et de classe n, est égal à // //. -i- m -j ( Ciiaslks, Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, i" août i8G/|). ( 457 ) On sait que plusieurs propriétés des coniques du sys- tème [[J., v) se présentent sous Ja forme suivante : Le lieu d'un point o) dans un système de coniques (//, v) est d'ordre au -f- fiy. Transformons cet énoncé. Le lieu d'un point w' dans un système (y/, v') de courbes du quatrième ordre à trois points doubles communs est une courbe d ordre [;,/+-?,,'_.,/>], ayant trois points multiples d'ordre moitié moindre, confondus avec les trois points doubles. Donnons un exemple : Si d'un point S on mène deux tangentes à chaque co- nique du système (p., v) et que par le point où l'une d'elles rencontre uue droite A on mène une nouvelle tangente, celle-ci rencontre l'autre tangente issue de S sur une courbe de l'ordre (f- H- 2v) qui a un point mul- tiple d'ordre (a-hv) en S. (Chasles, Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. J^XXIL) Voici le tliéorème transformé. On a un système de courbes du quatrième ordre ("p', v') à trois points doubles communs. D'un point S on mène les deux coni(jues, passant par les trois points doubles, et tangentes à l'une des courbes du système. Par le quatrième point où l'une d'elles rencontre une conique fixe passant j)ar les points doubles on mène une nouvelle conique passant par les points doubles et tangente à la courbe. Celle-ci coupe la seconde conique menée par S sur une courbe d'ordre 2(v' — //) ayant en S un point multiple d'ordre— et ayant aux trois points doubles des points d'ordre v' — p.'. Dès (juc' nous avons eu l'idée de la mélliode qui pré- cède, nous l'avons mise à l'épreuve en essayajit de Irans- ( 458 ) former les nombreux théorèmes de M. Cliasles sur les systèmes de coniques. Or, le plus souvent, nous avons été arrêté par la difficulté de définir le point oj' au moyen des seuls éléments de sa figure et indépendam- ment de la figure transformée qui contient le point w. Réfléchissant à cette circonstance, nous sommes arrivé à cette conviction, que les transformations du second ordre seraient condamnées à une stérilité i^elative, tant qu'on n'aurait pas résolu la question suivante : « Une conique étant soumise à une transformation du second ordre, trouver dans la courbe transformée les éléments qui correspondent aux principaux éléments de la co- nique, tels que les foyers, le centre, les axes, les som- mets, les diamètres, etc. » Ce problème, croyons-nous, n'a été ni traité, ni même posé. En tout cas, la consi- dération des points circulaires à l'infini nous en a donné une solution fort simple que nous allons indiquer. 7. La droite de l'infini de chaque figure correspond dans l'autre figure à une conique circonscrite au triangle de référence. Si ces deux coniques sont des cercles, les points circulaires à l'infini de chaque figure corres- pondent aux points circulaires à l'infini de l'autre figure. Réciproquement, si les points circulaires se corres- pondent, le cercle circonscrit à chaque triangle de réfé- rence donne dans l'autre figure une droite passant par les points circulaires à l'infini, c'est-à-dire la droite de l'infini. Ainsi la condition nécessaire et suiîisante pour que les points circulaires à l'infini se correspondent, c'est que la droite de l'infini de chaque figure donne dans l'autre figure le cercle circonscrit au triangle de référence. Cherchons les caractères analytiques et géométriques de ces systèmes remarquables. La droite de l'infini par ( 459 ) rapport au triangle de référence ABC a pour équation XsinA + YsinB H- ZsinC = o. Elle se transforme en une conique dont l'équation est sin A . sinB sinC Cette conique doit coïncider avec le cercle circonscritau triangle de référence A'B'C'donl l'équation est sin A' ' sinB' sinC Cela nous donne les conditions sin A sinB sinC (6) et (7) XsinA' psinB' vsinC On aura de même, pour exprimer que la droite de l'in- fini de la figure A'B'C se transforme en un cercle cir- conscrit au triangle ABC, ,„, , , sin A' sinB' sinC 8 et fq — , = — : — = —. A sin A psmB vsmC L'élimination des angles donne et, comme tous les sinus sont positifs on a en outre A'r=:A, B' = B, C' = C. Ainsi les caractères des systèmes où les points circu- laires à Tinfini se conservent sont les suivants : i" les triangles de référence sont semblables ; 2" les constantes X, (j., y sont égales à lunité. Comme les points circu- laires à Tinfini sont souvent appelés les ombilics du ( 46o ) plan, nous désignerons les systèmes précédents sous le nom de systèmes ombiUco-anallagmali(jues. 8. Les systèmes ombilico-anallaguiatiques ont des propriétés remarquables. Observons d'abord qu'en vertu des relations XX' = YY' ^ ZL', la droite Y = wX se transforme en la droite X' = /«Y% c'est-à-dire que, si l'on faisait coïncider les angles égaux C et C, les droites correspondantes, passant par leurs sommets, seraient symétriquement placées par rapport à la bissectrice interne. Il résulte de là que l'angle de deux droites quelconques passant par un sommet quelconque C du triangle ABC est égal à l'angle des droites corres- pondantes qui passent par le sommet C du triangle A'B'C. En d'autres termes, les angles se conservent au- tour des trois sommets du triangle de référence. Observons en second lieu qu'un cercle de la figure ABC ne se transformera en conique qu'autant qu'il passera par deux sommets du triangle ABC, par exemple par les points B et C. Mais, si cette condition est rem- plie, cette conique ne pourra être qu'un autre cercle passant par les points B' et C. Les centres de tous les cercles passant par les points B et C, et les centres de tous les cercles correspondants passant par les points B' et C, forment évidemment deux divisions liomogra- phique^s, le point à l'infini de chaque division ayant pour correspondajit dans l'autre le centre du cercle, circon- scrit au triangle de référence. Si, en particulier, les deux triangles de référence sont égaux et confondus , les (46i ) centres des cercles correspondants sont les couples de points d'iyie iiivoliition dout le centre est le centre du cercle circonscrit : ce dernier cas a été proposé comme exercice aux lecteurs des Nouvelles Annales de Ma- thémntiffiies, par M. Haton de la Goupil lière. Les points à l'infini de toute courbe prise dans la 6gure A'B'C correspondent aux points où la coui'be cor- respondante coupe le cercle circonscrit au triangle ABC. Une droite de la figure ABC se transforme donc en hy- perbole , en parabole ou en ellipse, suivant qu'elle coupe le cercle circonscrit au triangle ABC, qu'elle lui est tangente ou qu'elle ne le coupe pas. En général, soient R et S deux points où une courbe quelconque de la figure ABC coupe le cercle circonscrit au triangle ABC. Les points correspondants sont sur la droite de l'infini et sur les directions B'R' et B'S' qui correspon- dent respectivement à BR et BS. D'après le principe de la conservation des angles autour des sommets des triangles de référence, l'angle R'B'S' est égal à l'angle RBS et l'angle des directions asymptotiques B'R', B'S' a pour mesure la moitié de l'arc R.S. Signalons encore ce fait. Les angles étant conservés autour de A et de A', une division en involution sur une droite menée par B donnera une division en involution sur la droite correspondante menée par B'. Soit dès lors le théorème de Desargues. Les extrémités des cordes ob- tenues en coupant par une droite toutes les coniques qui passent par quatre points sont les points conjugués d'une même involution (*). De cet énoncé on déduit le théorème suivant. Si l'on a un système de courbes du quatrième ordre avec trois points doubles communs et (*) On sait que le célèbre géomètre lyonnais n'a point énoncé ce théorème sous une forme aussi générale. ( 462 ) quatre points simples communs, toute sécante menée par un des points doubles donne des cordes dont les extrémités sont les points conjugués d'une même involu- tion. » 9. Soit une courbe quelconque d'ordre im avec trois points d'ordre m formant les sommets d'un triangle ABC. Pi-enons un triangle semblable A'B'C dans un même plan ou dans un plan différent, et considérons la transformation de figure ombilico-anallagmatique dé- finie par les relations XX' = YY' = ZZ'. La courbe d'ordre iin a pour transformée une courbe d'ordre m. Un foyer de la couibe d'ordre m est le point de rencontre de deux tangentes menées à cette courbe des points F et J', ombilics du plan A'B'C. A ce foyer correspond, dans la courbe d'ordre ini, le quatrième point de rencontre de deux coniques circonscrites au tri- angle ABC, tangentes à la courbe d'ordre iin et passant respectivement par les points I et J, ombilics du plan ABC. Nous dirons que ce point est un fojer secondaire de la courbe d'ordre Q.in. La transformation donne aussitôt le théorème suivant : Une courbe d^ ordre im et de classe v ayant trois points d^ ordre m admet (v — ini)'^ foyers secondaires, parmi lesquels (v — im) sont réels. Dans les courbes du quatrième ordre à trois points doubles il y a quatre foyers secondaires, dont deux réels et deux imaginaires. Les droites qui joignent un des points doubles aux deux foyers réels sont également in- clinées sur les deux tangentes menées de ce point double à la courbe. Ce théorème résulte de la propriété ana- logue des foyers réels des coniques, en même temps que ( 463 ) du principe de la conservation des angles autour des points A et A'. On voit que tont théorème sur les foyers ordinaires d'une courbe d'ordre m donne un théorème sur les foyers secondaires de courbes d'ordre 2/?^ ayant trois points d'ordre m. Donnons un exemple. Si de deux points P et P' on mène les tangentes à chaque conique d'un système (p., v), le lieu de leur in- tersection est une courbe d'ordre 3v avec deux points d'ordre v en P et P'. Ce théorème, presque évident, s'énonce comme il suit, lorsque les points P et P' sont les ombilics 1' et J' : Le lieu des fojers des coniques dhui système i^u.^ v) est une courbe d'ordre 3v passant v fois par les ombilics du plan. En transformant ce théorème on obtient le suivant : Dans un système de courbes du quatrième ordre à trois points doubles communs (y/, v'), le lieu des fojers secondaires est une courbe d'ordre 3 ( v' — 2 a') passant fois par les ombilics du plan 3 et — (y — 1 y!) fois par chacun des points doubles. 10. Imaginons une courbe quelconque du quatrième ordre ayant trois points doubles A, B, C. Prenons un triangle A'B'C semblable au triangle ABC, et faisons la transiormalion ombilico-anallagmalique définie par les relations XX' — Y Y' = ZZ'. La courbe se transforme en une conique S. A l'axe de la coni({ue S qui passe par les foyers réels correspond une conique réelle passant par les trois points doubles et par les foyers secondaires réels. Cette co- nique s'appellera un axe secondaire de la courbe du quatrième ordre. De même à l'axe de la conique S qui ( 4^4 ) passe par les foyers imaginaires, correspond dans la courbe du quatrième ordre une conique réelle passant par les points doubles et par les foyers secondaires ima- ginaires. Cette conique s'appellera aussi uu axe secon- daire de la covrbe du quatrième ordre. Les deux axes de la conique S se coupent au centre. Le centre a donc pour point correspondant le quatrième point d'intersection de ces deux coniques menées parles points doubles, que nous avons appelées axes secon- daires. Ce nouveau point sera appelé un centre secon- daire de la courbe du quatrième ordre. Les sommets de la conique S correspondent aux quatre points autres que les points doubles où la courbe du quatrième ordre est coupée par ses axes secondaires. Ces points seront les sommets secondaires àe la courbe du quatrième ordre. Les diamètres de la conique S se transforment en coniques passant par les trois points doubles et par le centre secondaire. On appellera ces coniques des dia- mètres secondaires. La correspondance étant ainsi établie entre les élé- ments des deux figures, la transformation des théorèmes se fera sans difficulté. Donnons un exemple: Dans un système de coniques [y., v) le lieu des centres est d^ ordre v. En transformant ce théorème, on obtient le suivant: Dans un sjstème de courbes du quatrièîne ordre à trois points doubles com- muns (^[j.\ v'), le lieu des centres secondaires est une courbe d'ordre '/ — 2p.' ayant les points doubles pour points d^ ordre - ( v' — 2 [j! ) . 11. Imaginons deux triangles, dont les sommets A et A' sont confondus, ainsi que les sommets B et B', tandis ( 465 ) que les sommets C et C sont symétriques par rapport à la droite qui joint les deux autres. JNous compterons des angles autour des points A et B de — oo à -h oo . AB sera l'origine des premiers, BA celle des seconds. Le sens positif sera, pour les premi('rs, de AB vers AC, pour les seconds de BA vers BC. Soient a et [3 les angles géométriques CAB et CBA. Pour passer d'un point M' de la figuie A'B'C au point correspondant M de la figure ABC, on fera tourner AM' de a autour de A et BINI' de [3 autour de B. Pour le pas- sage inverse, on fera tourner naturellement de — a et de — |5. On a ainsi un système de transformation algé- brique et du second ordre. A tout point de A'B' correspond C, à tout point de B'C correspond A, à tout point de A'C correspond B, et inversement. Donc les triangles de référence sont ABC pour la figure M, et A'B'C pour la figure M'. Les triangles étant égaux, on aura un système ombi- lico-anallagmatique si à la droite de l'infini de la figure A'B'C correspond le cercle circonscrit au triangle ABC, et inversement. Or, soient A'R' et B'S' deux droites parallèles de la figure A'B'C, se coupant en H' sur la dioite de l'infini. Pour avoir le point H qui correspond à H', on fait tour- ner A'R' et B'S' de a et de (3. Soient AR et BS les nou- velles positions de ces droites, et H le point d'intersection de AR et de BS. Il est visible que l'angb? AHB est égal à (a + 6). Il est donc le supplément de l'angle C, et le point H est sur le cercle circonscrit au triangle ABC. Le système ombilico-anallagtnaiiiiue que nous ve- nons de définir offre quelque intérêt. i" Il donne la description des coniques de Newton, permet de distinguer le genre de la coni(jue suivant la Ann de )laihémat., -i^scrio, t. XVI. (Octobre 1877.) 3o ( m ) position de la droite correspondante et donne une con- struction simple des asymptotes. 2*^ Il se prêle facilement au calcul dans le système des coordonnées biangulaires, étudiées par M. William Walton(*). Soit M' un point du plan A'B'C. Les coordonnées de ce point sont les angles B' A'M' = cf et A'B'M' = ^. Ces angles sont comptés de — oo à -+-00, comme il a été dit plus haut. La courbe la plus générale d'ordre m est représentée par l'équation algébrique la plus générale de degré m entre cottp et coti^^. Partant de ce principe évident, on fera aisément la théorie de la di'oite, des directions asymptotiques, des centres, etc. Pour nous borner à l'objet de notre élude, nous fe- rons remarquer que, si l'équation d'une courbe algé- brique dans la figure A'B'C est /(cet y, cotil^) z= o, l'équation de la courbe transformée est simplement /[cot('j) + a), cot(-i}; + p)]= o. (^ suwre.) (* ) The quarterly Journal of pure and applied Mutheinatics. ( 467 ) THÉORIE DES INDICES-, Par m. FAURE, Chef d'escadrons d'Artillerie. Des surfaces du second degré qui touchent les mêmes plans. 143. Désignons par Ie, I'e les iices d'un plan E par rapport aux deux surfaces S et Sr : si l'on a entre ces in - dices la relation Iji — 9I'e = 0' dans laquelle cj) est un paramètre donné, le plan E enveloppera une surface 4> qui touchera tous les plans tangents communs aux surfaces S et S'. En supposant les surfaces S et S' rapportées à leur tétraèdre autopolaire ou conjugué commun abcd, la forme de la relation précédente montre que ce tétraèdre est également conjugué à toute surface 4> qui touche les plans tangents communs aux deux premières, ou qui est inscrite à la développable (SS'). Des relations établies (80, 3o°) on déduit les sui- vantes : Iee'- 2-—( «;T)~''^ j4 termes;, — 1«' =' '^ y. — r — n; — ^ =r^, — • (o termes', l'i''"-'' sin CD - tt' he' = y y~l-J^-^-l , 4 termes^ . (*) Nouvelles Annales, 2" série, t. XV, p. 25i , 292, Ziç), /pi, /,8i, Sat), et t. XVI, p. 5, 160, 193, î.'Jg, 289. 3o. ( 468 ) Elles donnent l'indice du système de deux plans, de deux droites et de deux points à l'aide de formules qui ne contiennent que les indices des faces A, B, C, D du tétraèdre autopolaire commun aux surfaces S et S'. 144. Il suit de là que, si nous prenons dans l'espace deux plans E, E', deux droites s, e', deux points e, e', les paramètres des surfaces inscrites à la dévelop- pable (SS'), et qui sont respectivement conjuguées aux plans, aux droites et aux points sont déterminés par les relations ^ («,E](«, F/] , , ,. -2 ^=1 , V I I s', V I {le — ?Ic)(Id — «plo) iV'M' sin'CD >, A)(e', A ) 1a-? 1a Si l'on développe ces équations en tenant compte des relations établies (85), on trouvera '3]' ''/'''l sinCD M' M 1' , ^'='-2::-^2: en posant lA " U •^^Aa 7^' -^^ ^A 71 et n' sont les produits des demi-axes des surfaces S et S'. (469) Ces relations montrent que, à la développable (SS'), on peut inscrire une surface conjuguée au système de deux plans, deux surfaces conjuguées au système de deux droites et trois surfaces conjuguées au système de deux points. Lorsque le plan E' coïncide avec le plan E, la droite e' avec e, le point e avec e, les équations (i), (2), (3) ou leurs transformées seront respectivement l'équation par plans, l'équation par droites et l'équation par points de la surface <î> inscrite à la développable (SS'). {A suii>re,) GOKCOIRS D'AGRËGATiO\ DES SCIENCES !\IATUEMATIQIES DE 187o. Mathématiques spéciales. \. Distance d'un point à un plan, à une droite. Plus courte distance de deux droites. 2. Théorème de Rolle. 3. Pôles et polaires. 4. Méthode d'approximation de Newton. 5. Déterminer en grandeur et en position les axes d'une conique à centre dont on donne l'équation. Cas de la parabole. Détermination du paramètre. 6. Transformation des équations. 7. Formule de Moivre. Division des arcs. 8. Plans diamétraux dans les surfaces du second ordre. 9. Application des dérivées à l'étude des fonctions. 10. Iniorscction de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent. ( 470 ) 11. Mener d'un point une normale à une conique. Discuter le problème. 12. Intersection de deux courbes du second degré. 13. Sections circulaires des surfaces du second ordre. 14. Figures li(Tmothéiiques (Géométrie de l'espace). Mathématiques élémentaires. 1. Aire de la spbère. Théorèmes qui y conduisent. 2. Plus grand commun diviseur. Plus petit commun multiple. 3. Pénétration des polyèdres. 4. Première leçon sur la mesure des volumes. 5. Symétrie. 6. Première leçon de Géométrie descriptive. 7. Réduction des fractions ordinaires en fractions dé- cimales. 8. Principes qui servent à la résolution des équations du premier degré aune et à plusieurs inconnues. 9. Construction des Tables trigonométriques. 10. Formules qui servent à la résolution des triangles. 11. Figures semblables (Géométrie plane). 12. Division des nombres entiers et fractionnaires. 13. Equations du second degré. 14. Levier. Balances. Composition en Mathématiques spéciales. A un ellipsoïde donné on circonscrit une série de sur- faces du second ordre S, la courbe de contact étant l'intersection de l'ellipsoïde par un plan fixe P. On cir- conscrit ensuite à chaque surface E un cône ayant pour sommet un point donné A : 1° Trouver le lieu des courbes de contact des cônes et des surfaces 2 ; (47i ) 2° Classer les surfaces qui forment le lieu, quand on suppose le plan P fixe elle point A mobile dans l'espace. On déterminera, pour chacune des variétés du lieu, les surfaces qui limitent les régions de l'espace où se trouve alors le point A, Composition en Mathématiques élémentaires. Résoudre un triangle connaissant un côté a, l'angle opposé A et la somme m^ des carrés de la hauteur /?, qui correspond au côté a, et de la différence des deux autres côtés \Jl- -\- [h cy = 77i^]. Mécanique élémentaire. Déterminer les positions d'équilibre de deux poids égaux P mobiles sans flottement sur une circonférence fixe, située dans un plan vertical, et sur une tige rec- tiligne pouvant librement tourner autour d'un point A, pris sur le diamèlre horizontal de la circonférence. On négligera les dimensions des poids du mobile. Composition sur un sujet d' histoire et de méthode. Théorie élémentaire des déterminants. Principales applications. Composition sur un sujet de licence. On donne, dans un plan horizontal, deux masses m, m', reliées par un fil de longueur constante mom' qui peut glisscp librement dans un anneau fixe en o. On coiuniunique aux masses ///, ni deux vitesses initiales ( 472 ) quelconques dans le plan moin et Ton demande d'étu- dier le mouvement du sysième: 1° Etablir les formules qui définissent les trajectoires décrites par les points m, ii{ -^ qP Indiquer les divers cas dans lesquels les intégra- tions peuvent se terminer au moyen des fonctions élé- mentaires ; 3° Calculer la tension du fil ; 4° Former Téquation qui donne les valeurs maxima et minima des distances om^ oin' des mobiles au point fixe ; S'' Discuter complètement le problème dans le cas où l'une seulement des masses, m par exemple, reçoit une impulsion initiale, l'autre masse partant de l'état de repos. Nota. — On fait abstraction des flottements, ainsi que de la masse du fil^ on suppose de plus que le fil est parfaitement flexible, mais qu'il offre une résistance in- définie, soit à l'extension, soit à la contraction, et qu'il demeure toujours rectiligne de o en m et de o en m'. COXCOIRS D AGUÉGATIOM DES SCIENCES MATHÉMATIQIES DE 1876. Composition en Mathématiques spéciales. On donne une parabole P et un point H dont la pro- jection orthogonale sur le plan de la parabole se fait au sommet de celte parabole : 1° Trouver l'équation générale des surfaces de révo- lution du second ordre qui passent par la parabole P et par le point H ; ( 473 ) 2** Déterminer le nombre de celles de ces surfaces dont Taxe passe par un point A donné dans le plan Q, qui contient le point H et l'axe de la parabole P. Classer les mêmes surfaces quand le point A se meut dans le plan Q. Mécanique élémentaire. On donne une circonférence O située dans un plan vertical, et. sui- la verticale du centre O au-dessus de ce point et en dehors du cercle, on prend un point C que Ton considère comme une poulie infiniment petite. Sur cette poulie passe un fil ACB; à l'extrémité B est suspendu un poids Q, à l'autre extrémité A est fixé un anneau qui supporte un poids P et qui est assujetti à glisser sans frottement le long de la circonférence O. Déterminer les positions d'équilibre du système et in- diquer pour chacune d'elles si l'équilibre est stable ou instable. (On néglige le poids du fil et celui de l'an- neau, ainsi que les dimensions de la poulie et celles de l'anneau.) Composition sur un sujet rrhistoire et de méthode. Théorie élémentaire des fractions continues. Ma thématiques sp écia les . 1. Etude de la fonction exponentielle a"". Des logarithmes considérés comme exposants. 2. Théorie élémentaire des séries. 3. Recherche des sécantes communes à deux courbes du second degré. , Discussit)n de l'équation en ).. 4. Limites des racines d'une équation algébrique. ( 474 ) 5. Règle des signes de Descaries. 6. Triangles sphériques supplémenlaires. Construire un triangle spliérique connaissant les trois côtés ou les trois angles. Aire du triangle spliérique. 7. Tangentes et asymptotes en coordonnées polaires. 8. Théorie des asymptotes (coordonnées reciilignes). 9. Réduction de l'équation du second ordre à trois variables à ses formes les plus simples (coordonnées rectangulaires). 10. Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent (Géométiie descriptive). 11. Sections circulaires des surfaces du second ordre. Une surface du second ordre étant donnée par son équation générale, reconnaître si elle admet des sections circulaires (cooi données rectangulaires). 12. Théorie des foyers. 13. Théorème de Slurm (application). 14. Concavité. Convexité. Inflexion. Points singu- liers dans les courbes algébriques. 15. Lim [i-\ J quand ni devient infini. Propriétés principales du nombre e. 16. Génération des surfaces. Exemples tirés des prin- cipales familles. 17. Plus courte distance de deux points à la surface d'une sphère. Plus courte distance d'un point de la sphère à la circonférence d'un grand cercle et d'un petit cercle. Mathématiques élémentaires. 1. Volume du cylindre, du cône et du tronc de cône. 2. Année tropique. Calendrier. 3. Hélice. Propriétés principales (courbes usuelles) . ( 475 ) 4. Propriété de la tangente à l'ellipse par i apport aux rayons vecteurs du point de contact. Applications. Mêmes questions pour la parabole (courbes usuelles). 5. Surface de la sphère (théorèmes qui y condui- sent}. 8. Théorie élémentaire des nombres premiers. 9. Construction des Tables trigonométriques. 10. Distance d'un point à un plan. Dislance d'un pointa une droite. Plus courte distance de deux droites (Géométrie descriptive). 11. Racine carrée (Arithmétique). 12. Volume du tronc de pyramide. Volume du tronc de prisme triangulaire. 13. Formules générales pour la résolution des trian- gles. Equivalence des différents systèmes. 14. Mesure des angles. 15. Plus grand commun diviseur. Plus petit mul- tiple commun. 16. Spbère céleste. Mouvement diurne. 17. Eclipses de Lune. 18. Etude des variations de l'expression rtx' -f- b.r -T-c a'x -f- b' X -1- c' 19. Formules sin (a-i-Z»), cos (a-+-^). Composition en Géométrie desciiptive. Une sphère opaque, posée sur le plan horizontal, est éclairée par deux points lumineux [a-,a') et {b,b'). On demande les projections des ombres propres de la sphère, et }es ombres portées sur le plan horizontal. Données. — La sphère a lo centimètres de diamètre; ( 476 ) elle est posée sur le plan horizontal en un point o situé à 9 centimètres en avant de la ligne de terre. Le point a est situé à 9 centimètres en avant de la ligne de terre et à 12 centimètres à gauche des points. Le point a' est sur la ligne de rappel menée par le point a et à 10 centimètres au-dessus de la ligne de terre. La ligne bb' est à 24 millimètres à droite de aa\ le point b sur la ligne de terre et le point è' à 5 centimètres au-dessus du point b. Composition sur les matières de la licence. Un point matériel M se meut sur un cercle horizontal qui tourne, d'un mouvement uniforme, autour d'un axe vertical passant par un point O de la circonférence : 1^ Etudier le mouvement relatif du mobile sur le cercle 5 2° Déduire de là les lois du mouvement absolu du mobile dans le plan fixe -, 3° Examiner en particulier le cas où la vitesse du mobile sur le cercle devient nulle quand le mobile ar- rive en O. Dans ce dernier cas, calculer et discuter la valeur de la pression exercée par le mobile sur le cercle. Nota. — On fait abstraction de la pesanteur et du frottement. Exercice de calcul. Calculer, à y~-^ près, les valeurs de x et de / don- nées par les relations : 1 I I 1.3 I 1.3.5 I 3r z= r — — 1 7 ~ H : h . . . , 2 2 3.2' 2.4 5.2* 2.4.6 7.2' X x'^ X^ X* y = I — — H -f- .... 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 ( 477 ) SOLITIO^S DE QIESTIO^S PROPOSÉES DAIVS LES KOIVELLES ASNALES. Question 580 (voir i" série, t. XX , p. 139 ); Par m. h. BROCARD. Résoudre les équations ( I ; «« — 3 A' M^ -1- 3 A 1 — 7' «^ — A« i — 3 7- 4- 2 f = o, (2) a«— [iA' ^a)u'^ {2 A'O (T -h A* n" ] u^ — A'Ot:s = o, ff = i-7% t"=i-7"% t. = i+277V-7=-7'^-7"'. (Lamé.) La première équation a été résolue dans le même vo- lume (p. 295) par M. Jaufroid, qui a terminé son tra- vail par ces mots : « La deuxième équation a-t-elle été exactement copiée? », question à laquelle le rédacteur a répondu : « Oui (Lamé, p. 5i), Tm. ». Cependant il était bien évident que l'équation (2) n'était pas homogène et que l'expression de or ne pouvait renfermer -/. Dans ces conditions, l'équation (2) n'ad- mettait pas de solution littérale. Terquem n'a pas donné l'indication de l'ouvrage de Lamé dont il avait extrait l'équation (2). On trouve dans les leçons de Lamé sur la Théorie analytique de la cha- leur {^^. 5i) l'équation suivante (3) u*—ii*[iA?-\-0)-^u'[7.A'0-^A*[\ — i") — '2.A''Cf] — A'C=[i — 7"*— 27'H-27'7"^J =0. Pour combler la lacune que cette erreur de copie avait ( 478 ) produite, nous nous bornons à indiquer la solution donnée par Lamé. On peut vérifier que le premier membre de l'équation (3) admet pour facteurs les poly- nômes u^ — A- ( I — 7" ) et u' — C=«- — A'«2(i +7"' -i-A2C'(i + 7") — 2A2C^7^ = o, ce qui résout entièrement la question. Question 1225 (voir 2* série, t. XV, p. 192); Par m. Louis THUILLIER, Élève au lycée d'Amiens. Soient s et S' deux coniques dans un plan; le lieu des points d'intersection des diamètres de lune et de Vautre des courbes correspondant à des cordes de même di- rection est en général une conique: examiner V espèce de cette conique diaprés Vespèce et la position relative des deux coniques S et S' . Les équations des deux coniques étant (S) ' /{■-) = o, (S') f{-r)=^o, les équations des diamètres des cordes de direction m dans ces deux coniques seront C-V- mfy = o, tpj + w^^; = 0. L'élimination de m entre ces deux équations donne pour le lieu cherché c'est-à-dire une conique ( 479 ) Cherchons-en directement la nature par la considéra- tion des points à l'infini. On sait qu'il existe toujours dans deux coniques un système de diamètres conjugués parallèles (Paijnvin, Géom. plane, 889). Cette proposition peut d'ailleurs se démontrer géo- métriquement. On sait qu'un système de diamètres con- jugués forme avec les asymptotes un faisceau harmo- nique. Si l'on ramène les coniques à avoir le même centre, la recherche du système de diamètres conju- gués communs revient à celle du système de deux droites conjuguées harmonique par rapport à deux autres, ou encore, si l'on coupe les asymptotes des deux co- niques par une même droite, à la détermination sur cette droite du segment conjugué harmonique par rapport à deux autres, et l'on sait que le segment n'est imaginaire que quand les deux autres empiètent l'un sur l'autre (*). A toute direction de cordes parallèle à l'un de ces dia- mètres conjugués correspondra un point du lieu à l'in- fini dans la direction conjuguée. Donc le lieu sera une ellipse quand S et S' seront des hyperboles dont les angles des asymptotes empiètent l'un sur l'autre. Ce sera une parabole quand S et S' auront une direc- tion asymptotique commune, et cette direction asympto- tique sera celle des diamètres de la parabole. Le lieu se réduit à une droite quand S et S' ont les mêmes directions asymptotiques, c'est-à-diie sont homo- thétiques-, il disparaît quand S et S' sont homoihétiques et concentriques. (*) Quand/k's dtuix sc(;nients ont une cxliéniilc comimine, les deux extrémités du se(îmeiit conjugué liarinoiiiiiiie se coiii'oiideiit avec cette extrémité commune. { 48o } Dans tous les autres cas, le lieu sera une hyperbole ayant pour directions asymptoliques celles des diamètres conjugués parallèles. Note. ■ — La même question a été résolue par MM. A. Boucher, élève du lycée d'Angers; Ch. Brunot, élève du lycée deDijon;P. Souverain, élève du lycée de Clermont; E. Doublet, maître répétiteur au lycée de Lille; J. Froson, élève de l'École des mines de Liège; Arnold Droz, professeur à l'institut Breidenstein, à Granges (Suisse) ; B. Launoy; Moret-Blanc et Ferd. Pisani. PUBLICATIONS RECENTES. 1. Recherches sur plusieurs Ouvrages de Léonard DE PiSE ET SUR DIVERSES QUESTIONS d'ArITHMÉTIQUE SU- PÉRIEURE; par M. Edouard Lucas, professeur au Lycée Charlemagne. (Extrait du 5«//t?f^/.'io, 1877.) 2. NuOVO MeTODO DEI MASSIMI e MINIMt DELLE ruNziONi primitive e integrali 5 per Luigi Barbera, professore di fîlosofia nella Università di Bologna. 3. PriNCIPII ELEMENTARI SULLEPROBARILITÀ , CSpOSti da G.-B. Marsano^ professore di matenialiclie nella Uni- versità et nel R. Istituto tecnico di Genova. — Genova, tipografia del R. Istituto Sordo-Muli 5 1876. 4. Théorie des nombres complexes et bicomplexes; par vî/. Benthetn. (Extrait des Archives néerlandaises.) 5. Sur un mémoire de Daviet de Foncenex, et SUR les géométries non euclidiennes ; par A. Ge- nocchi. — Imprimerie royale de Turin; 1877. (48i ) THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES; Par m. h. LAURENT. [suite (*).] COJVS1DÉTIA.TIONS NOUVELLES SUTl LES FONCTIONS AUXILIAIRES DE JACOBI. Nous voilà conduits à étudier les fonctions auxiliaires évidemment plus simples que les fonctions doublement périodiques qu'elles engendrent; mais, sous forme de produit, elles paraissent peu maniables, et nous allons essayer de les développer en série. En définitive, il est à peu près établi que snj: (et l'on verrait de même que cnx, dnj:) peut être considéré comme quotient de deux fonctions admettant Tune ses zéros, Tautre ses infinis. Ces fonctions n'ont qu'une pé- riode, mais elles se reproduisent, à un facteur commun près, quand on augmente leur variable d'une quantité convenablement choisie et qui sera une seconde période de leur quotient. Désignons alors par 6{x) une fonction possédant la période o), et développable par la formule de Fourier *- V-i suivant les puissances de e" , partageons le plan en parallélogrammes de côtés co et ny, et proposons-nous de faire en sorte que dans chaque parallélogramme la fonc- tion 6 possède [x zéros. Le nombre y. de ces zéros devra être égal à l'inlé- grale de — ? prise le long du périmètre d'un (*) Nouvelles Annales, i^ snric, t. XVI, p. 78, 211, 36i, 38r., 433. Ann de Mathémat..-i'' série , t. XVI. (Novcmhro 1S77.) 3l ( 482 ) parallélogramme, el cela quel que soit le point que l'on prendra pour sommet, si l'on veut que les zéros soient régulièrement distribués dans le plan. Or la valeur que prend notre intégrale le long des côtés parallèles à C7 est nulle, puisque la fonction, admettant la période oj, prend des valeurs égales sur ces côtés, tandis que dx y prend des valeurs égales et de signes contraires. On devra donc avoir, en intégrant seulement le long des deux autres côtés, et cela quel que soit X5 cette équation. détermine 0. On peut poser e'(ar) ô'(.r -f- ct] _ Qij:] G(.r P .r -1-70:^ et déterminer les coefficients indéterminés a, (3, 7, . . . par l'équation (i); cette équation n'en détermine qu'un seul, et nous supposerons alors, pour simplifier, /3 =0, y = o, .... La formule (i) donne alors a dx ITCSI — l Ja 271^/ — I d'où a = 5 w et, en remplaçant a, (3, y, ... par leurs valeurs dans l'équation (2), on a G'(j;) e'(j:-f-cj) 27rfAv' — i e ( X ) 9 (a? H- cr) w OU, en intégrant, '(^) _27rpv^— I ,^, ^"So(, ( 483 ) c désignant une constante. On en déduit \i.{x+ c) .r + ct) = 9 ( X ) e Ainsi il suffira d'assujettir la fonction 6(x) aux condi- tions l 0(x + co) = B{x), ^ ' i , V , , V-ix + c] [ 0{.T -h zj) = B[x)e " , pour obtenir une fonction telle que nous la désirons. La première formule est satisfaite en posant n-=+ ' ^{^]= 2 ^"^ - nx ou (4) 6[x] = Ie " Nous allons déterminer (^(/ï) de manière à satisfaire à la seconde condition (3); on a [nx-i-nu+z{n)] Q{x -hvj] = le " ^-V — 1 „ [{n-i-\i')x-ho{n + [J.\ + o{n)—<{(n + ^) — \i..r+na] Si l'on pose alors (5) • 'i ?(P-)- En appelant 9 (w) une de ces quantités, on a et9(.r) prend la forme suivante, en remplaçant 9(«) dans (4) pai" sa valeur où l'on a posé U.t' 2irV/-l r . , . i n Donc : i" Les fonctio?is iiionodronies et monogènes satis- faisant aux formules I e(.r + w) = 9(ar), _ ( B[x + CTJ =:9{a:)e 50«i fonctions linéaires et homogènes de fz d^entre elles-, 2" Ces fonctions existent réellement, car la série (6) est convergente si la partie imaginaire de — est posi- tive, ce que Von peut toujours supposer. En ef[ét, alors la racine i'^'"* du i'^'"* terme de la série (6) tend 'vers zéro j ( 4fi5 ) 3° Ces fonctions ont ^x zéros dans le parallélogramme des périodes w, cr. Enfin le quotient de deux quelconques de ces fonc- tions a évidemment les périodes w et cr, ce qui prouve, a fortiori, l'existence des fonctions à deux périodes arbi- traires et à u zéros pu du p.*'^'"° ordre. DES FONCTIONS DU PREiMIER ORDRE. Nous dirons qu'une fonction elliptique auxiliaire est d'ordre p quand elle aura (x zéros dans son parallélo- gramme des périodes. Les fonctions du premier ordre satisfont aux équations 0[x H- w) = S(^), Ô[.v-hzj) = 0[.r)e et, 9 désignant l'une d'elles, les autres seront égales à 6, à un facteur constant près. Ou pourra alors poser Nous relrouvcrojis cette f )nclion plus loin. Observons toutefois qu'elle n'engendrera pas de fonctions aux pé- riodes simultanées w et rr; mais il faut remarquer que, si la fonciion en question est du premier ordre par rap- port aux périodes o) et n, elle sera du second ordre si Ton prend pour périodes (t) et 2C7 ou 2W et cj : c'est pour cela que, devant la rencontrer de nouveau dans tous les ordres, nous ne nous en occuperons pas ici. ( 486 ) DES FONCTIONS DU SECOND ORDKE. Les fonctions du second ordre satisfont aux équations { Q[x -h u] = 0{x)e Elles sont au nombre de deux distinctes 9^ et ôj, la solu- tion la plus générale étant Ao^o-f- Ajôi, A^ et Aj dési- gnant deux constantes arbitraires. On a d'ailleurs 2-V/— I . . , . 6„(.r) ~ ^ e " 2ic\/ — 1 „ , , -^^ [(2J + l)x+2ic-+-i2î Les fonctions qui servent de numérateur et de dénomi- nateur à snx sont du second ordre par rapport aux pé- riodes 2.K.' sj — I et 4K.. En effet, ces fonctions satisfont aux relations ( rfi\^X -h ^K \.' — ij= — ef[x]e K Or la seconde de ces relations peut s'écrire L^Î^SUm-K + K'»/—) de H (^) . . . 2yK + 2/ K' s/'^ , '""" 1 de0, (.r)... (2/+ i)K + (27' + i)K' y/— I, ( de Hi [j;) . . (27 -+- i)K H- 2y"K'\/— i . JVOUVELLES DÉFINITIONS DES FONCTIONS ^, H, ©j, Hj . Les fonctions ©i, Hj, 0, H satisfont aux formules j 0, (.C+ 2K) =:0,(^), ( 0,^^-1- 2R'v--0 -- 01 (■*-)^' " . ( 49» ) I 0 (x+ 2K) = 0{x), ( 0 (j7 4- ?.K y— 1 j = — 0(.r)e ^ l U,[x -^ 2K) =— H,(^), (3) , , , . , ^ _4;iIU+KV3T) j H [x^'îK)=z-U{x), _ Si Ton ajoute que ces quatre fonctions sont synec- tiques et, par suiie, dc-veloppables en séries d'exponen- tielles, elles seront déterminées à un facteur constant près par ces quatre formules. Ce fait est déjà établi à l'égard de la fonction ©^ -, nous allons le prouver pour les autres fonctions. Lorsque l'on a ( e{.r -h(,i) = 0[x\ (51 ' ir.V^— et que la fonction 6{x) est synectique, ces équations imposent à la fonction 6 la forme Aue„(j:) + A,(3,(.r)+ . .. -h A.^.,B.,_,{x), OÙ Ao, A,, ..., An_, sont des constantes et où 0o, Ôj, ... désignent des solutions de (5). Si donc on fait iJ.= a, M = 4K.5 cy = ^¥J\J — i, f = K'^ — j , on aura I 0(x + 4K)=O(x), _ ( 6(.r + 2R'v— ij = 0(.r)e ^ , et0(x) sera de la forme Aoû'o H- Ajôi. Or les deux fonc- tions Oj (j:) et H, (x) satisfont à ces deux équations 5 leur solution générale sera donc A„0,(.r) -h A,n,(.r). ^ ( 49^ ) Si l'on ajoute que 6{x) s'annule pour une valeur donnée K + K'y/ — i, il faudra que Aj = o, et la fonc- tion 9 sera définie à un facteur près. Ainsi les fonctions ©i, Hj 0, H sont définies par leurs zéros et par les formules telles que (6), que l'on peut déduire de (i), (2), (3), (4)5 mais elles ne sont définies qu'à un facteur constant près (on reconnaît dans H et 0 les valeurs qui figuraient en numérateur et en dénominateur dans snor). Sun UNE FOKMULE DE CAUCHY. NOUVELLES EXPRESSIONS DE 0, H, ©1, Hj EN PRODUITS. Posons Nous aurons évidemment F(,-=) = F(.) '+''••"' '-^r'^-', c'est-à-dire (2) F{q'z){qz-hfji"'+']z=F[z){l^q'"+H). ' Cette équation constitue une propriété de la fonction F (z) qui va nous servir à la développer. F[z) est de la forme ( F(z) = Ao-l-A,(. + z-) i + A,(2^ + Z-2) -i-...-f- A„(z":-f-2-«). Remplaçons dans (2) F{z) par cette valeur, nous aurons A„ + A.(7=3-{-<7-'c-') + ... -h A„{q'"z" + q-"'z-")][qz+ rf"+') =:[Ao-i- A,(z+Z-') + ... + A„(3« + =-«)](! +r/=«+'2), et, en égalant de part cl d'autre les coefilcients des ( 493 ) mêmes puissances de z, Ao7 + A,7"'+^ = Ao^-'"-^' 4- A,, •• * .....«, ou bien A, (9^— r/2"+3j — Aj(l — 7="+"), •••••••••• • •••» A„_, ( 7'"-^ - 7"'-^3 ) ^ A„ ( I - 7^«+= ) . Or on connaît A„; il est égal à qq^q^ . . .q-"^^ =^ ^"(n+»)^ el l'on lire des formules précédentes Supposons q<^i, alors pour n = (x> on aura A„== A,= ryAo, A2=7'A, , ..., et, par suite, en égalant les valeurs (i) et {3)deF(z), (l -^qz]{l-hrjz-')[l-hq'z){l-i-q'z-') ... _ l -^q{z-i-z-') ■+- q'{z^ 4-3-") -h q^z^ -\- z-') + . . . Telle est la formule de Cauchy 5 quand on y fait z =^ e '^ , et quand on observe qu'alors (i 4- r/2"-t-«z) (i + 72"+' 3-' ) = I -u 29'"+' cos ^ + 7*"-*-% TT '/ .7- 2^^ + Z""^ = 2 cos — — - '. elle donne 77 .77 77 .77 ( IH- 2<7 cos — - + 7') (l + 2 7^ COS— H- 7" , TT.r 2 7rx I 4- 2 7 cos — -H 2 7* cos — h . . . "" (i-7')(i-7*)Tr=^«rT~ ( 494 ) Si donc on désigne par c le produit on aura 0, (.r) = c(i -h 2.q cos — -r- (7' ) ( I -1- 2 ç' CCS ■^ !- q^) . . . . En changeant dans celte formule x en o'-j-K, en o" 4- K'y/ — 1 et en .r 4- K H- K\' — 1, on forme le ta- bleau suivant : TABLEAU N" 3. [9] TT.T? M ( T H- 2 73 COS -^ + r/M • • . , 0, [a;] =::(K) "'u;(o) ce que l'on peut aussi écrire On trouve de même 0' Le] = H^ x] —, ~=— -^e]ix] ^ ' mais (formules [6]) 0(lv -I- K'v'^^T) _ H (K) _H,(o)^ h(k + kV-i) ®(i^) ®'N donc ^ ' ^ ^ 0' o ' ^ ' 0: o (A suivre.) 496 AIËAIOIRE SUR LES TRANSFORIUTIONS DU SECOND ORDRE DA\S LES FIGURES FLANES ^ Par m. E. AMIGUES, Professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Nice. [suite (*).] DEUXIÈME PARTIE. 12. Dans cette deuxième Partie de notre travail nous nous proposons d'étudier les transformations corréla- tives des précédentes. Nous avons fait voir que deux relations homogènes et du premier degré, soit en x^y, z, soit en x\j\ z', pou- vaient toujours se ramener à la forme suivante : XXX'=:ayY'=vZZ', X, Y, Z étant des fonctions linéaires et homogènes de x, Y^ z convenablement choisies, et X', Y', TJ étant de même des fonctions linéaires et homogènes de x' ^y ^ z' convenablement choisies. Ce principe nous sera bientôt utile. Soit dans un plan P un système d'axes j^ox et désignons par-1 - les coordonnées tangentielles d'une droite *- r r (i) px -\- qy — /-z = o. Imaginons dans un autre plan P' un autre système d'axes y'o'x', et soient —5 ^ les coordonnées taneentielles d'une •^ r r . droite p'x' (*) Nouvelles Annale:;, 2' série, t. XVI, p. 422, /|5t. ( 497 ) Si l'on se donue enUc p^ -/i-/){n-h~f-i). Eliminant ^v-, J, ^^ o'» obtient j- = m -+- 2« — 2 (/ -+- g' + /< ). Pour J = g =: h= o, .rzzz m -f- 2«. 15. Il est facile de voir que, si deux courbes se tou- chent dans l'une des figures, les courbes correspondantes de l'autre figure se touchent aussi. En effet, cherchant dans Tune des figures les tangentes communes à doux courbes quelconques S et U,on obtient, pour calculer P, Q, R, deux équations de la forme /(P, Q, R)--o, ^(P, Q, R)^ o, qui d'ailleurs ne sont autre chose que les équations tan- gentielles des deux courbes. A toute tangente commune (Pj, Q,, R,) correspond, dans l'autre figure, une droite (P', , Q', , R', ), qui est tangente commune aux deux courbes correspondantes S' etU'. Si les courbes S et U deviennent tangentes, deux soluiioMs (P,, Qi, R,) et (Pj, Qs, Ra) deviennent égales. Alors les solutions correspondantes (P'^, Q', , R', ) et (F,, Q'j, R\] deviennent égales aussi. On peut con- ( r>o2 ) c.lure (le In ({uo les deux courbes S' et U' Jevienncnt tan- gentes. Toutefois, pour que cette conclusion soit légitime, il faut se detnauiier si, lorsque deux tangentes communes aux courbes S' et U' viennent à se confondre, ces deux courbes deviennent nécessairement tangentes. Or il est visible que ces deux courbes pourraient ne pas devenir tangentes, sil'uuedes tangentes communes, restant tan- gente simpleà la courbe U', devenait tangente double à la courbe S', Mais alors la tangente correspondante serait tangente simple à la courbe U et tangente double à la courbe S, cas particulier peu inléressant et d'ailleurs fa- cile à étudier. J6. l^a remarque qui précède est très-importante. Elle douije le tliéorème suivant. L'enveloppe d'un sys- tème de. courbes et 1 enveloppe des couibes correspon- dantes se correspondent (A). Comme cas pailiculier, le lieu d'un poijit correspond à l'enveloppe de la conique qui correspond à ce point (B). Par suite, lorsqu'un pointdécrit vine courbe déclasse//, la conique correspondante enveloppe une courbe de classe iti (C). 17. L'un des avantages de la transformation consiste à prendre une propriéîé d'une courbe quelconque de classe // et à voir ce qu'elle devient dans la transformée, qui est une courbe de classe in ayant trois tangentes d'ordre //. Mais, pour que cette opération soit légitime, il ne faut employer que des modes de transformation pour lesquels toute courbe de classe 2 7Z, ayant trois tan- genles d'ordre //, peut être considérée comme la transfor- mée d'une courbe de classe //. De là la nécessité de re- connaître les modes de transformation qui satisfont A ( 5o3 ) celte cotidition. On y parvient par la règle suivante. Pour qu'une courbe quelconque de classe 0.11 à trois tan- gentes d'ordre n puisse être considérée comme la trans- formée d'une courbe de classe n, il faut et il suffit que le procédé de transformation laisse arbitraire le triangle de référence dans la figure qui contient la couibe de classe Cette condition est évidemment nécessaire. Elle est suffisante. En effet, soit une courbe de classe 111 à trois tangentes d'ordre n. Prenons ces tangentes pour côtés du triangle de référence dans la figure qui contient la courbe de classe in. Pour déiermitier une courbe de 1 . , ^ 2 « ' 9. « -+- 3 1 . . , 1 classe 27Ï, il laut tangentes, ainsi qu on le voit en passant à la figure corrélative. Mais les trois tan- gentes d'ordre «, d'après cette même figure corrélative, valent tangentes simples. La courbe est donc déterminée si l'on se donne, ovUre les trois tangentes d'ordre //, un nombre de tangentes égal à 2 /? ( 2 /7 + 3 I 3 // ( « -I- 1 ) n' n -\-?>) 2 2*2 A ces tangentes, que l on peut se donner pour détermi- ner la courbe, correspond dans l'autre figure un nombre égal de tangentes, qui définis.sent précisément une courbe de classe n. 18. A un point P, défini par les étjualions X_ Y _ n h «orrespond dans l'autre figure une conicpie. Clierclioiis les coordonnées du centre de rt lie conique. ( 5o4 ) Une dioile passant par le point P a pour équation cX — «Z -^ K((Y — ^Z) =r o. Ladroitecoirespondante deTautreligure a pour équation X' Y' Z' Lorsque K varie, celte dernière droite enveloppe une conique. Choisissons K de inanière à avoir la tangente à la conique qui est parallèle à B'C. L'équation de cette tangente est — (7fAv sin B' sinC' >. I cy.sinB -1- /jvsiiiC' X' -\- Y' sin B' -T- Z' sin C r= o. Si d'ailleurs on désigne par S' et R' l'aire du triangle A'B'C et le rayon du cercle circonscrit à ce triangle, on a pour tout point (i3) X'sinA'-{- Y'sinB'+ Z'sinC == _. Retranchant (12) de ([3) et remplaçant S' par sa valeur en R', A', B', C, 2R'( -sinB' -{--sinC X'= - + )isinA' asinB' vsinC' Celte valeur représente avec son signe la distance du point de contact à la droite B'C. Pour le centre de la conique, cette distance est deux fois moindre. On a donc pour le centre, en remplaçant «, ^, c par les quantités proportionnelles, Z Y R' ( -sinB'-l sinC (i4) X' X )iSinA' asinB' on aurait pai- analogie Y' et Z'. ( 5o5 ) D'après la formule (i4), la conique est une parabole, si le point correspondant est sur la droite représentée par l'équation , l,^ ^ Y Z ^ ' ÀsinA' fAsinB' vsinC Ainsi le lieu des points de la figure ABC qui se trans- forment en paiaboles est une droite représentée par l'équation (i5) et que pour ce motif nous appellerons la droite parabolique. 19. De la formule (i4) et des deux analogues on dé- duit sans difficuhé X' Y' Z' y Y X z Y X ' -sinB'H — sinC — sinC-l — sinA' — sinA'-f- - sinB' ces dernières formules prouvent que, si le point X, 1 , Z décrit une courbe dans son plan, le centre de la conique correspondante décrit une courbe homograpliique, et, par conséquent, une courbe de même ordre et de même classe. De là le théorème suivant : Si une conique, tangente aux trois côtés d'un trian- gle, est aussi tangente à une courbe de classe in ayant les trois côtés de ce triangle pour tangentes d'ordre n, le centre de cette conique décrit une courbe de classe n. Deux cas particuliers de ce théorème ne sont point nouveaux : 1° Pour n = o, on a le célèbre théorème de Newton sur le lieu des centres des coniques inscrites à un quadri- latère. 2° Pour //= 2, on a un théorème que M. Gohierre de Longchamps a déduit de celui de Newton [Annales scientifiques (le l'École Normale supérieure, t. III). ( 5o6 ) 20. Considérons toutes les courbes de quatrième classe bitangentes aux trois côtés d'un triangle. Nous pouvons imposera ces courbes cinq conditions nouvelles. Si nous ne leur en imposons que quatre, nous avons un système de courbes. Nous appellerons caractéristiques d'un de ces systèmes les nombres [j! et v', qui indiquent combien de courbes du système passent par un point donné et combien touchent une droite donnée. Dans l'autre figure on a un système de coniques assu- jetties, non aux mêmes conditions, mais aux quatre con- ditions correspondantes. On sait que l'on appelle carac- téristiques de ce système de coniques les nombres jx el V, qui expriment combien de coniques du système passent par un point donné et combien touchent une droite donnée. On sait aussi que l'on peut trouver les nombres fx et v. Nous allons montrer comment les nombres i^ et v' se calculent en fonction des nombres ^ et v. ix', nombre des courbes qui passent par un point, est égal au nombre des coniques du système (^, v) tangentes à la conique qui correspond au poijit, c'est-à-dire égal à 2 ( p -\- y). On a donc (l6) p' = 2(fZ+v). v', nombre des courbes tangentes à une droite, est égal au nombre des coniques du système (//, v) tangentes à la droite correspondante. On a donc On remarquera que le nombre u! est nécessairement pair. Reste à montrer comment les propriétés d'un système {[j!, y') s'expriment en l'onction de ses caractéristiques. ( 5o7 ) Ou sait que plusieurs propriétés des coniques du sys- tème (u, v) se présentent sous la forme suivante. L'enveloppe d'une ligne y, dans un système de coniques (^., v), "est de la classe atx + pv. Transformons cet énoncé; nous aurons le suivant. L'enveloppe d'uTie ligne y' dans un système de courbes de quatrième classe ayant trois tangentes doubles com- munes (^u/, v') est une courbe de la classe p-/ ayant trois tangentes multiples d'ordre moitié moindre confondues avec les trois tangentes doubles. Donnons un exemple. On a un système de coTiiques ( (j., y) et une conique U. Les cordes communes à la co- nicjueU et à cliacjuc conique du système enveloppent une courbe de classe 3a. Eu transformant cet énoncé, on obtient le suivant. On a un système de courbes de la quatrième classe ayant trois tangentes doubles communes ( u', v') et aussi une courbe de quatrième classe U' ayant les mêmes tangentes doubles. On imagine deux coniques tangentes aux trois tangentes doubles, à la courbe U et à une courbe du sys- tème. Les tangentes communes à ces deux coniques en- veloppent une courbe de classe ayant les tangentes doubles pour tangentes d'ordre moi- tié moindre. ( .7 suii^rc.) 5o8 THÉORIE DES INDICES; Par m. FAURE, Chef d'escadrons d'Artillerie. [suite (*).] :=0, 145. Si l'on donne au paramètre o les valeurs parti- 1., I\ Ib Ig Id 1 r 1 .1 ,1 culieres —■> ~j ^ -ri —■> It^s suriaces du système sont des 1a Ib Io Id ^ coniques situées sur les faces du tétraèdre conjugué commun aux deux surfaces S et S'. Par exemple, pour cp == — , la surface correspondante a pour équation par Id plans, par droites et ])ar points, respectivement, IaIq IqIa I ^ j.\. . IrId — IdIb/; ^ s, , IcId — IdIc , ^^^, sin AD [g, «[' sin BD | s, p 1' sin CD | e, 7 1^ IaI'd-IdI'a iX^ "^ IbI'd-IdI'b ITTFP "^ IcI'u-IdI'c | v, 7 P {e,DY = o; cela résulte des relations (i), (2), (3). Les quatre coniques que nous obtenons ainsi sont les lignes de striction de Poncelet. Deux d'entre elles suf- fisent pour déterminer la développable (SS'). Si les surfaces S, S' sont concentriques, la dévelop- pable qu'elles déterminent a vine ligne de striction à l'infini, et réciproquement; si, de plus, cette conique coïncide avec le cercle imaginaire de l'inlini, les sur- (*) Nouvelles Annales, 2^ série, l. XV, p. ■ih\ , 292, S.lg, /pi, 4S'î ^29, et t. XVI, p. 5, iGo, igS, 249, 289. ( 3«9 ) faces sont homofocales. Les lignes de striction prennent dans ce cas le nom àe focales. 146. Si le point e d'une ligne de stiiction de la développable (SS') est pris pour sommet d'uji cône circonscrit à Vune des surfaces S du système, ce cône aura un double contact avec toutes les surfaces du système. Car, si nous menons la tangente au point e de la ligne de striction, on pourra par cette tangente mener deux plans tangents à S. Mais ces plans tou- chent aussi la ligne de striction; donc ils loucheront toutes les surfaces. Lorsque, en particulier, les surfaces sont homofocales, on voit que, si l'on prend un point d'une focale pour sommet d'un cône circonscrit à l'une des surfaces, il aura un double contact avec toutes les autres ; ce cône sera par conséquent de révolution, puisqu'il aura un double contact avec le cercle imaginaire de l'infini, qui est une des surfaces du système. Des surfaces du second degré qui ont la même intersection. 147. Désignons par 1^, I'^, les indices d'un point e par rapport aux deux surfaces S et S'; si l'on a entre ces indices la relation le — ?l!' = O, dans laquelle c^ est un paramètre donné, le point e dé- crira une surface 4> qui passera par rinterscction des surfaces S et S'. On sait (|ue deux surfaces admettent un même té- traèdre aulopolaiie abcd, et l'on voit, d'après la forme de la relation précédente, que ce tétraèdre est aussi con- ( 5«o ) j ligué à toutes les surfaces ^ qui passent par l'intei^- section SS'. Des relations établies (80, 3o°) on déduit les sui- vantes : 'T^ {e,A](c'.A) ^''' ^ 2à [a. A]' " ( ^ ""^^ ^ ' J,,' = > — ^- — L_J — I ^' (6 termes), — 7rMEE'=J^ ^^ (4 termes). Elles donnent l'indice du système de deux points, de deux droites et de deux plans à l'aide de formules qui ne contiennent que les indices des sommets du tétraèdre autopolaire ahcd. 148. 11 suit de là que, si nous prenons dans l'espace deux points 6, e', deux droites £, e', deux plans E, E', les paramètres des surfaces menées par l'intersec- tion SS', et qui sont respectivement conjuguées aux points, aux droites et aux plans, sont déterminés par les relations \ i\ o = > ■ — — -. ' ^ •> ^ IV' '■'I- ab >,E)(«,E') Si l'on développe ces équations en tenant compte des relations établies (85), on trouvera (l)' 0 = U. -'fC ' '' ^ I ab ( 3V O = Ief/ -- f /// -h- ç^ //.' — (f'iKE'- ( 5.. ) Nous avons posé 'il 7: et 7i' désignant les produits des demi-axes des sur- faces S et S'. Ces relations montrent que par l'inler- section SS' on peut mener une surface conjuguée au système de deux points, deux surfaces conjuguées au systèuie de deux droites, trois surfaces conjuguées au système de deux plans. i49. Lorsque le point a' coïncide avec le point e, ia droite s' avec e, le plan E' avec le plan E, les équations (i), (2), (3) ou leurs transformées sont respectivement l'équation par points, l'équation par droites et l'équa- tion par plans de la surface 4> menée par l'intersec- tion SS'. Si l'on donne à q? les valeurs particulières -f 5 — > -r» -,-•) les surfaces du système sont des cônes qui ont pour sommets les sommets a, h, c, d du tétraèdre aulopolaire. Par exemple, pour ç = --,-■> la surface correspondante a 1,/ pour équation par points, par droites et par plans, \e,l\^c77i' le. alV/é' le.vlvï^' Ifll,, — ljl„ hl,i — ld\/, Ifl,/— I I/./ + ).' l'jg = 4 efg .e'fg'lli^, u )/l' ' + )/iL, En établissant la coïncidence entre les deux systèmes de points, ces relations nous donneront l'indice de la droite e et du plan E par rapport à la surface S" ; donc, si dans celte supposition on égale à zéro les premiers membres de ces équations, on obtiendra les équations par droites et par plans de la surface S". Du développement de la première on déduit h = V],-h »' he I., 7\ Ia ï// h/ -^ vu'.. 152. La seconde relation donne lieu à des considéra- lions analogues, en ayant égard aux théorèmes du n" 8. Ainsi, en désignant par EF, E'F' deux couples de plans passant respectivement par les droites e, e', et rem- plaçant dans le premier des déterminants écrits ci- dessus les petites lettres par des lettres majuscules, on Àiiii . fir Mntliêinnt ..t'^ v.f'r'M-, (. XVI. ( \fivrinhrc '•**77.; 33 ( 5i4 ) obtient la valeur de ^ sinEF slnE'F'l",/, en ap- pelant 7i" le produit des demi-axes de la surface S". Si E, F, G et E', F', G' sont des plans passant, les premiers par le point e, les seconds par le point e', en remplaçant dans le second déterminant les petites lettres par les lettres majuscules, on obtient la valeur de 4-sinEFGsinE'F'G'O. lia te De la première de ces équations on déduit Iee Ife Ief IpF Iee Ief Ief Iff -.vi- Égalé à zéro, ce second membre donne l'équation par droites de la surface S" inscrite à la développable (SS'). La seconde donnerait l'équation par points de cette même surface. 1S3. La îlatic première relation (^144) o = Iee' — ?Iee' montre que, si deux plans sont conjugués à deux sur- faces du système, ils sont conjugués à toutes les sur- faces du système. Il suit de là que, si les plans E, E' touchent respec- tivement les surfaces S et S' en un point de V intersec- tion de ces surfaces, ces plans, étant évidemment con- jugués aux surfaces S et S', seront conjugués à toutes les surfaces inscrites à la développahle (SS'). De même, si trois surfaces inscrites à cette dévelop- pable se coupent en un point e, les plans tangents menés en ce point à chacune de ces surfaces formeront un trièdre conjugué à toutes les surfaces inscrites à la développable ( SS' ) . ( 5i5 ) D'après ia relation (2), il y a deux surfaces inscrites à cette développable qui touchent une droite donnée e •, si par cette droite on mène un plan tangent à chacune de ces surfaces, ils sont conjugués à chacune d'elles; donc ces deux plans tangents sont aussi conjugués à toutes les surfaces inscrites à la développable (SS'). Si l'on prend les pôles d'un plan E par rapport aux surfaces inscrites à la développable (SS'), ces pôles seront sur une droite facile à déterminer. Menons en effet la surface inscrite à la développable qui touche le plan E, et soit e son point de contact; il y a deux autres surfaces du système qui passent par ce point e, et si E', E" sont les plans tangents de ces surfaces en ce point, la droite cherchée est Finlersection E'E"; cette droite est conjuguée au plan E par rapport aux surfaces S et S', et par suite par rapport à toutes les surfaces du système. ISi. La première relation (148) G z=z I„, — (p l',^, nous montre que, si deux points e, e' sont conjugués aux deux surfaces S et S', ils sont aussi conjugués à toutes les surfaces 4> qui passent par l'intersection SS'. Il résulte de là que, si les points e, e' sont les points de contact d'un plan tangent aux surfaces S et S', ces points sont conjugués à toutes les surfaces qui passent par l'intersection SS'. Car ces points e, e', étant évi- demment conjugués aux surfaces S et S', seront, d'après le théorème précédent, conjugués à toutes les surfaces qui passent par la courbe SS'. De uiônie, 5/ trois surfaces menées par l'intersec- tion SS' touchent un même plan, les points de contact déterminent un triangle conjugué à foutes les surfaces du système, et si deux surfaces menées par Vintersec- 33. (5i6) tion SS' touchent une même droite^ les pouits de con- tact sont conjugués à toutes les surfaces du système. Nous voyons encore que, si Von prend les plans polaires d^un même point e par rapport à toutes les surfaces menées par V intersection SS', ces plans passe- ront par urze droite fixe. Menons, en efï'et, la surface^ du système qui passe au point e, et soit E le plan lan- gent de ^ en ce point; il y a deux autres surfaces du système qui touchent ce plan E, et si e', e" sont les points de contact, la droite fixe est e' e" . Cette droite e'e" étant en effet conjuguée au point e par rapport à toutes les surfaces du système, les plans polaires du point e passeront tous par cette droite. Propriétés de trois surfaces inscrites à la même développable. 155. De la relation [(i)', IM] il résulte que, quand trois surfaces S, S', ^ sont inscrites à la même déve~ loppahle, si Von prend deux plans E, E' conjugués «^, le quotient -^ des indices de ce système de plans, pris par rapport aux surfaces S et S', est égal au para- mètre cj' de la surface 4>. D'après (52), désignons par a et b les points d'inter- section de la surface S avec son diamètre conjugué au plan E, par a' et b' les points d'intersection de la sur- face S' avec son diamètre conjugué à ce même plan; on aura («,E)(6,E') + («,E')(i,E) . (a',E]{b',E')-+-{a',E'][b',E) _ Si l'on prend le plan E' à l'infini, le plan E passera ( 5.7 ) par le centre de 4», et la relation se réduira à (^.E)-4-(^,E) ^ {a',E)-+- (^>^E) _ OU bien, o et o' étant les centres de S et S', (o, E) . (oVR) _ Or cette égalité exige que le centre m de la surface 4>, par lequel est mené le plan arbitraire E, soit situé sur la ligne oo' qui joint les centres des deux premières; ainsi le lieu du centre fies surfaces inscrites à la déve- loppahle SS' est une droite, et les points o, o', m étant les centres des surfaces S, S', 4>, on a om o' ni Cette relation donnera immédiatement la valeur du pa- ramètre de la surface 4>, connaissant le centre tu de celle surface. 156. Lorsque le'plan E' coïncide avec E, on voit que : Quand ti ois surfaces S, S', 4* ont en commun les mêmes plans tangents, si l'on mène à la dernière un plan langent quelconque E, le quotient — ' des indices de ce plan par rapport aux deux autres, S et S', est égal à une constante ^. On obtiendra des corollaires de ce tbéorème en y remplaçant les indices par leurs valeurs. (a) Si l'on désigne par F et G deux plans quel- conques, on peut écrire { 5i8 ) de soile que, si A, B sont les plans langenls de S menés par l'intersection EF, et A', B' les plans tangents de S' menés par la droite EG, on a (52) sinEAsinEB ^ sinEA'sinEB' _^ l'g sinFAsinFB * sinGA'smGB' ' Ip Le premier membre de cette relation sera constant si Ip et I'q le sont aussi-, on pourra donc prendre (o4) pour le plan F un plan tangent quelconque d'une homo- fbcale déterminée de S, et pour le plan G un plan lan- gent aussi quelconque d'une homiofooale donnée de S'. Si, en particulier, les plans F etGsont fixes, on a dans l'espace le théorème analogue au théorème général 396 du Traité des sections coniques de M. Chasles. ( b ) Désignons par e et / les pôles des plans E, F par rapport à S, I,, (o,E)(e,E) 1- [o,F){/,Fy mais (o>E) ^ (/,E) (o,r) ^6-, F)' par conséquent Ie ^ (g,E)(/,E) ^ (AE)sinPE h [e,b'j[/,F) ^/, FjsinPF' en désignant par P le plan passant par le point e et l'in- lerseclion EF. On a de même 4 ^ (g, E] sinQE^ I'g ig^,GiSinQG* g étant le pôle du plan G par rapport à S', e' le pôle du plan E par rapport à cette même surface, et Q le plan mené par le point e' et l'intersection EG.' La relation précédente [a) donne donc, en supposant fixes les plans F et G, sinPF ' sinQG (5i9) Appelant T le plan mené par les droites FG cl PQ, nous avons sinPE.sinQG.sinFT _ sinPF.sinQE.sinGT ~ ^ * de sorte que la relation précédente devient sinGT (/, El -; Y-^ — - =const, sinFTlg', E) Si nous supposons que les points y^ et ^ coïncident, sinGT =3Const.; dans ce cas le plan T est donc fixe, et l'on a vc théo- rème : Trois surfaces S, S', *î> ayant en commun les mêmes plans tangents, désignons par F ef G A-5 plans po- laires rViui même point par rapport aux sur/aces S et S' 5 si Von mène un plan tangent E à la surface ^, et que par les droites EF, EG on fasse passer les plans P et Q respectivement conjugués au plan E par rapport aux surfaces S et S', lorsque le plan E roulera sur 4', r intersection PQ décrira un plan passant par la droite FG. (c) Si l'on désigne par A et B les plans tangents de S parallèles au plan E, par A' et B' les plans tangents de S' parallèles à ce plan, on a (52) 7rqE = (E,A)(E,B), 7r"lE=:(E,A'j(E,B'), et, par conséquent, (E,A)(E,B) (E,A')(E,B')=^^"^^- [d] Désignons par E le produit des demi-axes de la section faite dans S ytir le plan E, par E„ le produit des demi-axes de la section diamétrale laite dans la mèur f ( 520 ) surface par un plan parallèle au plan E, on a (52) ^E = — F5 ' et, relativement à la surface S'. en ajoutant un accent à ce qui est relatif à cette surface. De là résulte la relation A . ^ — A la surface 4> on peut mener deux plans tangents parallèles E et F, Le premier nous a donné la relation précédente; le second, à l'aide d'une notation analogue, donne FF' La comparaison de ces égalités montre que E _ E' F ~ F* Or les sections E, F de la surface S sont semblables, et de même les sections E', F' de la surface S'. Si ;> et p' sont les sommets de l'un des deux cônes que l'on peut mener par les sections E, F et E', F', l'égalité ci-dessus montre que (p,E)'_ (/, E)^ (;., F)'-(/y, F)^' d'où, en prenant le même signe dans les deux membres, (/.,E)^(//,E). de là (^'.E) (/,E) [p,E)-[p,¥) {p',¥]-[p',¥) ( 321 ) Or les dénominateurs sont égaux comme représentant la distance du plan F au plan E. Il en résulte les sommets, p et p' sont donc à la même distance du plan E5 et si /y et q' sont les deux autres sommets des cônes menés par les sections semblables E, F et F/, F', on aura aussi ( ayant en commun les mêmes plans tangents, on mène à la troisième deux plans tangents parallèles E et F ; ces plans coupent chacune des surfaces S et S' suiwant des coniques par lesquelles on peut faire passer deux cônes. Les sommets de ces quatre cônes déterminent un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles aux plans E et F. [A suivre.) BIBLIOGRAPHIE. Questions proposées sur les Éléments de Géométrie, divisées en Livres, Chapitres et Paragraphes, et con- tenant quelques indications sur la manière de résoudre certaines questions ; Ouvrage destiné aux Elèves des classes de IVIalhématiques élémentaires, aux Elèves des dilTérentes classes de Lettres et à ceux de l'Enseigne- ment secondaire spécial 5 par M. P. -F. Compagnon. In-S", avec figures dans le texte; 1877. Prix : 5 fr. Pour s'assurer que les élèves ont bien compris les Eléments de Géométrie, il est bon de leur proposer des { 5^2 ) questions sur ce qu ils ont déjà vu, de constater comment ils les traitent lorsqu'ils sont abandonnés à eux-mêmes, de leur signaler avec soin les fautes qu'ils commettent, de leur montrer comment on passe d'une question parti- culière à une question plus générale ou à des questions analogues, etc. Telles sont les raisons qui m'ont engagé à réunir dans ce Recueil un certain nombre d'Exercices. Toutefois, on ne saurait trop recommander aux élèves d'insister avant tout sur les propositions contenues dans le texte des Eléments et de ne pas les confondre avec les questions qui s'y rattachent. J'ai divisé ce Recueil en Livres, Chapitres et Para- graphes^ qui se rapportent aux différents Livres, Cha- pitres et Paragraphes de mes Eléinents de Géométrie, et, en général, j'ai cherché à ne proposer que des questions connues et peu difficiles, laissant aux professeurs le soin d'en proposer d'autres qui soient plus en rapport avec la force et la capacité de leurs élèves ou avec le but que ces élèves poursuivent. Je ne pense pas qu'il y ait lieu, comme on le fait or- dinairement, de placer des questions à la suite des Elé- ments, ou à en intercaler dans le texte ^ à mon avis, ces Eléments doivent former un Ouvrage classique, bien dé- limité, que les élèves puissent étudier et comprendre depuis la première ligne jusqu'à la dernière, une sorte de logique pratique, très-propre à développer et à forti- fier leurs facultés intellectuelles. Le mieux me semble donc de présenter les Eléments de Géométrie dans un Ouvrage à part, sans y proposer aucune question et sans y joindre non plus des notions sur quelques courbes usuelles, sur le levé des plans, sur l'arpentage. D'ailleurs cette manière de procéder laisse plus de la- titude pour le choix des questions et elle permet aussi, ( 523 ) lorsqu'il s'agit de questions un peu difficiles, de mettre les élèves sur la voie, en leur donnant quelques indica- tions sur la marche à suivre, sur les constructions à ef- fectuer, etc. Remarque. — Ce Recueil contient quelques questions qui sont résolues dans les Notes de mes Éléments de Géomètne et jai soindeles signaler : ce sont, en général, des questions que les élèves doivent connaître plus parti- culièrement et je n'ai pas craint de faire ces doubles emplois. Je terminerai en appelant l'attention des élèves sur les trois Notes qui terminent ces Questions. La première est relative aux lieux géométriques, la seconde à diffé- rentes méthodes pour résoudre les problèmes et la troi- sième à quelques indications pour démontrer les théo- rèmes. Enfin nous leur recommandons aussi de discuter les problèmes avec soin. Ce genre d'exercices donne de la force et de la rectitude à l'esprit, et s'il paraît d'abord un peu difficile, vin peu pénible, il finit souvent par avoir de l'attrait, par procurer une vraie satisfaction en faisant voir les modifications que présente la résolution d'un problème, lorsqu'on fait varier d'une manière con- tinue Ja figure que l'on considère. Compagnon. SOLITIONS DE QlESTIOÎ^iS PROPOSÉES UAXS LES KOIVELLES AKNALES. Question 1210 ( voir ?" série, t. XV, p. ■>v>); Par m. Ck. BRUNOÏ, Élève en Mathématiques spéciales au lycée de Dijon. l^rouvcr rcnwcloppe d'une sphère qui coupe ortho- i^onalamcut une sphère fixe donnée et qui demeuic ( 524 ) tangente à un système de trois diamètres conjugués d^une surface à centre du second degré également donnée. (V. Hioux.) Soient ^ ^ "^ ^ c^ "^ * ' les équations de la sphère et de l'ellipsoïde donnés 5 soit (X-a)'+(Y-p)^+(Z-7)^ = p^ l'équation de la sphère variable 5 soient enfin X z 7 7' y z If — ~7i'> J z J z y'" ~ V' les équations de trois diamètres quelconques. Si l'on pose x' y' z' — =COS>.', V = COSw', — =;COSv', a 0 ' c X Y z = COS^", ^ = COSf/.", — = COSv", a b c x" y'" z'" — = CCSX'", — =^ COSix'", — r=: COs/', a 0 *■ c la condition pour que le premier diamètre soit tangent à la sphère mobile est ou [aoiCosV -f- b^cosu.' + C7 cosv' Y = (a- + p^ -f- v' — 0= ) [a^ cos=)i' + b^ cos>' -\- c' cos^v' ) . ( 5x5 ) Faisons la somme de cette équation et des deux autres analogues, et observons que, lorsque trois diamètres sont conjugués, les trois directions (X', p.', v'), (À", ^", v"), (À'", li!"^ v'") sont rectangulaires^ il vient «'a= + b'P^-i-c'f= (a' + P' -hy' — p') [a^ + b' Éliminant ensuite p'^ entre cette équation et la suivante : (a-x,)'H-(p-j.)^+(7-z,)==R^ + p', qui exprime que les deux sphères se coupent orthogona- lement, on en conclut que le centre de la sphère mobile décrit une surface du second ordre. L'enveloppe cher- chée est donc une surface anallagmatique du quatrième ordre, conformément à la définition donnée par M. Mou- tard. Question 1242 (voir 2* série, t. XVI, p. 288); Par m. F. PIS A NI, Professeur à Girgenti. On donne^ dans un plan, un triangle, une conique circonscrite et une droite quelconque. On prend le mi- lieu [toujours réel) de la droite considérée comme corde de la conique.^ et les symétriques, par rapport à ce milieu, des trois points ou la droite rencontre les côtés du triangle. Démontrer que les trois droites obte- nues en joignant ces symétriques aux sommets opposés du triangle vont concourir sur la conique. (J.-J. -A. Mathieu.) Soient ABC un triangle inscrit dans une conique; P, Q, Ries points d'intersection delà transversale u avecles cotés BC, CA, AB; M, M' les points d'intersection de la même droite avec la courbe ;0 le milieu de la corde MM'. ( 526 ) Prenons OF = OP, la droite AP' rencontre la courbe au point A'. Menons les droites A'B, A'C qui vontcouper la transversale aux points Q', R'. ABCA' étant un quadrilatère inscrit dans une conique, la transversale u coupe les couples de côtés opposés et la courbe en couples de points en involution (P,n(Q>Q'),(R,R')»(M,M'); mais le point O est le milieu des deux segments PP', MM' déterminés par deux couples de points conjugués-, donc O sera de même le milieu des autres segments QQ', RR', c'est-à-dire que les points P', Q', R' sont symétri- ques des points P, Q, R par rapport au point O, milieu de la corde MM'. Donc AP', BQ', CR' sont trois droites concourant au point A' situé sur la conique. On peut aisément démontrer le théorème corrélatif: On donne, dans un plan, un triangle, une conique inscrite et un point quelconque. On prend la bissectrice {toujours réelle) de V angle des tangentes issues de ce point, et, par rapport à cette bissectrice, les droites sy- métriques des trois rayons qui projettent les trois som- mets du triangle : ces trois droites rencontrent les côtés opposés du triangle en trois points situés sur une même tangente à la conique. So'ieniabcxin triangle circonscrit à uneconique ; p, q,r les rayons qui joignent le point U aux sommets [bc), [ca], [ab) ; m, m' les tangentes issues de U à la courbe ; o la bissectrice de l'angle des tangentes m, m' . Faisons l'angle o\]p' = o\}p, et, par le point {cip'), menons la tangente a' . Projetons enfin du point U les points [a'q], (rt'r)par les droites q',r'. abca' étant un quadrilatère circonscrit à la conique, ( 527 ) les couples de droites menées de U aux sommets et les deux tangentes forment un faisceau on involution PP' ^ qq' , rr' , mm' ; mais la droite o est la bissectrice des deux angles ptJ p', m U///, déterminés par deux couples de rayons conjugués : donc o sera de même bissectrice des angles çU(j', /'U/'', c'est-à-dire que les rayons p',q',j'' sont symétriques par rapport à la droite o qui est la bissectrice de l'angle des tangentes m, tu'. Donc les points d'intersection de p', « = — • cos -■) w =; 7 cos - • 0 -h c 1 a -\- c 1 a -\- b 1 Si, entre ces trois équations, j'élimine «, Z>, j'aurai une relation entre m, /?, p et les angles du triangle, qui, simplifiée, donnera l'expression cherchée. Des deux premières équations je tire A B 1 c cos m 2 c cos - 2 2 d'où ah = A \ / B 2 C cos m\ \ic cos m 1 ]\ 2 / B \ / A me 9. c cos m\ ^ nc\ic cos — « + y = ^ — A \ / B 2 c cos W 2 C COS //? Je porte ces valeurs dans la troisième équation: il vient B *\ / A \ C mp I 2 c cos m \ -\- np 2 c cos m r=; 2 /?i«c cos - d'où la relation demandée c I np cos 1- mp cos - ■ — mn cos — =: mnp. En éliminant de même a et c, on aura la deuxième rela- tion 5 de même pour la troisième. ISote. — Solutions analogues par MM. J. Chambon, élève du lycée de Bordeaux; Moret-Blanc; Ferd. Pisani; A. Genouille, professeur au lycée de Tournon ; P. Sondât. ■J2Ç) MEMOIRE SUR LES TRANSFORMATIONS DU SECOND ORDRE DANS LES FIGIRES PLANES 5 Par m. E. AJJIGUES, Professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Nice. [SL'ITE (*}.] 21. Puisqu'une droite correspond à une droite, il est naturel d'étudier les systèmes où les droites de l'infini se correspondent. Dans la figure ABC, la droite de l'infini a pour équa- tion XsinA H- Y sinB -h Z sinC = o. Représentons la droite correspondante de l'autre figure par l'équation (18) P'X' + Q'y'-+-R'Z' = o. Les quantités P, Q', R' sont définies par les relations XP' sinA = p.Q' binB = vR' sinC. L'équation (18) devient donc X' Y' Z' ^' ^ sin A ^sinB vsinC Cette équation doit être identique avec la suivante : (20) X'sinA' + Y'sinB'+ Z'sinC'r=o. Identifiant les équations (19) et (20], ou trouve pour conditions (21) XsinA sin A' --:=: !z sinB sinB' =z v sinCsinC; (*) Nouvelles Annales, i' série, t. XVI, p. \ii, /pi, 496. Aitn. de .yjuchéinuc, i" série, t. XVI. (Décembre 1877.) 84 ( 53o ) ces équations (21) expriment que les droites de l'infini se correspondent. Cherchons leur interprétation géométrique; on voit facilement que la droite (22) PX + QY-i-RZz=o coupe le côté BC du triangle ABC en un point a, tel que , „ , aC R sinB ^^ ' ^ "~ ~ Q ïï^' De même la droite correspondante (24] P'X' + Q'Y'-f-R'Z' ^^-o coupe le côté B'C du triangle A'B'C en un point a', tel que (25 ) a' C'_ B' "~ R' sinB' sinC' ' mu tipliant (23) pai (25) aC a 'C RR' sinB sin B' aB a'B' QQ' siuCsinC ou bien, à cause des relations XPP' = a QQ'= yRR', aC a'C a sinB sinB' 2 61 x B a'B' vsinCsinC' La relation (26) est vraie dans tous les systèmes; mais, dans les systèmes où les droites de Tinfini se correspon- dent, la relation (26), d'après les équations (21), prend une forme plus simple qui est , , aC a'C La relation (27) et les analogues équivalent aux rela- tions (21). Elles signifient que les rapports dans lesquels ( 53i ) les droites correspondantes divisent les côtés de même nom dans les triangles de référence sont réciproques. Les relations (ai) laissent les deux triangles absolu- ment arbitraires et ne déterminent que X, p et v. Si, en particulier, les deux triangles sont égaux et con- fondus, les points a et a' sont évidemment symétriques par rapport au milieu de BC. On obtient ainsi un mode de transformation imaginé a priori par M. Gohierre de Longchamps ( Annales scientifiques de V Ecole Normale supérieure, t. III). Le procédé de ]\L Goliierre de Long- champs offre cet avantage que les deux figures homogra- phiques signalées au n° 19 sont semblables. iNIais cet avantage n'appartient pas exclusivement à ce procédé : nous avons rencontré incidemment plusieurs procédés simples ayant le même caractère. C'est ce qui nous a décidé à entreprendre la recherche analytique de tous les systèmes de transformation doués de cette pro- priété. Nous exposerons plus loin le résultat de cette re- cherche. 22. Pour le moment, nous allons étudier les proprié- tés générales des systèmes où les droites de l'infini se correspondent. On a vu que les points de la figure ABC qui se trans- forment en paraboles dans la figure A'B'C sont situés sur une droite (jue nous avons appelée pour ce motif droite parabolique et dont l'équation est X Y Z XsinA' psinB' vsinC Dans les systèmes caractérisés par les conditions (21), ré(juaiion précédente devient .r sin A -I- YsinB I- Z sinC -r o, 34. ( 532 ) c'est à-dire que dans chacune des deux figures la droite parabolique n'est autre que la droite de l'infini. Ainsi, dans les systèmes où les droites de Tinfini se correspondent, ce sont les points de la droite de 1 infini de chaque figure qui se transforment en paraboles dans l'autre figure. Dans ces mêmes systèmes les points pris sur la droite de l'infini donnent dans l'autre figure des paraboles, c'est-à-dire des coniques dont les centres sont sur la droite de l'infini de celte seconde figure. Ainsi les droites de l'infini se correspondent également dans les deux figures homographiques signalées au n° 19, de façon que (les droites parallèles ont pour homographiques des droites parallèles. Mais une propriété plus remarquable des systèmes ca- ractérisés par les équations (21) consiste en ce fait que les figures homographiques signalées au n° 19 ont des aires proportionnelles. Pour démontrer ce fait, remontons à l'équation (i4)i savoir : 'Z Y R'( - sinB'-f- -sinC X' = X. Y Z XsinA' psinB' vsinC Puisque dans les systèmes actuels on a 1 sin A sin A' = ja sinB sinB' =: v sinC sinC, on peut poser \ sin A sin A' = 'j. sin B sin B' = v sin C sin C = K ; d'où l'on déduit XsinA = R ( 533 ) La valeur de X's'écrli donc -(? Y sinB' + - sinC - (XsinA+ YsinB + ZsinC) K. ou bien encore, en désignant par S l'aire du triangle ABC et par R le rayon du cercle circonscrit à ce triangle, , n\ -^ , K.RR /Z . „, Y . ^, 28 X = -— - -sinB'+ - sinC S \v p. Si, dans celle formule et les analogues, on remplace X, Y, Z, X', Y', Z' en fonction des coordonnées cartésiennes x, j , x', y', et si l'on résout deux de ces trois équations on x' cl j ', on obtient X ^ ax -f- by ->- c, y' = a X -r h' y -f- c . D'après la forme de ces deux relations, les aires corres- pondantes sont proportionnelles dans les figures liomo- graphiques, et le rapport des aires a pour valeur \ a b \ I a' b' I C'est ce que nous avons établi dans un autre travail ('). Au lieu de calculer la valeur de ce déterminant, il est plus simple de calculer en coordonnées trilalères le rap- port de deux triangles correspondants. Soil S l'aire d'un triangle quelconque dans la figure ABC, S' l'aire du triangle homograpliique dans la figure A'B'C. (*) Relation entre les volumes correspondants de certaines Jigurcs homographiqiies {Nouvelles annales de Mathématiques ; 1873). ( 534 ) On a la formule R' 2S^ X', Y', Z', x;, y; z; Remplaçant les coordonnées du second membre par leurs valeurs tirées de la formule (28) et des formules analogues, on a ou bien — sinC'-l- — sinB' — sinA'n ^sinC — î^sinB'n ^sinA' fj- V V y. j. 11. V 7 7 Y Y V" — sinC'H- — sinB' —sinA'n ?sinC' — 'sinB'n ^sinA' y- V V y. A /A -^sinC'-f-^''sinB' 1' sinA' -4- ^ sinC ^ siiiB' +^sinA' ~ 2S'S' sin A' sin B' sin C : 2 X, X, X, Y, Y, Y3 Z. Z, Z3 ^, _ R^R'RM sir A' sin B' sin C 2 S 0 V Vv R "' K^R^R" On a d'ailleurs .- I^ K K bUiAsinA' ' sin B sin B' sinCsinC on peut donc écrire R'R'- sin A sin B sin C sin A' sin B' sinC £ _ 1 S' Si S' =4S, les figures homograpliiques ont des aires équivalentes. ( 535 ) 23. Dans la figure ABC, un point M est défini par deux de ses coordonnées Y et Z. De même, dans la figure A'B'C, un point M'est défini par deux de ses coordonnées Y' et Z'. Cherchons les deux relations qui expriment que les points M et M' décrivent des courbes semblables. Soient 0'(Y',, Z'„ ) le point correspondant de A, O'R la direction qui correspond à AC, faisant un angle |3 avec A'C, h le rapport de similitude. Soient MAC = M'0'R— a et Ai\I=p; alors 0'M'=/ip. On a les équations Y=:psina, Z =; p sin( A — a), et aussi les suivantes : Y':=:Y',H-//psin(aH-p), Z' =Z; + /ipsin(A' — a— (5). Éliminant a et p entre ces quatre relations, on obtient (29) (Y'- Y'/, sinA = /iYsin(A-+-;3) 4-//Zsinfi, (30) (Z' — Z'„ sin A == //YsinfA'— A— p) + //Zsin{A'— fs). Ces formules expriment que les points M et M'déciivenl des courbes semblables. 2i. Si, dans les formules (29) et (3o),on poite les valeurs de Y' et Z' tirées des deux formules analogues à la formule (l4)^ et si, dans les deux formules nouvelles ainsi obtenues, on remplace X en fonction de Y et de Z, on a les deux idenlilés en Y et Z, qui expiiment que les deux figures homographiques du n" 19 sont semblables. Ces idenlilés se décomposent en équations, et ces équa- ( 5:i6 ) lions servent : i° à calculer Y'„. Z'„, (5, h; 2° à définir les systèmes où les figures homographiques en question sont semblables. Nous avons fait ce calcul. Sans être bien élégant, il n'a rien de trop pénible; mais il vaut mieux le simplifier [)ar des considérations géométriques. 25. Nous avons vu que, dans les systèmes où les droites de l'infini se correspondent par transformation du se- cond ordre, les droites parallèles de l'une des figures liomograpliiques correspondent à des droites parallèles de l'autre. La réciproque est vraie; car, si cette dernière condition est remplie, les droites de l'infini se corres- pondent dans les figures liomograpliiques; donc la droite parabolique de chaque figure est confondue avec la droite de l'infini de la même figure; donc on a 1 siiiA sin A'=r ^ sinB sinB' = v sinC sinC; donc enfin les droites de l'infini se correspondent dans la transformation du second ordre. Si, en particulier, on considère les systèmes où les ligures homographiques du n° J9 sont semblables, il est clair que les angles homologues sont égaux et qu'en particulier les angles nuls ont pour homologues des angles nuls; en d'autres termes, les lignes parallèles ont pour homologues des lignes parallèles. On est donc nécessai- rement dans un de ces systèmes où les droites de l'infini se correspondent par transformation du second ordre, systèmes caractérisés par les conditions \ sin A sin A' = p. sin B sin B' =: v sin C sin C C'est donc parmi ces derniers systèmes exclusivement ({u'il faut chercher des figures homographiques sem- blables. ( 537 ) On arrive d'ailleurs à celte conclusion en faisant le calcul indiqué au n" 24. 26. Mais il vaut mieux prendre cette conclusion comme point de départ, pour simplifier ce calcul. Cette simplification consiste en ceci, qu'au lieu de porter dans les formules (29) et (3o) les valeurs générales do Y' et Z' fournies parles formules analogues à la formule (i4)î on y portera les valeurs de Y' et Z' fournies par les for- mules analogues à la formule (28). D'après cette formule (28), on a _, KRR' /Z . , X . ^ Y'= -smA'H- — smC S \v ). ou bien, en remplaçant /. et v par leurs valeurs, „, RR'sinA'sinC ,„ . „ , ^ . ,. Y = ■ — (ZsinC -f- X smA). Dans cette formule, remplaçons X par sa valeur tirée de la relation générale g X sin A H- Y sin B H- Z sin C = -- ; nous aurons , . , . ^, RR'sinA'sinC' , . ^ Y' = R'sinA'sinC' YsmB. Enfin, remplaçant S par sa valeur en fonction de R, A,B,C, (3i) y'==R'sinA'sinC'-^îi^^'Y, 2R smAsuiC on a, par analogie, /o V „, ^, . , ■ ^, R' sinA'sinR',, 3a Z'=R' smA'sinB' ; .— — .- .. Z. ' / 2 R sm A snils Portant ces valeurs (3i) cl (32) dans les relations (29) ( 538 ) et (3o), et exprimant que celles-ci deviennent alors des identités en Y et Z, on obtient les six équations sui- vantes : X^R'sinA'sinC, Z', = R'sinA'sinB', sin p = o, sin(A'— A — p) — 0, , . , . „, R' sinA'sinC « sin A + S I = ; 5 ^ ^^' 2R sinC , . , ., „, R' sinA' sinB' h sin A — Ç>] = • ; • ^ ^' 2R sinB Ce système est facile à résoudre j il donne les résultats suivants : A' = A, B' = B, C =-:=G, h -- -—5 2R Y; = R'sinA'sinC', Z'„ — R'sinA'sinB'. Il semble que nous ayons ici une équation de plus ; mais il faut remarquer que les trois équations A'=A, B'=:B, C' = G ne sont pas distinctes. En résumé, pour que les figures liomographiques soient semblables, il faut et il suffit ; i° que les droites de l'in- fini se correspondent dans la transformation du second ordre ^ '2° que les deux triangles de référence soient sem- blables. Ces conditions étant remplies, on trouve les valeurs ( 539 ) de (3, h, \\ et Z'^,. Faisons quelques remarques sur ces valeurs. Le rapport de simililudo li n'est pas ciial à celui des triangles de référence, mais seulement à sa moitié. Pour avoir des figures liomograpliiques égales, il faudrait donc prendre R' = 2R. Cherchons la position du point O' ([ui correspond au point A. Les valeurs de X\ et Z'^, satisfont évidemment à la relation suivante : Y'^sinB' -^Z; sinC, ce qui prouve que le point O' est sur la médiane qui va du point A' au milieu du côlé IVC. Pour achever de déterminer le point O', calculons X',, par la lelation gé- nérale X'„ sinA' -i- y'„ sinB'-f- Z\ sinC = 2R' sin A' sinB' sinC Celte relation, combinée avec les valeurs de Y'^, et X'o, donne X'„ =- o. Ainsi le point O' est sur B'C; donc le point correspondant de A est le milieu de B'C. Par analogie, celui de B est le milieu de A'C et celui de C est le milieu de A'B'. Quand les deux triangles sont dans un même plan et qu'ils ont leurs côtés de même nom parallèles, les deux ligures sont homoihéliques, et le centre commun d'ho- moihétie se trouve sur les droites qui joignent les points correspondants. Par exemple, dans le procédé de M. Gohierre de Longchamps, les deux triangles sont confondus; au sommet A conespond le milieu de BC : donc le centre d'homoihétic est sur la médiane corres- pondante. 11 est de même sur les autres; donc il est au centre de gravité du triangle : c'est en ellét le résultat obtenu par M. Gohierre de Longchanqis. 27. Que Ton imagine maintenant un procédé quel- ( 54o ) conque de Iransforinalion. La première cliose à faire sera de le classer dans une des catégories que nous avons obtenues. Les lois de la transformation seront par là même connues avec précision. Prenons un exemple. Soit un angle '} ox. Une droite de la figure F coupe les côtés ox et oy en P et Q. On déplace P dans le sens ox d'une longueur PP'= a et Q dans le sens oy d'une longueur QQ'=3(3. On a ainsi la droite corres- pondante P'Q' de la figure F'. Pour passer de la figure F' à la figure F, on doit nécessairement déplacer de la même longueur et en sens inverse. On voit en passant que ce mode de transformation se prête aisément au calcul. Mettons au point O les lettres C et C Prenons OA' = a dans le sons ox, OA = a en sens inverse, 0B'= j3 dans le sens oy, et OB = [3 en sens inverse. Aux droites de la figure F, passant respectivement par A, B, C, correspondent dans la figure F' les droites B'C, A'C, A'B'. Liversement aux droites de la figure F', pas- sant par A', B', C, correspondent dans la figure F les droites BC, AC, AB. Par conséquent, ABC est le triangle de référence dans la figure F, et A'B'C dans la figure F'. Ces tiiangles sont égaux. D'ailleurs, il est évident que les droites de Tinfini se correspondent, ce qui prouve incidemment que les droites correspondantes coupent les côtés correspondants des triangles dans des rapports réciproques, chose facile à vérifier. Il est maintenant visible que, si un point décrit une courbe dans la figure ABC, le centre de la conique cor- respondante décrit dans la figure A'B'C une conique homothélique deux fois plus petite. Le centre d'homolliétie est le point de concours des droites obtenues en joignant le point A au milieu de B'C, le point B au milieu de A'C, le point C au milieu ( 5<îi ) de A'B'. Il esl visible que ce point de concouis est le sommet R du parallélogramme obtenu en menant par A' une parallèle à o/, et par B' une parallèle à ox. On volt fjue riiomoiliélic est directe, parce que les côtés de même nom des triangles de référence sont paral- lèles et de sens contraires. Tous ces résultats s'établissent sans peine, indépen- damment de nos tliéories générales. 11 n'y a qu'à consi- dérer la conique qui correspond à un point et à clierclier les tangentes de cette conique qui sont parallèles à ox et à oy. THÉORIE DES INDICES; Par iM. FAURE, Chef d'escadrons d'Anillerie. [suite (*).] Propriétés de trois surfaces qui passent par les mêmes points. 157. De la relation (i)' (148) nous déduisons ce théorème : Lorsque trois surfaces S, S', 4* ont la même inter- section, si l'on prend deux points e, e' conjugues à 0, le quotient -f^ des indices de ce sjstèine de points, par rapport aux deux autres S et S', est égal au paramètre ^ de la surface 4> . Nous aurons des corollaires de ce tliéoième en renj- (*) Nouvelles Annales, 2* série, t. XV, p. ibi , 292, 339, 'l^'. 81, 5ag, et t. XVI, p. 5, 160, 19 î, 2^19, 289, 5o8. ( 542 ) plaçant les indices par leurs valeurs. Désignons par a el b^ a' et b' les traces de la droite ee' sur les surfaces S et S' respectivement, par £o et £„, les demi-diamètres de ces surfaces parallèles à ee', on a (4(3) ea .c'b-\- eh . e' a ea' .e' h' -\- eh' . e' a' : -i ■ • —, = ? • -0 * 0 Si dans cette relation e est le centre de 4>, e' est à l'infini, de sorte que CCI + eh ca' + eh' 158. Si le point e' coïncide avec e, on a cet énoncé : Lorsque trois surfaces S, S', ^ ont la même inter- section, si Von prend sur la dernière un point e, le quotient -f des indices de ce point, par rapport aux deux autres S et S', est égal au paramètre ç de la sur- face 0. Remplaçons les indices par leurs valeurs. [a) Soient E, E' les plans polaires du point e par rapport aux surfaces S et S' 5 menons les diamètres oe, o' e de ces surfaces, lesquels coupent respectivement aux points p et p' les plans E et E'. D'après la définition, I = — ^ 1' = — ^ op " op' de sorte que op ' o' p' ' Ce résultat peut s'interpréter géométriquement. Menons la droite pp' qui vient couper en q la ligne des centres 00' . Le triangle eoo' ^ coupé par la transver- ( 543 sale pp' fj, doDiie ep .0 p .oq op . ep' . o' q d'où, à cause de la relation précédente, o'q - — • = ?> oq ce qui prouve que le point q est fixe. Si nous disons que les poijîts p^ p' sont les points i'écipro(/ues du point e par rapport aux surfaces S, S', on aura ce théorème : Lorsque trois surfaces du second degré ont en com- mun les mêmes points, si l'on prend les points réci- proques de chaque point de V une par rapport aux deux autres, la droite qui joindra ces deux points passera par un point Jixe. h) Par le point e menons une transversale u. cou- pant la surface S aux points a et Z», et une autre trans- versale u.' coupant la surface S' aux points a' et b' . Si f/o et f/'j sont les demi-diamètres de S et S' parallèles à ces transversales, ea.eb , en' .ch' "•o Pu par conséquent, ea.eb ea' .eh' (c) Soient/" un point pris sur la transversale u, g un point pris sur la transvi'rsale u', on peut écrire ou bien le, 1/ \-^ ea .cb rn'.eh' fa.fb- ga'.gb'-U] Le premier membre de cette relation sera constant si f 544 ) les indices I^, I', sont eux-mêmes constants. Or ly est constant si le point /est pris sur une surface concen- trique et homoihélique à S; I^ est constant si le point g est pris sur une surface concentrique et homoihétique à S'. On pourra donc prendre les points /et g où l'on voudra sur l'une et l'autre de ces surfaces respective- ment. Lorsque, en particulier, les points f et. g sont fixes, on obtient le théorème général 38G du Traité des sec- tions coniques de M. Chasles appliqué aux surfaces. On peut, de la relation établie plus haut, déduire plusieurs conséquences. Supposons, en premier lieu, que le point ^coïncide avec le point/^et que ce point/ soit pris sur une surface 4>' qui passe par les points communs aux surfaces S, S', ^5 le rapport -r est alors V égal au paramètre 'J de la surface <î>', et nous avons en. eh ea'.eh' . Si l'on prend pour S une sphère et pour S' les plans des sections circulaires suivant lesquelles la sphère est supposée couper la sphère 4>, cette relation montre que. quand une sphère S a un double contact avec une sur- face <î>, le carré de la tangente menée d'un point de 4> à la sphère et le produit des distances du même point aux j)lans des deux sections circulaires sont en raison constante. Supposons que la surface 4^ enveloppe la surface S et prenons pour S' le plan de contact. IMcnons un plan M parallèle aux sections circulaires de S 5 ce plan coupe *t> suivant une conique, S suivant un cercle ayant un double contact avec la conique, et le plan de contact sui- vant une droite £. Pour tout point e de la conique, on aura donc en = const. , [e,ej ea étant la tangente menée du point e au cercle, (e, î) la dislance du point e h la droite e. De là : Si une surjace ^ en enveloppe une autre S, tout plan cyclif/ue de S coupe 4> suivant une conique qui a pour cercle focal le cercle suivant lequel le plan coupe S, et si le plan touche la surface S en un ombilic, ce point sera le foyer de la conique. 159. On a vu (130) (ju'enlie les indices d'un point c pris par rap[)oil à trois surfaces S, S', S", ayant la Anit. de ]ltiihciiiiii.,i'iiiii''n< , l. XVI. (Décembre ii^77-) ^5 ( 5^6 ) même courbe cl'intersecliori, il existait la relation Par le point e menons une transversale rencontrant nos trois surfaces aux points a et Z>, a' et h\ a" et b". et appelons £„, z\, z[ leurs demi-diamètres parallèles à Ja transversale, on aura ea".cb" ^ ea.eb , ra' .eb' ::t— — \ —. h V — - 5 et, si le point e est à l'infini, I _ > y 'o 'o 'o Ainsi, lorsque trois surfaces ont les mêmes points fV intersection , si Von mène dans chacune déciles un diamètre parallèle à une direction arbitraire, il existera une relation linéaire entre les carrés des valeurs in- verses de ces trois diamètres. Si celte direction arbitraire est parallèle à l'une des génératrices du cône asymptote de la surface S", le dia- mètre e" est infini, de sorte cpe la relation ci-dessus donne -,- =:= const. Par conséquent, lorsque trois surfaces S, S', S" ont la même courbe d^ intersection, si par les centres des deux premières S et S', on mène des cônes parallèles au cône asymptote de la troisième S", ces cônes couperont les surfaces S et S' suivant des courbes homothctiques. Au lieu du cône asymptote de S", on peut prendre i'uu de ceux que l'on peut mener par l'intersection SS'. ( 547 ) Propriétés de cinq surfaces inscrites à la même développable. 160. Lors({uc le point e' coïncide avec le point c. la relation [{'^)' 14i] devient en posant M -'■Tû-^hl A Ia I x^ r, A i^A de sorte que, si l'on désigne par ç-,, Œj, 93 les paianiètres des trois surfaces inscrites à la développable (SS') qui passent par le point ^, Par conséquent, siVon inscrilà la déi-'eloppahle (SS') trois surfaces, le rapport -f des indices d' un des points d intersection de ces dernières par rapport aux sur- faces S et S' est constant pour les huit points d' inter- section. On peut dire encore, d'après (158) : Lorsque cinq surfaces sont inscrites à la même développahle, les huit points d' intersection de trois d'entre elles et la courbe d'inic/seclion des deux autres appartiennent à une même sur j ace. De ce tiiéorème on peut déduire plusieuis coiollaiics : i" Si l'on prend pour lune des surfaces une face du léltaèdro âulopolaiie, on voit que, lorsque quatre sur- faces sont inscrites à la manie développable par las 35. ( 548 ) points d'intersection de trois d'entre elles, on peut méfier quatre surfaces circonscrites à la quatrième : les j)lans de contact coïncident avec les faces du tétraèdre autopolaire aux surfaces données. 2** Si deux des surfaces coïncident avec deux des faces du tétraèdre aulopolaire, trois surfaces étant inscrites à la même développahle, par l'intersection de deux d'entre elles, on peut mener six surfaces ayant un double contact avec la troisième : les cordes de contact sont les arêtes du tétraèdre autopolaire aux surfaces données. 3° Si trois surfaces coïncident avec trois des faces du tétraèdre aulopolaire, on en conclut que, deux surf aces étant données, les sonunets des cônes que l'on peut mener par leur intersection sont les sommets du té- traèdre autopolaire aux sw faces données. 4° Lors(|ue deux des surfaces coïncident avec deux des faces du tétraèdre autopolaire, on peut encore en conclure que, quand trois surfaces sont inscrites à la même développable, leurs huit points d' intersection sont les sommets d' un hexaèdre dont les faces op- posées et les plans diagonaux se coupent deux à deux suivant les arêtes du tétraèdre autopolaire, d'où il résulte aussi que les arêtes de cet hexaèdre vont se couper quatre à quatre aux sommets du tétraèdre. Interprétation géométrique des coejjicients M et M'. 161. Dans réquation^(160), la somme des paramètres des surfaces inscrites à la développable (SS'), et qui passent au point e, est donnée par la lelalion M Vi + Vi + ^3 = rr • ■■e Soient F, G, H les plans tangents menés à ces surfaces ( 549 ) par le point e, 7' Ig 'G l'équation M = o étant satisfaite en posant t = o, or^^ nous voj^ons que la surface M passe par la courbe de contact de S' avec la développable (SS'). La surface M' passe aussi par la courbe de contact de cette dévelop- pable avec S. Si Ton observe que — r.'-V,=:^ ^ \ ■ , on pourra -^ l.v écrire M sous la forme ."M y^'^^^' -+- l'c I'd '^ I'a on aurait de même — ^-2^t^' H- l'c i'd le 1d Ces divers résultats donnent ce lliéorème : Deux sur- faces S et S' étant données, si du point e on peut mener trois plans tangents à S déterminant un triedre conjugué à S', on pourra aussi de ce point mener tivis tangentes à S' déterminant un trièdre conjugué à S. Le lieu du point e qui satisfait à cette condition est une surface M conjuguée au tétraèdre autopolaire des sur- faces S et S', et qui passe par la courbe de contact de S' avec la développable circonscrite aux surfaces S et S'. Remarque. — Lorsque ^ r == o, la surface M coïn- cide avec la polaire réciproque de S par lapport à S'. D'après la relation (c) du n° 68, la condition ^ r^ :::^ o siguific quc la surface S est inscrite à un tétraèdre conjugué à la surface S'. On a donc ce tliéo- (55i ) rème : On donne deux surfaces S et S' telles que la pr'emière S soit inscrite à un tétraèdre conjugué à S', et l'on prend la polaire réciproque M de S par rapport À S' 5 d^ un point quelconque e de cette polaire on peut mener trois plans tangents à S déterminant un trièdre conjugué à S', et par ce même point on peut mener trois tangentes à S' déterminant un trièdre conjugué à S. Ce théorème a plusieurs corollaires. Par exemple, si S est un paraboloïde, nous voyons que, quand un paraholoïde S est inscrit à un tétraèdre conjugué à une surface S', par le centre de S', on pourra mener à S trois plans tangents qui seront conjugués à S', et à S' trois tangentes délernnnant un trièdre conjugué à S. Propriétés de cinq surfaces passant par les mêmes points. 162. Lorsque le plan E' coïncide avec le plan E, la relation (3') du n° 148 devient 0=r:lj. — lll'o-\-mY 1e?'% en posant («,E)=i;, de sorte que, si l'on désigne par o, , cp.,, (ps les paramètres des trois surfaces du svstème qui touchent le plan E, I.. Par conséquent : si jiar V intersection des deux sur- faces S et S' on trace trois surfaces, le rapport -,- des 1e ( 552 ) indices (Van plan E tangent à ces trois surfaces, par rapport à S, et S' aura la même valeur pour les huit plans tangents. On peut dire encore, d'après (156) : Lorsque cinq surfaces ont les mêmes points d^ intersection, les huit plans tangents communs à trois d^entre elles et la développahle circonscrite aux deux autres touchent une même surface. De ce tliéorème il sera aisé de déduire les proposi- tions corrélatives de celles du n° 160. Interprétation géométrique des coefficients m et m'. 163. La somme des paramètres des surfaces qui pas- sent par l'intersection SS' et qui touchent le plan E est donnée ( 162) par la relation m '?i -f- 0^2 -)- 'f3 = -r • Soienty, g^ h les points de contact de ces trois sur- faces avec le plan E, nous avons de sorte que Nous savons (154) que les trois points/, g^ A déter- minent un triangle conjugué à toutes les surfaces me- nées par l'intersection SS' et en particulier à la sur- face S'. Or il résulte de la relation (68, h) que, si dans un plan fixe E on prend trois points/", g^ h conjugués à la surface S', la somme '/■ h 1'. h 1/i m ( 553 ) esl constante, quels que soient ces trois points; donc, lorsque cette, somme sera nulle, on pourra, sur V inter- section de la surface S jyar le plan E, prendre trois points f^ g, h délerniinant un triangle conjugué à S'. Désignons pare, o, ^ les côtés du triangle/^'//, la re- lation précédente pourra s'écrire \[ 1- l!i m — -(- -i + -•-==— , I, J, L, 1e car, si £ est le côté opposé au sommet f de ce triangle, on a (85, 2°) iyL = (/,£)'iE, i>i; = (/;£)Me, et l'on a deux autres relations analogues. D'après le n° 69, si dans un plan fixe E on trace un triangle ef^ conjugué à S, la somme il t l'i _L 4- .1 -f. _.< i. I. h est constante, quels que soient les côtés de ce triangle. Si donc cette somme est nulle, on pourra, dans le plan E, circonscrire à S' un triangle conjugué à S. Remarquons que o = >> - ' — est 1 équation par plans de la polaire réciproque de S par rapport à S' (113)5 ^^■) l'équaiion ni = o étant satisfaite en posant l. = o, 2-7^' 'Il nous voyons que la surface m touche les plans tangents communs à cette polaire et à la surface S'; il suit de là (|ue la surface m touche tous les plans tangents de S' menés aux points d'intersection des surfaces S et S'. Si l'on observe que ( 554 ) on pourra écrire m sous la forme Ces divers résultats donnent ce théorème : Deux sur- faces S et S' étant données, si dans un plan E on peiU inscrire à S u/j triangle conjugué à S', on pourra aussi dans ce même plan circonscrire à S' un triangle con- jugué à S. Les plans qui satisfont à cette condition en- veloppent une surface m conjuguée au tétraèdre auto- polaire des surfaces S et S', et qui touche les plans tangents de S' menés aux points d'intersection des surfaces S et S'. L'équation m' z= o donne lieu à un lliéorènie ana- logue. Remarque. — Lorsque 7 -r = o, la surface /// coïn- cide avec la polaire réciproque de S par rapport à S'. D'après la relation [h) du n° 68, la condition ^^ -°- =: o a signifie que la surface S est circonscrite à uu tétraèdre conjugué à S'. On a donc ce théorème : On donne deux surfaces S et S' telles, que la première S soit circonscrite à un tétraèdre conjugué « S', et l'on prend la polaire réciproque m de S par rapport àS''^ tout plan tangent à cette polaire coupe la surface S suivant une coniipie à laquelle on peut inscrire un triangle conjugué à S', et il coupe S' snii'cmt une conique à laquelle on peut cir- conscrire un triangle conjugué à S. Propriétés de quatre surfaces inscrites à la même développahle. 164. Lorsque la droite s' coïncide avec e, la rela- ( 555 ) lion (2)' (1 44) devient O = — 4- ?2^ ^777' ~"=F^ "^ '7^' I /' ' i sin CD de sorte que, si l'on désigne par Çi et par Oj les para- mètres des deux surfaces du système qui touchent la droite e, _ ^" ^'- ?i ?- ^ "7" 5 ^ 1, d'où ce tliéorème : Quatre surfaces étant inscrites à la même dév'eloppahlc, si Von mène une tangente com- mune e à deux d'entre elles ^i et ^,, le quotient -^ des indices de cette droite par rapport aux deux autres S et S' est constant, quelle que soit cette tangente. Eu remplaçant les indices par leurs valeurs, nous ob- tiendrons des énoncés dilTérents de ce théorème. (a) Si Ton désigne par a et Z>, a' et b' les points d'in- tersection de la droite £ avec les surfaces S et S', par £0 et t\ les demi-diamètres de ces surfaces parallèles à c, on a (49) âb' . VT/ 1^ = — 7— i' I. = — 7-77 = par conséquent, pour toute droite £ qui touche les deux surfaces, ah n'h' — : - ,-7- = const . [h] Si l'on mène les plans tangents aux points a et a' des surfaces S et S', et par les centres o et o' des pa- rallèles op, o' p' à la droite £, lesquelles rencontrent en p et p' les plans tangents, on a (49) op o' p' ( 556 ) Je sorte que op —r—, =const. Par conséquent : Quatre surfaces étant inscrites à la même dé^'eloppahle, si Ton mène une tangente com- mune z à deux d'entre elles, et que l'on désigne par a et d Vun des points oii cette droite rencontre les deux autres surfaces S et S', en menant les plans tangents en ces points, lesquels rencontrent en p et p les dia- mètres des surfaces S et S' parallèles à £, la droite pp' passera par un point fixe. (c) Par la tangente £ menons un plan tangent A à S, et soit a le point de contact ; par la même droite menons un plan tangent A' à S', et soit rt' son point de contact. Si l'on désigne par Ao, A'„ le produit des demi-axes des sections faites dans les deux surfaces par des plans dia- métraux parallèles aux plans qui touchent respective- ment ces surfaces, nous avons (50) de sorte que, pour toute tangente e, =z const. =: X. 16o. Désignons par y la droite au' qui joint les points de contact, on a («, s) sin 7 A' («', c) sin 7 A et la relation ci-dessus devient A'jSinyA'^ ' Au sin 7 A ( 557) Mais, d'après la dernière expression du n° 49, on a sin^'/A , sin 7 A' d'où résulte, par rélimiiialion de sinyA et sin -/A', ]., (o,AJ-'A^ T.' Cette égalité montre que le rapport des indices de la droite y par rapport aux surfaces S et S' est constant*, d'où ce théorème : Quatre surfaces étant inscrites à la même développahle, si par une tangente commune z à deux d'entre elles on mène des plans tangents aux deux autres S et S', les droites qui joindront les points de contact de la surface S aux points de contact de la surface S' toucheront deux surfaces inscrites à la même développahle. Interprétation géométrique du coefficient L. 166. Désignons par G et II les plans tangents menés par la droite e aux deux surfaces inscrites à la dévelop- pable (SS') qui touchent celte droite e, ?| Nous aurons, en appelant L le coefficient de oj dans l'équation (164), lo ^ I|l ■^" r l'<; , I'm ^ ^' T -; — 1 — r = — -. ^1 T '^ T — '■,*-•• li; lu TT- h. JU - - Nous savons (lo3) (|ue les plans G et 11 sont con- jugués à toutes les surfaces inscrites à la développable. Or il résulte' du théorème (68, c) que, si par une droite fixe e on mène deux plans G et M conjugués à S', la le. In 1g 1.1 ( 558 ) somme -r -i — r est constante, et que si ces plans sont conjugués à S, la somme —^ H — - est aussi constante, quels que soient les plans conjugués G et II. Il suit de là que, si ces sommes sont nulles, on pourra par la droite î mener à S deux plans tangents qui seront conjugués à S', et mener à S' deux plans tangents qui seront conjugués à S. Ainsi r équation L = o rt-présenlele complexe des droites telles que les plans tangents menés par chacune d'elles aux surfaces S et S' forment un faisceau har- monique. Les droites du complexe sont donc caractérisées par cette propriété: si par l'une d'elles on mène deux plans conjugués soit à S, soit à S', la somme des paramètres des surfaces du système qui touchent ces plans est nulle. Par conséquent, pour avoir des droites du complexe, il suffira de construire les deux surfaces du système, de pa- ramètres cp et — o, ^=: o, '?; le— '^I(; II,— Oly et de mener à ces surfaces des tangentes communes; en donnant à cp toutes les valeurs possibles, on aura toutes les droites du complexe. En éliminant o entre ces deux équations, on trouve que le lieu des intersections des deux surfaces (©) et ' — o) est donné par la surface du quatrième degré M . M' = h\\, . Celle surface joue un rôle important dans l'élude de ce complexe; son équation peut se mettre sous ces deux Il est aisé de le vérifier; mais on y esl conduit par la considération suivante. Soit /" un point de l'intersection des surfaces ((p) et ( — l2, ^3 inscrites à la développable (SS'). On peut, d'une infinité de ma- nières, tracer des trièdres conjugués à S dont les faces A, B, C touchent respectivement les surfaces 4>j, ^P^^ *î>3. Prenons le plan polaire D du sommet de ces trièdres, par rapport à S*, nous formons ainsi des tétraèdies ABCD conjugués à S, et nous savons qu'alors (68) ^ 7^ = consl. Or, si (j>,, ÇP2, Ç3 sont les paramètres des surfaces Oj, ^2, *3, on a Ia— ?i1a=0' h— ?2Ï'ti=o, le— 2, 3, les pians tangents de ces sur- faces au point e forment (lo3) un trièdre conjugué à Sj donc le plan polaire de ce point e, par rapport à S, lou- chera ^^. De là ce théorème : Quatre suijxices S, <î>i, ^,, ^3 étant inscrites à la vidnie dêueîoppahlc, si les faces A, 13, C d'un trièdre coiijuiiué à S touclient respectivement les surfaces 4>,, ^, i, <î>2i ^3 étant inscrites à la même déueloppahle, si les faces A, B, C d\in tiièdre conjugué à S touchent respectivement les surfaces ^^^ 4>2, ^3, le sommet de ce trièdre décrira une surface 2 du second de^ré, qui passera par les points d'intersec- tion des surfaces <î>i, $,, ^3 et par la courbe de contact de la surface S a<^'ec la déi^eloppable. Cette surface S est d'ailleurs conjuguée au tétraèdre autopolaire des surfaces données. Corollaires. — i'' Lorsque quatre surfaces S, 4>i, 4>2, <î*3 sojit inscrites à la même développahle, on peut faire passer une surface E par les points d' intersection de trois d' entre elles et la courbe de contact de la qua- trième avec la développable. 2° On prend pour S une conique. Etant données trois surfaces 4>j, ^a-. ^i et une conique S inscrites à la même développable, si V on mène trois plans touchant respectivement ces surfaces, de manière que leurs traces sur le plan de la conique forment un triangle conjugué à cette conique^ le point d^ intersection de ces plans dé- crira une surface E qui passer'a par la conique S et les huit points d'inter'section des surfaces données. Si, dans ce corollaire, on prend pour S le cercle ima- ginaire de l'infini, les surfaces sont homofocaies, et nous voyo)îs que le lieu du sommet des trièdi'es trir'ectajigles, dont les faces touchent respectivement trois homofocaies données, est une sphère concentrique aux homofocaies et qui passe jrar leurs huit points d'inter'section. [A suivre.) ( 563 ) BIRLIOGRAPHIE. Questions d'Algèbre élémentaire 5 méthodes et solu- tions, avec un exposé des principales théories et un grand nombre d'exercices proposés, à l'usage des can- didats aux écoles et des élèves des différentes classes de Mathématiques, particulièrement de la classe de Ma- thématiques élémentaires, par A. Deshoves, agrégé et docteur es sciences, professeur au lycée Fontanes. •x'^ édition, entièrement refondue et augmentée^ in-8. Il est sans doute inutile de prévenir le lecteur que, dans cette nouvelle édition comme dans celles des Questions de Gf'omctiic et de Tiigononiétric, le texte a été revu avec le plus grand soin, et que plusieurs démonstrations de théorèmes ou solutions de problèmes ont été simplifiées. J'aj)pellerai seule- ment l'attention sur les questions nouvellement traitées. On trouve d'abord (Ex. II, p. aSi) un théorème nouveau sur le quadrilatère, démontré, d'une manière intuitive, à l'aide d'une identité qui n'avait pas encore élé remarquée, du moins à ma connaissance. Quelques théorèmes sur les évaluations de volumes par sommations sont ensuite démontrés (p. 254 ^^ suivantes), d'une manière très-simple, en s'appuyant sur une j)roposition peut-être nouvelle (Th. II, p. 253). Parmi ces théorèmes, il faut signaler celui qui est relatif à l'évaluation de segments faits dans des ellipsoïdes, hyperboloïdes ou paraboloides de révolution (Kx.III, p. 255). J'avais été heureux de le trouver, parce qu'il me permettait de donner, comme exercices, les théorèmes d'Archimède sur les conoïdes, qui n'en sont que de simples corollaires. Maisje l'ai rencontré depuis dans l'introduc- tion du Traité de Maclaurin sur \es fluxions, et la désagréable d(!ception d'avoir été devancé a été plus que compensée, pour moi, par la satisfaction d'avoir eu la même idée qu'un géo- mètre aussi distingué que iSIaclaurin. On voudra bien encore remarquer (p. 325) une nouvelle démonstration, au moyen des imaginaires, de ce théorème : Le produit de deux nombres, (jui sont, chacun, ta somme de quatre carrés, est lui-mvme la somme de quatre carrés. JMais la partie nouvelle la plus inqiortarite est une étude ap- profondie sur le triangle arithmétique de Pascal. J'ai d'abord donné les principales propriétés de ce triangle avec les di - ( 564 ) monstrations de Pascal lui-même, mais en simplifiant l'expo- sition par l'emploi des notations modernes. J'ai ensuite montré comment, à l'aide du triangle de Pascal, on faisait, pour ainsi dire, descendre en Arithmétique certaines questions que l'on ne résout ordinairement qu'en faisant intervenir l'Algèbre supérieure, voire même les Calculs différentiel et intégral. Il m'a semblé qu'on ne pouvait faire connaître trop tôt aux élèves une ingénieuse invention, ?,\ française par son élégance et sa simplicité, comme le théorème de Slurm et la théorie des couples de Poinsot, Ce n'est pas seulement Archimède et Pascal, mais aussi Des- cartes et Fermât que j'ai fait intervenir dans cette nouvelle édition. Dans le Chapitre VII de la deuxième Partie, dont l'objet est la mise en équation des problèmes de Géométrie, et que j'au- rais pu intitider, à la manière anglaise. Descartes et Newton, je prends pour guides ces deux géomètres. Le Chapitre est terminé par la solution d'un problème de Géométrie, telle que Descartes l'a indiquée dans deux lettres adressées à la princesse palatine Elisabeth. Parmi ks Exercices du Chapitre VI, on donne, d'après Des- cartes, la solution de cette question '.faire disparaître tous les radicaux d'une équation du second degré qui nen contient que cinq : déjà la même question avait été traitée (p. 80) parla méthode des multiplications successives, mais sans développer les calculs. Il est curieux de voir Descartes remarquer que cette dernière méthode est applicable, quel que soit le nombre des radicaux du second degré, lorsque, moins avancés que lui sur ce point, des auteurs de certains Traités d'Algèbre pré- tendent encore le contraire aujourd'hui. Dans leur correspondance, Descartes, Frénicle et Fermât s'occupaient avec un vif intérêt des questions que ce dernier géomètre appelle nliquotaires, et (jue l'on a depuis laissées de côté, je ne sais pour quelle raison. On trouvera, parmi les Exercices du dernier Chapitre, un certain nombre de pro- blèmes qui se rapportent à ce sujet, et qui rappelleront peut- être l'attention sur un genre de questions aujourd'hui ou- blié (*). A. Desboves. (*) J'ai eu l'occasion de relire récemment les œuvres mathématiques de Descartes, Fermât et Pascal, à propos de la composition d'un ou- vrage actuellement sous presse, qui a pour titre : Etude sur Pascal et les géomètres contemporains. ( 565 ) TABLE DES MATIÈIIES PAR ORDRE MÉTDODIQIIE. (TOME XVI, 2*' SÉRIE.) Aritbinéliqne. Pages. Sur les chiffres qui terminent les puissances des nombres entiers; par M. D. André 870 Algèbre. Sur les sommes des puissances semblables des nombres entiers; par ^\. E. Lucas 18 Sur l'élimination ; par 31. E. Rouché io5 co Note sur les vraies valeurs des expressions de la forme — ; par oc M. r. Rouquet 1 1 3 Sur les théorèmes de Binet et de Staudt concernant les nombres de RernouUi; par M. E. Lucas i57 Concours d'admission à l'École spéciale militaire en 1876; par M. O. Desi^ardins lS4 Questions proposées au Concours d'admissibilité à l'École Poly- technique en 1S76; par I\I. Moret-Blanc 264 Formation d'un cube entier qui soit égal à la somme de quatre cubes entiers ; par M. E. Rebout 272 Questions proposées par M. S. Realis ; solutions par M. C . Moreau. 3i5 Question proposée par M. Bourguet; solution par M. A. Muffat. . . 3i8 Sur l'impossibilité de résoudre en nombres entiers l'équation X* =zy''-\- 17 ; par M. Gerono ... 325 Sur une application des déterminants; par M. F. Jamet 872 Snr la résolution du système des équations iv* — m' =; «v' et 2 i»'-)- «' = 3 s* en nombres entiers ; par M. E. Lucas 4^9 Sur une question proposée par M. Rourguet; par M. Catalan. . . f\iQ Note au sujet de la morne question ; par M. Cli. Brisse 4''^ Trigonomélrie. Sur les débuts de la Trigonométrie; par M. Ch- Brisse . . 49 ( 566 ) Géométrie élémentaire. Pages. Concours d'admission à l'École spéciale militaire en 1876; par M. Terrier i83 Géométrie supérienre. Nouveaux théorèmes de Géométrie projective; par M. y/. Righi. ... 241 Géométrie à deux dimensioiis. Concours d'admission à l'École Centrale en 187G (i''" session); par M. /. Freson 180 Concours d'admission à l'École Normale supérieure en 1876; par M. Moret-Blanc 218 Concours d'admission à l'École Centrale en 1876 (2° session); par M. Moret-Blanc 224 Solutions des questions proposées par M. Kourguct; par M. Lez.. 260 Question proposée au Concours d'admission à l'École Polytech- nique en 1876 ; par M. Moret-Blanc 266 Mémoire sur les transformations du second ordre dans les ligures \)\vine&; \)-àr M. E. Amigues I\i2. l\^i, !\i^Çi ci 029 Géométrie à trois dimensions. Théorie des indices; par M. Faure. 5, iGo, igS, 249, 289, 5G7, 5o8 et 541 Questions proposées au Concours d'admissibilité à l'École Poly- technique en 1876 ; par M. Moret-Blanc 264 Démonstration analytique de quelques propriétés générales des surfaces du second ordre ; par M. F. Hioux 3o3 Mécanique. Solution élémentaire du problème général des brachistochroncs; par M . H. Resal 97 Sur un problème de Mécanique rationnelle; par M. Pli. Gilbert. . . i52 Question de licence; faculté de Paris (1872); par M. Bourguet 258 Problème de Mécanique rationnelle; solution modifiée par M. V. Hioux 12 Sur le centre de gravité d'un polygone; par M. J. Laisant 4°? ( -^^7 ) Calcul différentiel et inlégrai. rages. Note sur un théorème fondamental dans la théorie des courbes ; par M . H. Laurent 26 Sur une méthode de variation des paramètres dans les intégrales indéfinies ; par M. Andreiewshy 61 Théorie élémentaire des fonctions elliptiques; par M. //. Lau- rent 78, 211, 361, 385, 433 et 4^' Sur quelques cas de séparation des variables dans l'équation ^\dx -f- N- = 0 ; par M. C. Harkema 2i5 Génération de certaines surfaces par leurs lignes de courbure; par M. E. Amigues 33^ MélaDges. Compositions écrites données à l'École Centrale en 1876 (2° session). 28 Compte rendu des Questions de Trigonométrie rectiligne de M. A . Desboves 3o Concours général de iS^fi 7J Notice sur la vie et les travau.ï de Victor-Amédée Le Besgue ; par M. J. Houël 116 Programme du Prix Bressa (Académie des Sciences de Turin). . . . 129 Compte rendu des Eléments de Géométrie descriptive de F. 1. C. ; par M. J.-P.~A. Bergeron 1 32 Bibliographie ; par M. J.-P.-A. Bergeron 1 3ti Publications récentes 137, 187, 228, 278, 32i, !\2b, 427 et !\%o Sur un nouvel exemple de la réduction des démonstrations à leur forme la plus simple et la plus directe; par M. L. Lalanne i/p Compte rendu de la seconde Partie du Cours de Mécanique appli- quée aux machines, de Poncelet; par M. Ch. de Comberousse.. . . 177 Compte rendu de la Théorie hugodécimalc de M. le comte X. Hugo ; par M. Gerono 278 Compte rendu du Traité de Sténométrie de M. J.-P.-A. Bergeron. 280 Concours d'admission à l'École spéciale militaire en 1877 3i9 Compte rendu du Traité d'Algèbre élémentaire de M. H. SignoL. 322 Rectifications 33(), 36o et 4^2 Compositions écrites données à l'École Polytechnique en 1877.. . . i'^ Avis l\i^ Concours d'Agrégation dos Sciences malhémaliques en iS/Ti 4^9 Concours d'Agrégation des Sciences malhémaliques en 1S76 l\-j2. Compte rendu des Questions proposées sur les Éléments de Géomé- trie de P.-t . Compagnon 52 1 Compte rendu des Questions d'Algèbre élémentaire de M. A. Des- boves 5fi3 ( 568 ) Correspondance. Pages. Extrait d'une lettre de M. Moret-Blanc 32 Extrait d'une lettre de M. Bourgiiet i85 Extrait d'une lettre de M. Pou jade i85 Lettre de M. Desboves à M. Brisse 226 Lettre de M. Lagout 273 Extrait d'une lettre de M. Desboves 278 Correspondance 325 et 4^5 Encore la Tachymétrie ; par M. Casimir Rej 873 Extrait d'une lettre de M. Laisant 376 Extrait d'une lettre de M. Toubin 377 Questions proposées. Questions 1218 à 1220 48 Questions 1221 à 1223 i/)4 Questions 1224 à 1228 191 Questions 1229 à 1234 aSg Questions 1235 à 1242 286 Questions 1243 à 1248 336 Questions 1249 à 1251 384 Questions 1252 à 1254 432 Questions résolues. Question 18 ; par M. H. Brocard 1 4^ Question 21; par M. //^. ^/ocari/ 188 Question 291 ; par M. H. Brocard 190 Question 454 ; par M. C. Moreaii 382 Question 580 ; par M. //. Brocard 477 Question 1062 ; par M. Escary 281 Question 1159; par M. G. Beauvais 33 Question 1 163 ; par M. A. Pellissier 37 Question 1 164; par M. A. Pellissier 87 Question 1177; par M. Gerono 23o Question 1180; par M. E. Lucas 4^9 Question 1184; par M. Pracas 4^ Question 1210 ; par M. Ch. Brunot 523 Question 1217; par M. if. W. Genèse 4^ Question 1220 ; par M. Â. Laisant 234 Question 1221 ; par M. V. Jamet 235 ( 569 ) Pages. Question 1222 ; par M. A. Bertrand 283 Question 1223 ; par M. V. Jamet 236 Même question ; par M. H. Dessoudeix 338 Question 1224; par M. 3/orE 428 KR.\.NTZ (H.-J.), capitaine d'artillerie néerlandaise, à Bréda 235 KRETZ (X.), ingénieur en chef des Manufactures de l'État. 177 et 179 KU.'^IMER 36o LACROIX (S. -F.) 126 et 425 LAGOUT, ingénieur des Ponts et Chaussées 228, 273, 274, 276, 277 et 876 LAGRAJVGE 1 87 et 282 LAGUERRE, examinateur d'admission à l'École Polytechnique.... 240 LAISANT (C -A.), député de la Loire-Inférieure iSg, 191, 234, 326, 376 et 407 LALANNE (L.), inspecteur général des Ponts et Chaussées i45 LAMBIOTTE (Georges), élève de l'École des Mines de Liège.. 182 224, 226, 285 et 333 LAMÉ 1 45, 34 1 , 477 et 478 LAPIERRE (J.); élève du lycée de Bordeaux 527 LAUNOY (B.), maître répétiteur au lycée de Lille 325 et 480 LAURENT 119 LAURENT (commandant) 36 1 LAURENT (IL), répétiteur il l'École Polytechnique.. 2(1, 7S, au 36i, 385, 432, 433 et 48i LAUVERNAY (E.), professeur au lycée d'Amiens f\76 LE BE.SGUE(V.-A.) iif), 117, 118, 119, lo], i25, 12G et 128 LECOINTE DE LAVEAU (G.) 120 ( 574 ) Pages. LEGENDRE 79, 128, 126, aSa, 233, 282, 325, 3g3, 899, /joo, 401 et 433 LEJEUNE-DIRICHLET (G.) 122 et 124 LÉONARD DE PISE 128 et 480 LÉVY (Maurice), répétiteur à l'École Polytechnique i52 LEXELL 126 LEZ (H.) 228, 239, 260, 278, 285, 333, 335 et 527 LIBRI , i38 LIOUVILLE (J.), membre de l'Institut. 67, 69, 72, 121, 122, 124, 128, 367 et SgS L0NGCHAMP8 (G. de) 5o5, 53i et 539 LUCAS (Edouard), professeur au lycée Charlemagne 18, 157, 325, 336, 38|, 409, 429 et /fSo MACLAURIN' 278, 36i et 563 MAGNUS 422 MANNHEIM (A.), professeur à l'École Polytechnique 286 MARMONTEL 38o et 38i MARSANO (G.-B.), professeur à l'Université et à l'Institut tech- nique de Gênes 4^o MATHIEU (J.-J.-A.), chef d'escadrons d'Artillerie 288 et /pS MÉRY i52 MEUNIER 354 MlNOZZl (A.), à Naples 48 et 429 MOIVRE 22, 3 1 , 425 et 469 MOLK (Jules), élève de l'École Polytechnique de Zurich 324 MONGE i5i et 336 MOREAU (G. ), capitaine d'Artillerie 187, 3i5 et 382 MOREAU (Ra-ïmosd), élève du lycée de Châteauroux 334 MOREL (Auguste) 286 MORET-BLANC, professeur au lycée du Havre. Sa, 48, 182, 218, 224, 235, 264 266, 278, 286, 3 18, 326, 333, 33^, 480, 627 et 528 MOUREY 81 MOUTARD (Th.), examinateur de sortie à l'École Polytechnique. 4^5 MUFFAT (A.), élève du lycée de Lyon 3i8, 334, 416 et 417 NARINO (Joseph), élève du lycée de Marseille 824 NAVIER 178 NAZZANI (Ildecuando), professeur à l'Ecole supérieure des Mines de Palerme 322 NEPER 390 NEVEU 280 NEWTON 125, 379, 469, 5o5 et 564 NIEWENGLOWSKI 22S OSTROGRADSKY 119 PAGET 274 PAINVIN (L.) 42 et 479 ( 5:5 ) Page*. PAOUS (R. DE) 429 PARA (Nima), élève du lycée de Bordeaux 5-^7 PASCAL 3 1, 563 et 564 PEIGNÉ (capitaine) 281 PELLET (E.), professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Tours i4'( et 236 PELLISSIER (A.), capitaine d'Artillerie 37 PEF.OUZE 280 PICAT (Henri), élève du lycée de Grenoble 285 et 334 PICART ( Henri ), élève du lycée de Grenoble 278 PlSAiNl (Ferdimando), professeur à l'Institut technique de Gir- genti 236, 239, 278, 285, 286, 32i, 33i, 333, .',80 et 528 POl.NSOT i5i et 564 POISSON 117 et 146 POLIGXAC (A. DE) 118 PONCELET (J..-VO i52, 177, 178, 179, iSo et 5o8 POl JADE, professeur au lycée d'Amiens i85 et 335 PRAVAZ, professeur au collège de Tulle 42 PROLHET 126 PUISEIX, membre de l'Institut 365 et 367 QLETELET i5i RAXKINE i5i RÉALIS (S.), ingénieur U Turin 48, 287, 288, 3i5, 384 et 425 REBOUT (Elcèse) 272 RESAL 'H.), membre de l'Institut 97 et 4^6 REY (Casimir) 228, 273, 274, 275 et 373 RICHELOT I !9 RIGHI (Acgl'Ste), professeur à l'Institut technique royal de Bo- logne 2jl ROBERTS (M.) 1 27 ROBERTS(S.) 428 et 429 ROGER, ingénieur des Mines 97 ROLLE 27, 265 et 469 ROUCHÉ (Eccène), examinateur d'admission à l'École Polytechnique io5 ROUQUET (Victor), professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Marseille 1 1 3 ROUSSELOT, élève du lycée de Saint-Briouc 285 SAINT-GERMAIN (A. de), professeur à la Faculté des Sciences de Caen 4^6 SAINT-VENANT (de), membre de l'Institut i45, i46, 1:^9 et i5o SALMON (G.) 38 SALNEIVE 377 SCHROKTER (H.), professeur à l'Liniversité de Breslau 1')') et 236 SCLOPIS (4-iiÉDÊRic), président de l'Académie de Turin i3i SEEBER 123 ( 576 ) Pages. SENARMONT (de) 280 SERRET (J.-A.), membre de l'Institut 426 SERRET ( Paul) 200 SIGNOL (H.) 322 61 324 SOBRERO (AscAsio), secrétaire de l'Académie de Turin i3i SONDAT (P.), à Annecy 285, 286, 333, 334, 335 et ^28 SOUVERAIN (Paul), élève du lycée de Clermont 333 et 480 STAUDT 157 STIRLING 417 STURM 4:4 et 564 TALON, élève du lycée de Moulins • -- ... 182 TARRAUD (Gabriel), élève du lycée de Chàteauroux 285 TARTAGLIA (Nicolas) 137 TAYLOR 1 58 TERQUEM 477 TERRIER, ingénieur civil i83 THUILLIER (Louis), élève du lycée d'Amiens 239, 333 et 4?^ TISSERAND (F.), directeur de l'Observatoire de Toulouse 4^6 TORTOLONI (B.) 128 et i58 TOUBIN, à Lons-le-Saulnier 377 TOURETTES, censeur au lycée d'Albi 224 et 274 VANDERMONDE 1 22 VARIGNON i5i "VENARD (A.), élève du lycée de Clermont 285 et 527 VIÉTE i5i VIRIEU (J. de), professeur à Lyon .... 285, 3 18 et 376 WALTON (William) 466 WEYR (Edouard) 427 WEYRAUCH i52 WHEATSTONE 246 WORMS DE ROMiLLY (P.), à Limoges 235 YVON VILLLARCEAU, membre de l'Institut i45 ZAHRADNIK (Karl), professeur à l'Université d'Agram 4^8 ZEUTHEN(G.) 427 et 428 ZOLOTAREFF (G.), professeur à l'Université de Saint-Pétersbourg. f\2 Paris — Imprimerie de GAUTHIER- VILLARS, quai des Augustins, 55. 'fç^"-— , — ^. , -^ QA 1 N8 V.36 Nouvelles annales de mathématiques Physical & A^l}«d Sa, PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY F*' y t-^ - Y.:^ 5 -Mm- '■■■4^' \rO ' ^- ^ ' ^ ,#^^ Jr. »''X'